高考模拟创新试题分类汇编(数学)

高考模拟创新试题分类汇编（数学）

研究高考，最终需要落实到试题的研究上，而试题研究一般为两个方向，一是研究近

几年的高考题，二是研究针对相应高考的模拟试题，前者是前奏与方向指导，而后者是综合

了前者的具体体现，其中的优秀试题更是如此。

基于此点，笔者收录了2005年60套全国各地的模拟试题，再加上2004年9月到2005

年4月底期刊中的零碎试题共计2400道，对其进行了筛选与归类。在此过程中，笔者认识

到，优秀试题一般有三个先决条件：一是以能力立意，表现为很难单独地判断考查的是什么

知识，而是在边缘知识上命题，是对数个知识的“串门”综合；二是蕴涵了一定的数学思想，

不是简单的知识累计，这些常常通过学生易犯的典型错误或一题多解来体现；三是源于教材

而又高于教材，其中的“高”不是无休止地向“广”或“深”（俗称“深挖洞”，这是区分高

考与竞赛题的重要标志）单方面开拓，而是更加突出“新”意（主要是结构形式新或背景紧

跟时代）、“平”意（主要是平常生活中常见、常用及知识上不超纲）。这三个条件中，创新

是试题的核心，这也正应了“知识有纲、能力无纲”的“遵循教学大纲又不拘泥于大纲”的

近年一再提倡的高考政策，所以以创新为基准对试题进行了说明与分类汇编。

一，集合简易逻辑与不等式（复数）

考纲要求及分析

1，集合与简易逻辑：理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意

义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简

单的集合.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分

条件、必要条件及充要条件的意义.

集合是大学当中第一遇到的内容，也是现代数学的基础，因此，中学阶段集合上的能力

更重要的是作为一种思想的渗透。而集合的思想方法又主要体现为：一是理论上的思想渗透

（这不是高考命题的范畴），二是集合与其他知识如简易逻辑的类比性渗透（这也难于化到

高考命题的范围），三是集合本身内含了博大精深的思想，而这又是高中阶段能解决又能反

应能力的地方，具体又表现为三点:⑴集合表示方法间的转化蕴涵了数学解题的原则性思想:

列举法

个具体化，、

文字描述法<熟刎属性描述法阚化>符号表示法;⑵有限集合兀素个数确定的

J直观化

图示法

容斥原理（该部分在教材中处于阅读内容，它可以用初中及小学的解方程法加以解决，也可

以用高中的容斥原理）；⑶集合的运算更多情况下是自定义的；⑷集合与方程或不等式同解

性联系（这一部分通常以其他知识的面貌出现，如：“求…的解集”等等）。

充要条件的题一般有三种类型：一，传统的判断形：“判断A是B的……条件”，它常

常以选择题的形式出现；二是“证明A的……条件是B”的证明型；三是“找出A的……

条件，并证明”的开放型。后二者在高考中很少见到。

2,不等式：理解不等式的性质及其证明掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数

不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.掌握分析法、综合法、比较法证明简单

的不等式.掌握简单不等式的解法.理解不等式|aHb|W|a+"W|a|+M。

从考题上而言，能力的反应变化为，在解法上由原来的等价转化（穿根法）更推进一步，

出现了可以用图象法并结合其他知识的解题这一原来认为是特殊技巧的解法的试题，以此来

体现创新能力。

3,复数：这是限于理科的内容，考试要求为：了解复数的有关概念及复数的代数表示

和几何意义.掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除

法运算.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.

该部分降低要求，重心自然也放在基本的代数运算上。

将这几部分结合在一起，是因为集合中的事例常常是通过不等式解集来体现，试题中也

最容易体现此点；而复数也可以看作是由于数集的推广得到的。

二，例题简析

例1，不等式e"*5x2-2的解集为.（《数理天地》2005年第4期P18）

分析：将不等式转化为等价的有理不等式组，为此需要去掉绝对值符号，而

lnx>O=x>l,此时同理得出lnx<0时情况，注意x>0的隐含条件。

解：原不等式等价于①|或②|、，①的解为l<x<2;②的解为

x>x~-2—x>x—2

O〈x<l.总之，填（0,2）

说明：该题综合了对数的运算、不等式的等价转化及分类讨论的数学思想，知识上不

超纲，充分体现了运算与思维能力.

