工程力学课堂教学软件教师版薄壁杆件

第5章

开口薄壁截面杆件弹性静力学清华大学范钦珊2024年2月17日

开口薄壁截面杆件应力变形特征

开口薄壁截面的扇性几何性质

开口薄壁截面杆件的约束扭转

弯曲中心的扇性几何性质描述

杆上作用有均布扭转外力偶时的微分方程及其解答

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算

静力等效的影响区域

结论与讨论

开口薄壁截面杆件应力变形特征

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件定义

薄壁杆件与实心截面杆件的比较定义

几何尺寸满足下列条件的杆件称为薄壁杆件(thin-walledmember)

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件定义

－截面壁厚；d－截面的横向尺寸；

l－杆件的纵向尺寸。

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件与实心截面杆件的比较相似之处

在沿横截面均匀分布的轴向载荷的作用下，横截面上的正应力均匀分布

在平面弯曲(不产生扭转)，正应力沿高度线性分布

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件与实心截面杆件的比较相似之处

开口薄壁截面杆件自由扭转（截面可以自由翘曲），切应力沿厚度方向线形分布(引用狭长矩形截面杆件的扭转结果)

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件与实心截面杆件的比较相似之处(狭长矩形截面或圆弧形截面)

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件与实心截面杆件的比较相似之处

开口薄壁截面杆件自由扭转（截面可以自由翘曲），切应力沿厚度方向线形分布(引用狭长矩形截面杆件的扭转结果)

－与截面形状有关的系数。(由若干狭长矩形组成的截面)

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件与实心截面杆件的比较相似之处

开口薄壁截面杆件自由扭转（截面可以自由翘曲），切应力沿厚度方向线形分布(引用狭长矩形截面杆件的扭转结果)

－与截面形状有关的系数。

在沿横截面均匀分布的轴向载荷的作用下，横截面上的正应力均匀分布;

在平面弯曲(不产生扭转)，正应力沿高度线性分布;

开口薄壁截面杆件自由扭转（截面可以自由翘曲），切应力沿厚度方向线形分布(引用狭长矩形截面杆件的扭转结果)

