大二上概率七章讲

第二节

估计量的评选标准

首先回顾上一节的内容，主要介绍了点估计的两种方法：矩估计和极大似然估计。矩估计的具体做法是：

设总体的分布函数中含有k个未知参数都是这k个参数的函数,记为：,那么它的前k阶矩一般i=1,2,…,k从这k个方程中解出j=1,2,…,k那么用诸的估计量Ai分别代替上式中的诸,即可得诸的矩估计量：j=1,2,…,k求极大似然估计的一般步骤是：(1)由总体分布导出样本的联合概率函数

(或联合密度);(2)把样本联合概率函数(或联合密度)中自变量看成已知常数,而把参数看作自变量,

得到似然函数L();(3)求似然函数L()的最大值点(常常转化为求lnL()的最大值点)，即

的MLE;下面看上一节的例3：

例3

设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本其中>0,求的矩估计.解得而

是极大似然估计。显然二者是不同的估计量。从例3可以看到,对于同一个参数,用不同的估计方法求出的估计量可能不相同.而且,很明显,原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么?

在介绍估计量的评选标准之前，我们必须强调指出：

评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量.

这是因为估计量是样本的函数，是随机变量.因此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值.因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性.

常用的几条标准是：1．无偏性2．有效性3．相合性这里我们重点介绍前面两个标准.

估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值.我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值.这就导致无偏性这个标准.1．无偏性则称为的无偏估计.设是未知参数的估计量，若

例如，用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随机地在0的周围波动，对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差.无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求.无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差.证例1特别的:不论总体X服从什么分布,只要它的数学期望存在,证例2(这种方法称为无偏化).证例3所以无偏估计以方差小者为好,这就引进了有效性这一概念.的大小来决定二者和一个参数往往有不止一个无偏估计,若

和都是参数

的无偏估计量，比较我们可以谁更优.由于2．有效性D()<D()则称较有效.都是参数

的无偏估计量，若有设和证明例4

(续例3)3、相合性

这一讲，我们介绍了参数点估计，讨论了估计量的优良性准则.

参数点估计是用一个确定的值去估计未知的参数.看来似乎精确，实际上把握不大.为了使估计的结论更可信，需要引入区间估计.这是下一讲的内容.

当总体为正态分布时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理.这里我们不加证明地叙述.除定理2外，其它几个定理的证明都可以在教材上找到.四、几个重要的抽样分布定理

定理1(样本均值的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本，则有n取不同值时样本均值的分布解例3查标准正态分布表知

定理2(样本方差的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有n取不同值时的分布

定理3

设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有

定理4(两总体样本均值差的分布)

分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值,则有Y1,Y2,…,是样本

定理5(两总体样本方差比的分布)

分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，则有Y1,Y2,…,是样本上述5个抽样分布定理很重要，要牢固掌握.练习哪个更有效数学文化欣赏

-------统计学名人：哥色特

哥色特，其笔名Student比他的真名更为人所知.奈曼曾指出，许多统计学家在哥色特于1937年去世后，尚不知他就是Student,哥色特1876年出生于坎特伯雷.他曾在温彻斯特大学和牛津大学就读.1899年作为一名酿酒师进入爱尔兰的都柏林一家啤酒厂工作，在那里他涉及到有关酿造过程的数据处理问题.。1906到1907年他有1年的时间去皮尔逊那里学习和研究统计学。他着重关心的是由人为试验下所得的少量数据的统计分析问题，在当时这是一个全新的课题，因为如前面曾指出的，当时统计学中占主导地位的卡尔·皮尔逊学派强调的是由自然观察得来的大量数据的统计处理。这一研究的成果，就是那篇使他名垂统计史册的论文《均值的或然误差》，发表于1908年的《生物计量》杂志上。

而这一思想的中心就是从正态分布的数据中抽取样本，总体标准差未知的情况下，由样本标准差代替，标准化变量并不服从正态分布，而是服从n－1自由度的t分布，t分布也是一种对称分布，只有一个参数就是样本含量N，随之n的增大经趋向正态分布。他首次将小样本理论提到日程，随着小样本理论的进度，其重要意义日益