例2,如图，某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的祛码。一名患

者想要20克中药，售货员将硅码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然

后又将药物放在左盘中，将技码放在右盘中，待平衡后再交给患者。设患者实际购买药物为

m克，则m20克（填><=）（石家庄质检题）

解：设两臂长分别为b,a,（b>a）,第一次、第二次称得的药物分别为x,y克，贝小

10b=xa,yb=10a,从而m=x+y=l^+W£》2叵亚=20,等号成立当且仅当他=弛.当且仅当

abNabab

a=bVa^b...m>20克填〉

说明：该题容易看不懂题意，凭感觉“药店不吃亏”而错填<;这与考纲中考查理性思

维相对应。

例3,某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是（）

A,先提价p%,后提价q%B,先提价q%,后提价p%

C,分两次提价，幺%D,分两次提价J，'％（以上pWq）（吉林质检）

解：设原价为1,则A、B提价后都为（l+p%）（l+q%）,A、B都不当选；方案C提价后为

（1+告幺％尸，方案D提价后为（1+产尹%）2,只要比较J?丁与P±1的大小。这

p2+q2》正&由于p#q,所以JI-2+q2"

J22V22

2

说明：不等式》■反应了平方和与和的大小关系，是教材中的一个习

2

题，用它可以解决许多问题，该题给我们的启示是，“应将之视作一个基本不等式对待”。

例4,任意两正整数m、n之间定义某种运算㊉，m㊉!)=仅+"("与响奇偶)，则集合

(与"异奇偶)

M={(a,b)|a㊉b=36,a、bGN+}中元素的个数是(金良.《考试》2004(11)P25)

解：a、b同奇偶时,有35个：a、b异奇偶时,有(1,36)、(3,12)、(4,9)、(9,4)、(12,3)、

(36,1)6个,共计41个。填41。

说明：定义运算是数学学习到一定程度的抽象产物，它给我们的启示是：集合间的运

算并非仅教材上提及的几个简单运算，多数情况下是自定义的。

［试题汇编］

—>单项选择题

1,已知M={y|y=x?},N={y|x'+y2=2},贝！]MriN=()

A、{(1,1),(-1,1)}B、{1}C、[0,1]D、[0,应](湖南示范)

2,(理)设复数z=—+(l+i)2,则(1+z)，展开式的第五项是()

1+/

A,-21B,35C,-21iD,-35i(金榜园模拟3)

(文)不等式1x122*的解集是()

x

A,(-8,o)B,[V2,+oo)C,(-8,o)U[V2,+oo)D,[-V2,0)u[V2,+oo)

(武汉4月调研)

3,函数y=f(x)是圆心在原点的单位圆的两段圆弧(如图),则不等式f(x)<f(-x)+x

第3题图

的解集为()

2"\[^,2y2,\/5

A,{x,-----<x<0或----<xWl}B,{x|TWx〈一§或5

55

2,\/-532y/~5D,{x卜孚<x〈半且xWO}

C,{x|-l^x<-----或----<x^l)