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件与实心截面杆件的比较相似之处差异

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件与实心截面杆件的比较

不仅扭转时截面将发生翘曲，拉伸和弯曲时也有可能发生翘曲。差异

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件与实心截面杆件的比较

不仅扭矩会引起截面翘曲，纵向载荷和弯曲载荷也会引起截面翘曲。没有腹板时，两翼缘独立变形；

腹板刚度很大(其极端情形即为矩形截面)时，基本上不发生扭转变形；

有腹板,但腹板刚度很小，腹板与翼缘变形相互牵制，使截面发生翘曲；

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件与实心截面杆件的比较差异

由于局部变形，在杆件横截面上，除了FNx、FQ、My

、Mz

之外,还可能产生的新的内力分量。

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件与实心截面杆件的比较差异差异

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件与实心截面杆件的比较

翘曲受到约束，扭转时不仅会产生切应力还将产生附加正应力；拉伸和弯曲时也会产生正应力，继而还会产生附加的切应力。

相应地还会出现新的几何量。差异

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件与实心截面杆件的比较

翘曲受到约束时，产生扭转扭转，这种扭转称为约束扭转(constrainttwist),这种情形下，正应力与切应力的量级将发生变化。差异

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件与实心截面杆件的比较

静力等效定理的适用范围发生变化－圣维南原理不适用差异

开口薄壁截面杆件应力变形特征

薄壁杆件与实心截面杆件的比较

不仅扭转时截面将发生翘曲，拉伸和弯曲时也有可能发生翘曲。

由于局部变形，在杆件横截面上，除了FNx、FQ、My

、

Mz

之外,还可能产生的新的内力分量。

翘曲受到约束，扭转时不仅会产生切应力还将产生正应力；拉伸和弯曲时也会产生正应力，继而还会产生附加的切应力。

静力等效定理的适用范围发生变化－圣维南原理不再适用。

翘曲受到约束时，产生扭转扭转，这种扭转称为约束扭转

(constrainttwist),这种情形下，正应力与切应力的量级将发生变化。

开口薄壁截面的扇性几何性质

开口薄壁截面的扇性几何性质

扇性面积

对于不同极点的扇性面积之间的关系

薄壁截面的扇性几何性质

主扇性面积与主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质

扇性面积薄壁截面壁厚中线－截面中线

开口薄壁截面的扇性几何性质

扇性面积考察截面中线的一般情形s－中线弧长；ds－弧长微段；O－弧长起点(零点)；P－极点。P

开口薄壁截面的扇性几何性质

扇性面积s－中线弧长；ds－弧长微段；O－弧长起点(零点)；P－极点。定义：－微段ds对于极点P的扇性面积；－O

s弧段对于极点P的

扇性面积。

开口薄壁截面的扇性几何性质

扇性面积

A

不仅是弧长s的函数，而且与极点和零点的位置有关；

A

的正负号规则：自零点开始，极点到截面中线上点的连线(称为射线)，绕极点反时针转动者为正；顺时针转动者为负。

开口薄壁截面的扇性几何性质

扇性面积

对于确定的极点和零点，可以将截面中线上各点的扇性面积数值沿着与中线的垂直方向按比例标出，可规定中线一侧为正，另一侧为负。扇性面积图

开口薄壁截面的扇性几何性质

扇性面积扇性面积图例题零点极点

开口薄壁截面的扇性几何性质

扇性面积扇性面积图例题零点极点00000

开口薄壁截面的扇性几何性质

扇性面积扇性面积图例题零点极点00

开口薄壁截面的扇性几何性质

扇性面积扇性面积图例题零点极点0

对于不同极点的扇性面积之间的关系

开口薄壁截面的扇性几何性质

考察同一截面中线，对于不同极点扇性面积之间的关系：

对于极点P1由图中的几何关系，得到

对于不同极点的扇性面积之间的关系

开口薄壁截面的扇性几何性质

对于极点P2，由图中的几何关系得到

对于不同极点的扇性面积之间的关系

开口薄壁截面的扇性几何性质

对于不同极点的扇性面积之间的关系

开口薄壁截面的扇性几何性质对于不同的极点，自O至S点的扇性面积之间的关系

对于不同极点的扇性面积之间的关系

开口薄壁截面的扇性几何性质A1－对于极点P1的扇性面积；A2－对于极点P2的扇性面积；y,z－S

点的坐标；y0,z0－O

点的坐标；a－两极点之间的纵向距离；b－两极点之间的横向距离；

对于不同极点的扇性面积之间的关系

开口薄壁截面的扇性几何性质两点结论

极点改变时，扇性面积的变化与两极点的坐标差值a和b有关，并与y、z成线性关系；

零点改变时，积分下限发生变化，所以扇性面积的变化只与常数y0、z0的改变有关，两扇性面积之间只相差一常量：

薄壁截面的

扇性几何性质

开口薄壁截面的扇性几何性质定义薄壁截面的扇性静矩薄壁截面的扇性惯性矩薄壁截面对y轴的扇性惯性积长度4长度6长度5长度5薄壁截面对z轴的扇性惯性积

薄壁截面的

扇性几何性质

开口薄壁截面的扇性几何性质定义

对于壁厚处处相等的薄壁截面，若厚度为

，上述积分变为：定义这时的零点称为“主扇性零点”（或称为“主零点”）,对应的扇性面积A

称为“主扇性面积”。

开口薄壁截面的扇性几何性质

选择合适的零点，可以使主扇性静矩等于零：

主扇性面积与主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质

选择合适的极点，可以使扇性惯性积等于零：这时的极点称为“主扇性极点”（或称为“主极点”），对应的扇性惯性矩I

称为“主扇性惯性矩”。定义

主扇性面积与主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质主扇性极点的确定P

在形心C处，建立Cyz坐标系；

以任意点P1(y1,z1)为极点，计算I1y和

I

1z;设主极点为P(y1+a,z1+b);