55

（浙江路桥中学.《中学教研》.2005（4）P47）

4,集合P={集4,9,16,……}，若adP,beP,有aObep,则运算O可能是O

A,加法B,减法C,除法D,乘法（燕园冲刺三）

5,设x、y、a、bdR,且x2+y2=4,a2+b2=l4ijS=ax+by的最值情况是（）

A,最大值为5/2,无最小值B,最大值为2,最小值为-2

C,最大值为5/2,最小值为-5/2D,以上都不对（燕园冲刺二）

6（文）小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以可以从以下方案中任选其一：方案

一，按使用面积缴纳，4元/米二方案二，按建筑面积缴纳，3元/米）李明家的使用面积

是60米2,如果他家选择方案二缴纳费用较少，那么他家的建筑血枳最大不超过（）米2

A,70B,80C,90D,100（燕园冲刺三）

（理）某商店某种货物的进价下降了8%,但销售价不变，于是这种货物的销售利润率

（销售价-进价Xi。。%）由原来的r%增加到（r+10）%,则1=（）

进价

A,12B,15C,20D,25（名校联考）

7,a<b,d<cJL（c-a）（c-b）<0,（d-a）（d-b）>0,则a、b>c、d的大小关系是（）

A,d<a<c<bB,a<c<b<dC,a<d<b<cD,a〈d〈cvb（黄冈练习）

8,函数f（x）=lg（ax-bx）（a>l>b>0）,贝I」f（x）>0的解集为（1,+8）的充要条件是（）

A,a=b+1B,a<b+1C,a>b+1D,b=a+1（黄冈模拟）

9,设集合I={1,2,3},A£L若把集合MUA=I的集合M叫做集合A的配集，贝I」A={1,

2}的配集有（）个A,1B,2c,3D,4（黄爱民，胡彬《中学生学习报》2005

模拟一）

10（文）设a〕WazWasbWb?<b3为两组实数，54臼为bibb的任一排列,设

P=ab+a2b2+a3b3,Q=aib?+a2b2+a3b|,R=a0+a2c2+a3c3则必有（）

A,PWQ<RB,R<PWQC,PWRWQD,QWR<P（唐山一模）

（理）设2a是第二象限的角，则复数（tana+i）（l+icota）对应的点位于复平面内的第（）

象限

A.—B.二C.三D.四（唐山二模）

11，有一个面积为1米2,形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，

其中最合理（够用且最省）的是（）米A,4.7B,4.8C,4.9D,5（石家庄二模）

12,（文）设全集。=R,集合M={x|五=42_2,xeR},N={x|Jx+1W2,

xeR}则（C°M）nN等于（）A.{2}B.{x|-l<x<3}C.{*|x<2,或2Vx

<3}D.{x|-14x<2或2<x43}（北京四中模三）

(理)不等式组“一1>“，有解，则实数a的满足的取值范围集合是()

[x-4<2a

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-8,i)U(3,+8)D.(-8,-3)U(1.+°°)

(天星教育)

二，填空题

13,(文)不等式J7>ax+—的解集为(4,b),则a.b=(胡明显.《考试》2005

2

(4)P20)

(理)已知三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c,满足1+1/=^(n>2),则三角

形ABC一定是__________三角形(按角分类)(全国联考)

14(文)已知集合P={(x,y)\y=m},。={(x,y)\y=ax+\,a>0,a#l},如

果Pl?。有且只有一个元素，那么实数小的取值范围是.(北京四中模二)

(理)定义在[-1,1]上的奇函数f(x)单调增，且f(-l尸-1,若f(x)Wt2-2at+l对一切x及a

W[-1,1]恒成立，则t的取值集合是(北京海淀)

15,设含有集合A={1,2,4,8,16}中三个元素的集合A的所有子集记为B“B?,B3，…,B”(其

中nGN*),又将Bk(k=l,2.....n)的元素之和记为ak1则=_____(江苏常州模拟)

16,下列4个命题：①命题“若Q则P”与命题“若非P则非Q”互为逆否命题；②

“am2Vbm2”是“a<b”的必要不充分条件;③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假;

④命题“0仁{1,2}}或4e{1,2}"为真命题。其中真命题的序号是是：

(江西吉安二模)

三，解答题

22

17,设命题P：关于x的不等式誓>1->0且2#1)的解集为收|—6<28；命题5

y=lg(axJx+a)的定义域为R。如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围

(根据吉林质检与邯郸一模改编)

18,(文)定义在D上的函数y=f(x)对于xi,xzGD,有|f(xMf(xz)|<l,则称y=f(x)是漂亮

函数，否则称非漂亮函数。问f(x)=x3-x+a(xe[-l,l])是否为漂亮函数，是证明之，否则说

明理由。(安振平.《数学大世界》.2005(4)P9)

71

(理)设f(x)=ax?+bx+c,若f(l)=在，那么是否存在a,b,c,使得不等式X、上Wf(x)

22

3

W2x?+2x+—对一切实数x都成立，存在求出f(x)解析式，不存在说明理由(周友良.《高

2

中数理化》2005年(1))

19,从甲到乙的运煤铁路专线，车速由原来的100km/h提高到150km/h,相邻两列火车

的车距(车头与前一列车尾的距离)由原来的9倍车长提高到现在的11倍车长，则此次提

速运煤效率(单位时间内的运输量)提高了多少？(辛民.《数学通讯》2004(13)P21)