由两极点扇性惯性积之间的关系，确定a和b,从而确定主极点的位置

主扇性面积与主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质主扇性极点的确定

由两极点扇性惯性积之间的关系，确定a和b,从而确定主极点的位置，由

主扇性面积与主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质主扇性极点的确定

由两极点扇性惯性积之间的关系，确定a和b,从而确定主极点的位置：因为C为形心y、z为形心主轴，故有又因为P为主极点，有

主扇性面积与主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质主扇性极点的确定

主扇性面积与主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质主扇性面积与主零点的确定根据对于两个不同极点扇性面积之间的关系：

令其中的A2为对于主极点和主零点的扇性面积，改写为A

；A1为对于主极点任意零点的扇性面积，改写为A0，则有

主扇性面积与主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质主扇性面积与主零点的确定A

－以主极点为极点、主零点为零点的扇性面积，即主扇性面积；A0－为以主极点为极点、任意点为零点的扇性面积；A

－横截面面积；S

0－以主极点为极点、任意点为零点的扇性静矩。

主扇性面积与主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质主扇性面积与主零点的确定

根据A0、A、和S

0可以主扇性面积A

图。主扇性面积图上A

＝0的点，即为主零点。很多情形下主零点不唯一。

主扇性面积与主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质A

图为直线，采用类似于计算莫尔积分的图乘法，由A

图自乘，计算上述积分：计算主扇性惯性矩的图乘法对于周边为直线、等厚度的薄壁截面根据定义

主扇性面积与主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质确定主扇性面积和主扇性惯性矩的过程

任选极点和零点，确定相关的扇性面积A1。

确定A1对截面形心主轴的扇性惯性积I

1y

和

I

1z,截面对形心主轴的惯性矩I

y和

I

z,

应用确定主极点P的坐标。

主扇性面积与主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质确定主扇性面积和主扇性惯性矩的过程

以主极点、任意点为零点，绘制扇性面积A0图并由确定主扇性面积A

，并绘制主扇性面积A

图。

应用图乘法，由主扇性面积A

图，以及

确定主扇性惯性矩I

。

主扇性面积与主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题

例题

1：壁厚为

的开口薄壁圆环，半径为R。以P1

为极点、O为零点求：1.扇性面积并画出其分布图；2.S

1

、I

1、I

1y、I

1z;3.主极点的位置。解：1.计算扇性面积并作图

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题解：1.计算扇性面积并作图

考察中线上的任意点A，其方位由表示，SS‘'的弧长为ds,极点P1到ds切线的垂直距离为r=2Rcos

－R自O至A的扇性面积为

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题解：1.计算扇性面积并作图:自O至A的扇性面积为

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题解：2.计算S

1

、I

1、I

1y、I

1z

：

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题解：3.确定主极点的位置：这表明主极点与初始极点P1重合例题

2：均匀壁厚

的开口薄壁截面，若

和d

均为已知，求：截面的扇性主惯性矩。

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题分析思路

任选极点和零点，计算扇性面积A

1；

确定扇性面积的惯性积I1y

和I1z;

在截面形心处、沿着形心主轴方向建立坐标系Cyz,计算形心主惯性矩Iy和Iz；

计算主极点的坐标值；

绘制主扇性面积图;

绘制以主极点为极点、以初始零点(O)为零点的扇性面积图;

采用图乘法，由主扇性面积图自乘，确定主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题

在截面形心处、沿着形心主轴方向建立坐标系Cyz,计算形心主惯性矩Iy和Iz；

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题

任选极点和零点，计算扇性面积A

1P,O

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题

采用图乘法确定扇性面积的惯性积I1y

和I1z

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题

计算主极点的坐标值

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题

绘制以主极点为极点、以初始零点(O)为零点的扇性面积A

O

图A

O

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题

绘制主扇性面积A

图A

O根据确定主扇性面积:

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题A

O

绘制主扇性面积A

图

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题

采用图乘法，由主扇性面积图自乘，确定主扇性惯性矩

开口薄壁截面的扇性几何性质

例题

采用图乘法，由主扇性面积图自乘，确定主扇性惯性矩

弯曲中心的扇性几何性质描述

弯曲中心的扇性几何性质描述

横向弯曲时，薄壁截面上的切应力回顾

弯曲中心概念的回顾

用扇性几何性质描述薄壁截面的弯曲中心

弯曲中心的扇性几何性质描述

横向弯曲时，薄壁截面上的切应力回顾y、z为形心主轴

切应力沿着截面周边切线方向；

切应力沿着薄壁厚度方向均匀分布；

切应力由下式计算：

弯曲中心的扇性几何性质描述

弯曲中心概念的回顾合力

弯曲中心的扇性几何性质描述

弯曲中心概念的回顾向弯曲中心简化的结果向截面形心简化的结果

弯曲中心的扇性几何性质描述

用扇性几何性质描述薄壁截面的弯曲中心

考察任意薄壁截面，任选极点P1，截面上所有的力

dA=ds,对P1之矩为：

弯曲中心的扇性几何性质描述

用扇性几何性质描述薄壁截面的弯曲中心

弯曲中心的扇性几何性质描述

用扇性几何性质描述薄壁截面的弯曲中心利用分部积分可以证明

弯曲中心的扇性几何性质描述

用扇性几何性质描述薄壁截面的弯曲中心

对于任意的FQy、FQz，若要求只弯曲而不发生扭转，即Mx=0,则必然有：

这既是确定弯曲中心位置的条件，又是确定主极点位置的条件。这表明：主极点与弯曲中心重合。

弯曲中心的扇性几何性质描述

用扇性几何性质描述薄壁截面的弯曲中心

主极点与弯曲中心重合，二者与初始极点之间的距离均为：其中：Iy、Iz－截面对于形心主轴的惯性矩；I

1y

、I

1z

－截面对于任意极点和任意零点的扇形惯性矩。

开口薄壁截面杆件的约束扭转

开口薄壁截面杆件的约束扭转

基本假定

扭转中心与扭转翘曲位移

自由扭转与约束扭转

翘曲应力分析

扭转角变化率微分方程及其解答

边界条件

约束扭转引起的自相平衡力系－双力矩

开口薄壁截面杆件的约束扭转

基本假定

截面形状不变假定（刚周边假定）：仅管截面在受扭转后发生纵向位移，而且各点各不相同，即发生翘曲，但在其自身平面内的投影，仍保持形状不变。

中面(截面中线)上各点切应变为零：这一假定对于自由扭转完全正确。但在约束扭转中，由翘曲引起的中面切应变并不为零，但忽略这一切应变对于分析的结果影响很小。

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转中心与扭转翘曲位移

薄壁截面杆扭转的特点：截面各自绕某一不动点转动，这一不动点称为“扭转中心”(torsioncenter)。

翘曲位移：由于截面绕扭转中心转动，各点产生纵向位移；又因为是开口的，故各点纵向位移不等，这样便产生翘曲，这时的位移称为“翘曲位移“”(warpingdisplacement)。

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转中心与扭转翘曲位移

翘曲位移：由于截面绕扭转中心转动，各点产生纵向位移；又因为是开口的，故各点纵向位移不等，这样便产生翘曲，这时的位移称为“翘曲位移“”(warpingdisplacement)。

由于是薄壁截面，可以用中面的位移代替截面的纵向位移

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转中心与扭转翘曲位移翘曲引起的纵向位移的计算

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转中心与扭转翘曲位移翘曲引起的纵向位移的计算P－扭转中心，极点；d

－dx微段两相邻截面绕P的相对扭转角；ABCD－微段上变形前的微元；A

B

C

D

－微段上变形后的微元。

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转中心与扭转翘曲位移

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转中心与扭转翘曲位移翘曲引起的纵向位移的计算微元的切应变

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转中心与扭转翘曲位移翘曲引起的纵向位移的计算微元的切应变应用第二个假设满足右手定则的扭矩和转角均为正

与弧长s无关

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转中心与扭转翘曲位移翘曲引起的纵向位移的计算这表明截面纵向位移与扇形面积A

成正比。

开口薄壁截面杆件的约束扭转

自由扭转与约束扭转自由扭转:开口薄壁杆件各截面上所承受的扭矩均相等;而且支承条件不限制端面的翘曲，则扭转角变化率

沿轴线x方向保持不变，各截面产生相同的翘曲位移，而且是自由的。这种扭转称为自由扭转(unconstrainttorsion).