20,⑴已知a、b是正常数，aWb,x,ye(0,+8),求证：—+—指出等号

xyx+y

291

成立的条件；⑵利用⑴的结果，求函数f(x尸一+—丁(x£(0,—))的最小值，并求出相应的

x1-2x2

x的值。(《中学数学教学参考》2005(3)P25)

21(文)某公司生产的品牌服装年固定成本为10万元，每生产1千件，需另投入1.9

10x-—x3(0<x<10)

万元，设R(x)(单位：万元)为销售收入，根据市场调查，R(x)=30八，

其中x是年产量(单位：千件)⑴写出利润W与年产量x的函数解析式

⑵年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中获利最大？(唐山二模)

(理)某城南2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量

的6%,并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万

辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？(北京四中专题讲座)

22,(文)⑴关于x的不等式2xJ<2""在整数集内仅有解{I},求实数a的取值范围；

(2)a取⑴中的最小值时，函数/(%)=log3(ox+b)图象过点A(2,1)记*=3""),neN*,

是否存在正数%使得(1+')(1+」-)…(l+-!-)N女"用对一切”eN*均成立，若存

在，求出％的最大值，若不存在，请说明理由(北京四中模二与石家庄一模合编)

(理)对于函数f(x),如果存在xGR,使f(x)=x成立，称x为f(x)的一个不动点，已知

f(x)=ax°+(b+l)x+bT(aWO)。⑴若对bGR,f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的范围;

⑵在⑴条件下，若y=f(x)图象上两点A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关

于直线y=kx+a2-4a+4对称，求b的最小值(成都诊断)

函数与数列

一，考纲要求及分析：

1,函数：对于函数的概念，考纲要求是：了解映射的概念，理解函数的概念，对其考查，

主要在于函数的三要素：定义域、值域与最值、对应法则(解析式)匕函数的定义域，其

实多数是解不等式(组)；解析式则常见的方法有代换法、拼凑法、待定系数法、解方程组

法，比较适宜理解层次的能力考查；单调性、值域与最值往往与基本不等式应用、求导数结

合在一起，其中单调性还可以用图象观察法加以解决。2005年考纲又再度将奇偶性由三角

部分调回函数部分为理解层次,这也恢复以前奇偶性以般函数为背景而不是仅仅限于三角

函数。对于反函数，考纲要求，了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求

一些简单函数的反函数，这里反函数存在的条件容易当成边缘知识加以考查。指数函数与对

数函数考纲要求：理解分数指数基、对数的概念，掌握有理指数累、对数的运算性质，掌握

指数函数和对数函数的概念、图象和性质，它们容易以方程或不等式形式来体现一定的创新。

2,数列：考纲对数列要求多年一致：理解数列的概念，了解数列的通项公式意义，了

解递推数列是给出数列的•种方法，并能根据递推公式写出数列的前儿项；理解等差、等比

数列的概念，掌握等差、等比数列的同项公式和前n项和公式，并能解决简单的实际问题。

多年命题也重在解决简单问题上，但对简单问题还存在认识上的差异：由于受大学的影响，

此处常常是超越考纲。

从知识上说，数列是一种特殊的函数；从题上而言，函数与数列常常结合在一起，以函

数与方程的数学思想形式出现，也是近年常考不衰的一个热点。

二，例题简析

例1,学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每周一有A、B两种菜谱可供选择(每人限

选一种)，调查表明：凡周•选A菜谱的人，下周一会有20%的人改选B菜谱，而选B菜谱的

人，下周一有30%的人改选A菜谱。试问，无论原来选A菜谱的人有多少，随着时间的推移，

选A菜谱的人将趋近于多少人？(陶晓静.《数学通讯》2004(21)P12)

解：设A0,B”为第n周选A、B菜谱的人数，A,=a,则

4343,、1

A"尸一An+Bn=—An+(1000-An)=~An+300

5105102

11a

［方法一］设An「a=-(A„-a)HPA„,i=-A„+—/.a=600,

222

这样｛A「600｝构成以1为公比的等比数列，A「600=(a-600)(J)，

22

.\A„=600+(a-600)(-)"'1limA产600,...随着时间的推移，选A菜谱的人将趋近600人

2M->00

则limA„.i=-lim人计300即2=工a+300,a=600,随着时

［方法二］设limAn=a

〃一>822

间的推移，选A菜谱的人将趋近600人。

说明：该题以数列极限应用题的形式出现，这在中学试题中并不常见，但在大学基础课

中是最常见的一类题型。其解法上用到一个默认的结论：一个数列含有极限，则极限必须唯

例2,已知集合L=｛(x,y)|y=2x+l｝,点P„(an,bn)GL,Pi为L中元素与直线y=l的交点,

数列｛aj是公差为1的等差数列。⑴求数列瓜｝、｛1的通项公式;⑵若CF7(n》

n\P,Pn\

d为奇数)

2),求数列｛c.｝的所有项和(即前n项和的极限)；⑶设f(n)=1工/E必、是否存在正

也(〃为偶数)

整数n,使f(n+ll)=2f(n)成立，若存在，求出n的值，若不存在，说明理由(张学文.《数学

通讯》2004(21)P31)

解：(l)Pi(O,1),a„=ai+(n-l)l=n-l,b„=2a„+l=2n-l

22

(2)IPiP,,|=J(an-a,)+(bn-bt)=75(n-1),c„=——-——二，｛c“｝的前n项和

(n-l)nn-1n

S„=(l--)+(---)+……+('-，)=l-LfO(nf8).•.©｝的所有项和为I

223n—\nn

(3)n为奇数时，n+11为偶数,f(n+ll)=2f(n)=28+11)-1=2(11-1)无解;11为偶数时

f(n+ll)=2f(n)=n+10=2(2rrl),n=4.总之，存在n=4满足条件。

说明：该题将数列与函数结合在一起，⑴、⑵只要掌握基本结论、运算的先后次序，就

可以解出，体现了运算中的有序思想；⑶开放设问，解答过程中也体现了分类整合的数学思

想。

例3,过点P(l,0)作曲线c:y=x"xe(0,+8),keN*,Z>l)的切线切点为设。

点在x轴上的投影是点P”又过点Pi作曲线c的切线切点为Q2,设♦在x轴上的投影是m…，

依此下去，得到一系列点Q>,Q”…，Q“，…，设点Q”的横坐标为a„(1)求证：

%=(A)"，“6N*；(2)求证：%N1+”:(3)求证：y^—<k2-k(注：

"k-\"k-\gq

丑％=%+%+—+%)(湖南示范，《中学数学教学参考》2005(4)P43)

解：(1)y'=kxk-',若切点是Q“(a”a.k),则切线方程是y—吊=履片。-%)

当n=l时，切线过点P(1,0)即0—%*=总/(1一《)，得q=—匕；当n〉l时，切线过

点P,I(%T，0);即0-d=履丁®I_《,)得一%=£,所以数列｛〃,,｝是首项为上

。“一1攵-1K-1

⑶设s“=J-+2+…+土1！+2_则"1.5“=-1+2+...+巴11+/-两式相减,

a„_.a„k%a-,a„a114.,

k-1-1I1n

得(1—)xS〃=—+—+・・•+-----------<+------1-,•♦+----,

说明：该题结合了解析几何、数列、导数、不等式等诸多知识，综合性较强；解答时需

要较强的思维能力与坚持不懈的精神，而将数列与导数结合一起是一种创新。

例4,定义在实数集上的偶函数f(x),满足f(x+2)=f(x),且f(x)在［-3,-2］上单调减,

又a、B是锐角三角形的三个内角，则()

A,f(sina)>f(sinB)B,f(cosa)<f(cosB)

C,f(sina)>f(cosB)D,f(sina)<f(cosB)(金榜园三模)

解：由已知，f(x)的周期为2,且在［-3,-2］上单调减，根据此点可以作出图象大致如

下:

f(x)在［0,1］上t,只要比较自变量

的大小：a、B是锐角三角形的三个内角二a+B>n/2,的大a>”/2-B，sina>sin("

/2-B)=cosB,于是f(sina)>f(cosB),选C.