例如，仅杆两端作用有扭矩，而且端面翘曲是自由的，这时的扭转便是自由扭转。自由扭转自由扭转时，由于纵向位移沿轴线x方向保持不变，因而不产生纵向正应变，所以横截面上只有切应力，不产生正应力。

开口薄壁截面杆件的约束扭转

自由扭转与约束扭转自由扭转自由扭转时，扭转角变化率

由下式计算：

开口薄壁截面杆件的约束扭转

自由扭转与约束扭转自由扭转自由扭转时，横截面上

开口薄壁截面杆件的约束扭转

自由扭转与约束扭转

切应力沿着截面周边切线方向；

切应力沿着薄壁厚度方向线性分布,周边边缘处切应力最大，；自由扭转

切应力由下式计算：

开口薄壁截面杆件的约束扭转

自由扭转与约束扭转(狭长矩形截面或圆弧形截面)自由扭转

切应力由下式计算：

开口薄壁截面杆件的约束扭转

自由扭转与约束扭转(由若干狭长矩形组成的截面)自由扭转约束扭转

开口薄壁截面杆件的约束扭转

自由扭转与约束扭转约束扭转－若杆件上沿轴线方向作用有分布不均匀的扭矩，或支承处的约束限制了截面的自由翘曲，这时的扭转称为“约束扭转”(constrainttorsion)。约束扭转

开口薄壁截面杆件的约束扭转

自由扭转与约束扭转约束扭转

开口薄壁截面杆件的约束扭转

自由扭转与约束扭转纵向翘曲位移受到约束纵向应变

附加正应力(翘曲正应力)约束扭转

开口薄壁截面杆件的约束扭转

自由扭转与约束扭转各处翘曲所受的约束各不相同各截面上的正应力不同附加切应力(翘曲切应力)

开口薄壁截面杆件的约束扭转

翘曲应力分析

翘曲正应力分析应用胡克定律

称为翘曲正应力或扇性正应力(sectorialnormalstress).

开口薄壁截面杆件的约束扭转

翘曲应力分析

翘曲正应力分析关于周向应力

s的讨论应用广义胡克定律根据刚周边假定

开口薄壁截面杆件的约束扭转

翘曲应力分析

翘曲切应力分析

与自由扭转引起的切应力不同的是，由约束扭转引起的翘曲切应力沿着壁厚方向均匀分布，应用类似于弯曲切应力的方向方法，由局部平衡条件得到

开口薄壁截面杆件的约束扭转

翘曲应力分析

翘曲切应力分析由

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转角变化率微分方程及其解答翘曲应力分析所得到的结论以及尚待解决的问题

＝？

A

是以扭心作为极点P的，弧长起点是任意的，扭心在哪里，起点的影响如何考虑？因而需要应用平衡条件。

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转角变化率微分方程及其解答平衡条件的应用

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转角变化率微分方程及其解答重要结论

这是主极点和主零点的条件。据此可以得到下列重要结论：

在主极点确定的前提下，零点的选择不能是任意的。为了满足这些条件，可先假设一初始零点，求得A0；再由A0与A

之间的关系求得A

。

翘曲应力公式中的A

为主扇形面积；

薄壁截面的主极点、弯曲中心、扭转中心三者重合；

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转角变化率微分方程及其解答自由扭矩与约束扭矩总扭矩自由扭矩约束扭矩

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转角变化率微分方程及其解答自由扭矩与约束扭矩自由扭矩约束扭矩Mx1Mxt＝Mx1＋Mx2Mx2产生自由扭转切应力

1产生翘曲切应力

2扭转角变化率微分方程

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转角变化率微分方程及其解答Mxt＝Mx1＋Mx2其中令：