说明：该题虽小，但综合了三角、函数的有关知识，解法上也用到了转化与数形结合的

思想。

［试题汇编］

、单项选择题

4

1,函数y=f(x)是偶函数，当x>0时,f(x)=x+—,且当xW[-3,T]时,nWf(x)<m,则

x

m-n的最小值为()A,1/3B,2/3C,1D,4/3(郑州质检)

2,设f(x)=|log3x|,若f(x)>f(」7),则x的取值范围是(

2

2772727

A,(0,-)U(1,-)B,(―,+8)C,(0,-)U(-,+~)D,一,一)(湖南示范)

7227272

3,(文)已知f(x)=x'l,则lim"2+3x)―/(2):()

18X

A,4B,12C,36D,39(邯郸一模)

—1m/??-1

(理)m,n是正整数，则lim-----=()A,0B,1C,—D,丝，(文谱一模)

Xfix"-1nn—1

4,直角梯形ABCD中，P从B点出发，由B-C-D-A沿边缘运动，设P点运动的距

离是x,4ABP的面积为f(x),图象如图，则AABC的面积为()

A

9-----------c

04914

A,10B,16C,18D,32(高慧明《中学生数理化》2005(3)P28)

5,平移抛物线x2=-3y,使其顶点总在抛物线x2=y上，这样得到的抛物线所经过的区域为

()A,xOy平面B,ywgx?C,y>-^x2D,yW-gx?(同一套题一模)

6,某大楼有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层到20层，每层

一人，而电梯只允许停•次，可只使一人满意，其余18人都要上楼或下楼。假设乘客每向

下走一层不满意度为1,每向上走一层不满意度为2。所有人不满意之和为S,为使S最小,

电梯应停在第()层。

A,15B,14C,13D,12（燕园冲刺）

I_2__2

7（文）函数f（x尸""-x（O〈a〈b）的图象关于（）对称

\x+b\-h

A,x轴B,y轴C,原点D,直线y=x

/2__2

（理）函数Rx尸一1~X——（Ovavbvc）的图象关于（）对称

IX+&I+IX—C|

A,x轴B,y轴C,原点D,直线y=x（石家庄二模）

8,设a>l,对于实数x,y满足:|xHogaL=。,则y关于x的函数图象为（）

（石家庄一模）

9（文）已知函数f（x）=log2x的反函数为「（x）,若J（a）「（b尸4,则a+b=（）

1

A,-B,1C,2D,4

2

22

（II）已知函数f（x）=Iog2x的反函数为『（x）,若J（a）fI（b）=4,则a+b的最小值为（）

A,-B,1C,2D,4（江西吉安二模）

2

10,设产f（x）是一次函数，出0尸1,且41）,出4）,瑁3）成等比数列，则£/（2口=（）

y

A,n（2n+3）B,n（n+4）C,2n（2n+3）D,2n（2n+4）（石家庄一模）

11,a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列，公比为q,则q+q'q'3）

A,1B,2C,3D,4（〈中国考试.2005高考专刊〉模二）

12（文）数列｛aj前n项和为Sn=3n-2n2,当n22时，下列不等式成立的是（）

A,nai>Sn>nanB,Sn>na!>nanC,nan>Sn>na[D,Sn>nan>nai（北京东城练习一）

（理）有一条生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量增长率为150%,以后每

年的增长率是前一年的一半；同时，由于设备不断老化，每年将损失年产量的10%。则年

产量最高的是改进设备后的第（）年。A,1B,3C,4D,5（名校联考）

二，填空题

13（文）某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下:

存期1年2年3年5年

年利率（%）2.252.42.732.88

某人在该段时间存入10000元，存期两年，利息税为所得利息的5%。则到期的本利和为

兀。（按石家庄质检改编）

+1

（理）lim（--------+an+b）=3,贝ija+b=______________（湖南示范）

"isn+1

14,设f(x)=|x|x+bx+c,给出下列命题中，所有正确的命题序号是

①b=0,c>0时，f(x尸0仅有一个根：②c=0时，y=f(x)为奇函数：③产f(x)的图象关于点(0,1)

对称；④线x)=0至少有两个实数根。(燕园冲刺二)