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转角变化率微分方程及其解答扭转角变化率微分方程

开口薄壁截面杆件的约束扭转

扭转角变化率微分方程及其解答扭转角变化率微分方程的解这一微分方程的解为：

为非齐次方程的特解，与Mxt

有关；常数C1

和

C2由边界条件确定。

开口薄壁截面杆件的约束扭转

边界条件铰支端－支承处截面不能绕杆件轴线转动，但是可以自由翘曲，故有固支端－支承处截面既不能绕杆件轴线转动，也不能发生翘曲，因而有自由端－支承处截面既可以绕杆件轴线转动，也可以自由翘曲，因而有

z例题

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题已知：T=12kN.m，b=100mm，

h=200mm，

=10mm，

l=1000mm，E=200GPa，

=0.3。求：

1.杆内最大翘曲正应力

max

;2.杆内最大翘曲切应力

2max。解：第一步，计算各种几何性质

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题截面自由扭转惯性矩C,P,O

将极点与弧长零点均设在弯曲中心（与形心重合）P处，P即为极点，由此得到的扇性面积图就是主扇性面积图。解：第一步，计算各种几何性质

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题主扇性面积解：第一步，计算各种几何性质

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题截面的主扇性惯性矩

由图乘法求得：截面的主扇性惯性矩解：第一步，计算各种几何性质

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题截面主扇性面积的静矩S

分布图解：第二步，确定微分方程的特解和全解

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题因为由尝试法，微分方程的特解为方程的全解为解：第三步,利用边界条件确定积分常数

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题方程的全解为边界条件：固定端处自由端处解：第三步,利用边界条件确定积分常数

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题

解：第四步，计算翘曲正应力首先计算利用

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题

解：第四步，计算翘曲正应力最大值发生在固定端处的截面上

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题

解：第四步,计算翘曲正应力

最大值发生在固定端处截面的四个角点上：

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题

解：第四步,计算翘曲正应力横截面上的翘曲正应力分布

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题解：第五步，计算翘曲切应力产生自由扭转和约束扭转的扭矩分别为：在固定端处的截面上：发生在腹板与翼缘交界处在自由端处的截面上：

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题解：第五步，计算翘曲切应力

开口薄壁截面杆件的约束扭转例题

例题小结

－约束扭转问题的分析步骤

第一步，计算各种几何性质，包括：截面自由扭转惯性矩，主扇性面积，主扇性惯性矩，扇性面积的静矩S

分布图。第二步，确定微分方程的特解和全解第三步,利用边界条件确定积分常数第四步,计算翘曲正应力第五步，计算翘曲切应力

开口薄壁截面杆件的约束扭转

约束扭转引起的自相平衡力系－双力矩约束扭转引起的新的内力分量－自相平衡力系：双力矩(bimoment)

开口薄壁截面杆件的约束扭转

约束扭转引起的自相平衡力系－双力矩定义双力矩是与翘曲正应力相对应的广义内力分量。由

开口薄壁截面杆件的约束扭转

约束扭转引起的自相平衡力系－双力矩组成双力矩的力偶之力偶矩A1、A2分别为上、下翼缘的面积

开口薄壁截面杆件的约束扭转

约束扭转引起的自相平衡力系－双力矩上、下翼缘的主扇性面积为

开口薄壁截面杆件的约束扭转

约束扭转引起的自相平衡力系－双力矩

双力矩在数值上等于自相平衡的力偶之力偶矩与其作用面之间距离的乘积。

双力矩的正负号规则：若A

>0处作用有拉应力

>0，或A

<0处作用有压应力

<0

，则双力矩为正，

>0；反之为负。

杆上作用有均布扭转外力偶时的微分方程及其解答

杆上作用有均布扭转外力偶时的微分方程及其解答这一节留给同学们自己去研究(参阅工程力学教程IIpp.126-127)