15(文)在等比数列忸3中，a7a“=6,a4+ai4=5,则刨=(黄冈模拟)

a\o

(理)已知数列同｝各项为正数，前n项和为Sm有Sn=3(an+l)(an+2),若a2,a*a9成等比数

6

列，贝伊广(邯郸一模)

16,已知f(x)=aX(xGR),部分对应值如表所示

X-202

f(x)0.69411.44

，则不等式f'(|x-l|)<0的解集是(湖北八校)

三，解答题

17,如图，周长为16米的篱笆借助一个墙角围成一个矩形ABCD,在矩形内的一点P

处是•棵树，树距离两墙分别为a、4米(0<a<12);若将此数围进去，又使围成的面积最大，

如何围法，并求最大面积。(理国起.《数学通讯》2004(13))

18(文)已知xWR+,F(x)是R+上的减函数,且耳x尸xF(x)

⑴对任意X1,X2GR+,求证:f(X|)>X|F(Xi+X2),f(X2)>X2F(Xi+X2),并判断f(X))+f(X2)>f(Xi+X2)

是否为F(x)在正实数集上递减的必要条件：⑵将⑴中的结论推广到任意有限个，写出一个结

论，不必证明(郑州质检)

(理)已知函数f(x尸e”(cosx+sinx),将满足f(x尸0的所有正数x从小到大排成一个数列

tsk

入｝；⑴证明：数列入｝等比；⑵记S”为数列｛Xnf(XJ｝的前n项和，求S=lim且一的值(陈

东明.《试题与研究》2005(14)P17-18)

19,已知f(x)是定义在实数集上恒不为0的函数，对任意实数x,y,f(x)f(y尸f(x+y),当x>0

时，有0<f(x)<f(l),⑴求f(O)的值,并证明f(x)恒正；⑵求证f(x)在实数集上单调减；⑶设

a|=l/3,an=f(n)(n为正整数)，S”为数列佃｝的前n项和.(文)求Sn(理)求集合

｛附)郎2b……,f(Sn),……,fUimSJ｝的最小元素m与最大元素M(邯郸二模)

H—>00

n

20(文)已知数列an=(-l),n=l,2,3,……⑴数列｛aQ的前n项和为A2数列｛A。｝的前n项

和为Sn,求证：2Sn+n=An⑵设bf(1为月,数列佃｝、｛也温的前n项和分别为Bn,Cm若Cn

比Bn大42,求n(唐山二模)

(理)已知£=(2乂-2"9-2垃/=(・1,1),点列心壮)在曲线E:产Z•丹上，而点ah)在

S

y=logax(a>0且aWl)的图象上(n£N*)⑴记Sn为㈤｝的前n项和，当a=3时，求limY■的

3V

值；⑵是否存在正整数M,使得当n>M时，a/l恒成立？证明你的结论。（吉安二模）

21（文）商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500

万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工

并交付使用，公寓管理处采用收费还贷建行偿贷款形式（年利率5%,按复利计算），公寓

所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.（1）若公寓

收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；（2）若公寓管理处要在

2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）.（参考数据:

Igl.7343=0.2391,lgl.05=0.0212,1.058=1.4774）

（理）某地区发生流行性病毒传染，居住在该地的居民必须服用一朝药物预防，规定每

人每天早晚8时各服一片。现知该药片每片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体

内滤出这种药物的60除在体内残留量超过386毫克，就将产生负作用。⑴某人匕午8时第

一次服药，问到第二天上午8时，这种药物在体内还残留多少？⑵长期服用这种药的人会不

会产生负作用？（《中学数学教学参考》2005（4）P42）

22（文）如图，一个粒子在区域｛（x,y）|x20,y》0｝上运动，在第一秒内它从原点运动到

B1（O,1）点，接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒运动一个单

B5

B4

B3J

B21

1AlA2A3A4A5A6

位长度。I

⑴设粒子从原点到达点A0、Bn、Cn时，所经过的时间分别为a0、bn>Cn,试写出三者的通

项公式;⑵求粒子从原点到点P（16,44）时所需要的时间;⑶粒子从原点开始运动,求经过2004

秒后，它所处的位置（《中学数学教学参考》2005（4）P42）

（理）设A（x1,y）,B（X2,y2）是函数f（x）=—1+log?」X一图象上任意两点，且

21-x

（3+而），点M的横坐标为g⑴求证M点的纵坐标为定值;⑵若S.=£/（2）,n

2

GN*,且n22,求S”;⑶已知a"=、（”=DnGN*,T"为数列｛aj的前n项和，若TW

----------;----------（"22）

入（Sm+l）对一切nGN*都成立，求人的取值范围（潍坊模拟）

向量与三角

一，考纲要求及分析

1.平面向量：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。掌握向

量的加法和减法。掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。了解平面向量的基

本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。掌握平面向量的数量积及

其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂

直的条件。掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练

运用。掌握平移公式。试题一般设计思路是理解为容易题，掌握为中等题，熟练应用为综合

题，而向量综合又集中于距离、定比分点向量的坐标运算处，创新也主要体现在它与三角、

解析几何的进一步综合性的加强上。

2,三角部分：理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算。掌握

任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义。掌握同角三角函数的基

本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期函数与最小正周期的意义。掌握两角和与

两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。能正确运用三角公

式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。了解正弦函数、余弦函数、正切函数

的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数产Asin(3x+0)的简图，理解

A,3,0的物理意义。掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。此处试

题的创新主要体现为以下几点：一是由于多年惯性的作用，仍然在三角函数的图象和性质上

下大力气，这种创新实质还是将三角函数的图象和性质视作掌握层次加以对待，小题中出现

尚可，大题中出现不贴切；二是原来以三角求值为重心转化到以化简为重心，这一转换实质

是将求值看作•种特殊的化简对待，是i种认识思想理念的转变，理应给予肯定；三是将平

移综合在一起，既坚持了传统意义上的左、右、上、下平移叙述，也可以以向量的面貌出现,

也是很贴切的处理方式。

例1，将函数y=J(cos3x-sin3x)的图象沿向量a=(h,O)平移，可以得到y=-sin3x的

2

图象，其中h=()A,Jt/4B,-n/4C,Ji/12D,-n/12(《高中数理化》

2005(2)P3)

解［方法一］将y=-sin3x沿-a=(-h,0)平移得y=-sin3(x+h)=-sin3xcos3h-cos3xsin3h

sin3h-....27r

J23h=-—+2kn,h=—kn-一(k£Z),k=O时,h=--.选D

72431212

cos3h=---

2

[方法二]y=---(cos3x-sin3x)=-sin(3x-C)=-sin[3(x-2),沿a二(-£,0)平移可得

241212

y=-sin3x,选D.

说明：该题的两种解法体现了正向、逆向两种思维顺序的变化，以此来体现思维能力；

平移又是学生最容易犯错误的地方，一般的点(x,y)沿向量(h,k)平移后得到(x+h,y+k),而曲

线f(x,y)=0沿向量(h,k)平移后得到曲线f(x-h,y-k)=0,向量(x,y)沿向量(h,k)平移后得到

向量仍然为(x,y),这些规律可以用“点相同，线相反，向量平移永不变”一句话加以总结，

这里沿向量(h,k)平移也可以叙述为沿x轴、y轴平移h、k个单位，h、k为正表示向右、上

平移，为负表示向左、下平移。

例2,二次函数f(x)对任意实数x,f(l-x)=f(1+x)成立，设a=(sinx,2),b=(2sinx,')

2

,c=(cos2x,1),d=(l,2),当xW［0,n］时,解关于x的不等式f(a.b)>f(c.d)(毛仕理.《数理

天地》.2005(4).P19)

解：山已知f(x)关于x=l对称，而a.b=2sir?x+l=2-cos2xN1,c.d=cos2x+221,

f(a.b)>f(c.d),当二次项系数为正时，f(x)在x21上单调增，a.b>c.d,cos2x<0,VxG

rr3乃解集为「o,7卜

[0,｝：RJ3.(当二次项系数为负时,

44

例3,设两个向量ei、e2,满足|e1|=2,e2|=1,ei>6的夹角为60°,若向量2tei+7te2

与向量ei+te?的夹角为钝角，求实数［的取值范围（邯郸一模）

解：由已知得（2te1+7te2）.（ei+te2）=2te/+（2t2+7）eie2