一般载荷作用下

开口薄壁截面杆件的应力计算

叠加法及其前提

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算

载荷的简化

算例

开口薄壁杆件同时承受轴力、弯矩、剪力、扭矩（自由扭转与约束扭转）、双力矩等两种或两种以上内力分量时，在下列前提下，其位移和应力都可以由叠加法求得：

叠加法及其前提

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算

线弹性材料，而且在弹性范围内加载；

小变形；

建立平衡方程时，略去微小变形。

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算

载荷的简化使开口薄壁杆件产生扭转的载荷

外加扭转力偶

作用线不通过截面扭转中心（弯曲中心）的横向集中力或分布力。向形心简化的结果为：一个力与一个力偶。

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算

载荷的简化使开口薄壁杆件产生扭转的载荷

作用线不通过截面上主扇形面积零点的纵向力。

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算

载荷的简化使开口薄壁杆件产生扭转的载荷

作用线不通过截面上主扇形面积零点的纵向力。

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算

载荷的简化使开口薄壁杆件产生扭转的载荷外力双力矩内力双力矩

FNi

为

dA

的合力，即截面上的纵向内力。

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算

载荷的简化使开口薄壁杆件产生扭转的载荷z

作用面不通过扇形面积零点的外加弯曲力偶。这种力偶可认为由大小相等、方向相反的两个纵向力组成（纵向力不通过扇形面积零点）。

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算

载荷的简化使开口薄壁杆件产生扭转的载荷z

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算

载荷的简化使开口薄壁杆件产生扭转的载荷

作用面不通过扇形面积零点的外加弯曲力偶。这种力偶可认为由大小相等、方向相反的两个纵向力组成（纵向力不通过扇形面积零点）。

作用线不通过截面上主扇形面积零点的纵向力。

作用线不通过截面扭转中心（弯曲中心）的横向集中力或分布力。向形心简化的结果为：一个力与一个力偶。

外加扭转力偶

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算

载荷的简化载荷简化方法作用在开口薄壁截面杆件的一般载荷可以简化为：

过形心的轴向载荷（拉压）

过扭转中心的横向载荷，且沿主轴方向（弯曲）

绕扭转中心的扭转力偶（扭转）

绕截面形心主轴的弯曲力偶（弯曲）

外力双力矩

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算

载荷的简化载荷简化方法

横向力－

向截面的扭转中心简化，再沿主轴方向分解为约束扭转与一个平面弯曲或两个平面弯曲的组合。

纵向力－向截面形心简化，使问题变为轴向拉压与单向或双向弯曲以及约束扭转（外力双力矩）的组合。

算例

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算zC已知：b、h、、zC、e、Fx、Fy、l、EI

、GIx

等求：中间截面(x=l/2处)上的内力分量。CA

算例

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算解：1.外力简化横向力Fy扭转中心PFy

，T=Fy(b+e-zC)纵向力Fx截面形心CFx，Mey=-Fx(b-zC)Mez=-Fx(h/2)Be=FxA

AACA

算例

一般载荷作用下开口薄壁截面杆件的应力计算解：2.内力分析轴力：FNx=

Fx;剪力FQy=－Fy

；扭矩：

Mxt=T=Fy(b+e-zC)弯矩：

My＝Mey=-Fx(b-zC)，

Mz＝Mez+Fy(l/2)=-Fx(l/2－h/2)双力矩：B

(l)＝Be=FxA

A

B

(l/2

)＝?

B

(l/2

)与约束扭转有关(参阅<工程力学教程(II)>pp.130-131)

静力等效的影响区域

对于实心截面，应用力系简化结果，对应力和变形计算的影响仅限于加力点附近区域，距加力点稍远处，静力等效的影响便可忽略不计－圣维南原理。

静力等效的影响区域

圣维南原理？

静力等效的影响区域

静力等效的影响区域

对于薄壁杆件：纵向力F的作用线若不通过截面的主扇形面积零点，将产生外力双力矩，从而产生翘曲应力，圣维南原理不再适用。怎样应用约束扭转理论分析

静力等效的影响区域

静力等效的影响区域

静力等效的影响区域上下翼缘上的两对力偶组成外力双力矩总扭矩Mxt=0，特