浙教版数学九年级上-知识点汇总全章节

浙教版数学九年级上-知识点汇总全章节第1章二次函数第一部分基础知识1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.（2）函数的图像与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.3.二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大。②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧，“左同右异”.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0,)(,0)(,)()11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.12.直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为(0,).（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).（3）抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故第2章简单事件的概率知识点一必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。知识点二事件发生的可能性的大小必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。知识点二概率一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。由m和n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1.当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.知识点三用列举法求概率一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。知识点二用列表发求概率当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。知识点三用树形图求概率当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。知识点四用频率估计概率在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某一个常数P，那么事件A发生的频率P（A）=p。第3章圆的基本性质第3章圆的基本性质知识网络图知识网络图知识精讲知识精讲一、圆的相关概念与性质1、圆（1）描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径．通常用符号表示圆，记作“”，读作“圆”．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）同圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；（4）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；（5）等圆：半径相等（能够重合）的两个圆叫做等圆．【注意】同圆或等圆的半径相等．同心圆仅指圆心相同2、弦（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．【补充】圆心到弦的距离称为弦心距．【注意】直径是最长的弦，圆中，弦长的取值范围是：．3、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．（2）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（4）优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个大写字母表示，如．（5）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个大写字母表示，如．（6）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．【注意】一般表示的是劣弧，优弧的表示要用三个字母表示，再在圆弧上任选一个字母，例如．4、圆心角圆心角：顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．【补充的弧：将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．【注意】圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．5、圆周角圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．【补充】直径所对的圆周角为90度．【注意】任意一条弧所对的圆周角有无数多个，只有一种，他们都相等．任意一条弦所对的圆周角也有无数个，但是分为两种，他们互为补角．注意右图不是圆周角6、圆的旋转对称性圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．【注意】圆心角、弧、弦、弦心距之间知一推三的关系可以由圆的旋转对称性得到．7、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．【注意】垂径定理可以由圆的轴对称性得到．二、垂径定理1、定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2、推论：（1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【补充】圆的两条平行线所夹的弧相等．【注意】注意推论（1）中“非直径”的约束条件，因为圆中任意两条直径都互相平分，但是不一定垂直．三、弧、弦、圆心角的关系弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．【注意】因为一条弦对的弧有两条，所以由弦等得出弧等时，这里的弧等指的是弦对的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。【补充】“圆心角、弧、弦和弦的弦心距”四组量中，有一组量对应相等，其他的三组量也对应相等，换言之为“四有一推三”，但当用到“弦心距”时，需要用全等先证明再用。四、圆周角定理圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．【注意】在应用定理时，一定要保证“同弧或等弧”的前提。圆周角定理的推论（1）同弧或等弧所对的圆周角相等。【注意】不能把“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，因为一条弦所对的圆周角有两种情况。一般情况下不相等，如图2（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．【注意】“相等的圆周角所对的弧也相等”这一结论的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这一前提条件，结论不成立。如图3（3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．【注意】一般情况下，当条件中有直径时，往往做出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形。五、与弧长有关的计算1、弧长的计算：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式：2、多边形滚动问题解决多边形滚动问题，要明确旋转中心，旋转半径、旋转方向以及旋转角度．常见的多边形滚动问题有：（1）正三角形沿水平线翻滚；（2）直角三角形沿水平线翻滚；（3）正方形沿水平线翻滚；（4）各内角相等的正多边形沿水平线翻滚；（5）各内角不相等的多边形沿水平线翻滚．六、与扇形有关的面积计算1、扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．2、扇形的周长：在半径为，圆心角的度数为的扇形中，周长的公式为：3、扇形面积的计算公式：（1）（2）（为扇形的弧长）【注意】扇形的面积有两个计算公式，根据题目的不同可以选择不同的公式进行计算．七、与弓形面积有关的计算1、弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．2、弓形的面积计算：弓形的面积问题可以转化成扇形面积和三角形面积来计算．根据弧的情况不同，有以下三种情况：（1）当弓形所含的弧是劣弧时，（2）当弓形所含的弧是优弧时，（3）当弓形所含的弧是半圆时，八、圆锥的相关概念1、定义：圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转一周而形成的图形。这条直线叫做圆锥的轴；垂直于轴的边旋转一周而成的面叫做圆锥的底面，圆锥的底面是一个圆面；斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面．2、高：从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高．3、母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．九、圆锥的面积1、圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥的底面周长，因此圆锥的侧面积公式为：2、圆锥的全面积：圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积．公式为：十、圆锥与扇形的关系将圆锥的侧面，沿它的任意一条母线剪开，得到的图形即为扇形。圆锥的母线即为展开以后的扇形的半径，圆锥的底面周长即为展开以后扇形的弧长．【补充】已知扇形的半径为，圆心角为，扇形围成的圆锥的底面半径为，则可以三者之间的关系为：解题方法技巧解题方法技巧1、连接圆中任意两条半径和弦构成等腰三角形．2、题目中有直径时，通常要构造直径所对的圆周角，从而构造直角三角形．3、与垂径定理有关的解题方法（1）垂径定理反映的是经过圆心的直线和圆中弦的关系，“要求弦长，先求弦长的一半”，注意对由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形模型的理解和应用．（2）在同圆中，利用垂径定理的知识，若已知弦长相等，则弦心距也相等，反之也成立．（3）应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．4、有关弧的中点引辅助线的方法（1）连过弧中点的半径；（2）连等弧对的弦；（3）连等弧对的圆心角。有关弦中点的引辅助线的方法：连过弦中点的半径。6、求弧的度数：构造弧所对的圆心角。7、比较弧的大小，可以转化成比较弦、圆心角的大小。8、有线段的倍分关系时，常利用“折半、加倍”的方法做辅助线。9、圆中证明角相等的方法：（1）同角（或等角）余角相等；（2）圆周角定理；（3）半径相等出等腰三角形；（4）平行线出同位角或内错角相等；（5）全等或相似三角形中的对应角相等；（6）在同圆或等圆中，等弧或等弦所对的圆周角相等（常见于弧的等分点）。10、当已知弧长与半径，可以推得圆心角的计算公式为：．11、在求与扇形有关的不规则图形的面积时，常常需要割补法来求．12、当题目中已知圆锥的母线和底面圆的半径，求展开以后的扇形的圆心角时，可以通过公式推得其三者之间的关系为：．易错点易错点辨析1、直径是弦，但弦不一定是直径，只有过圆心的弦才是直径，直径是最长的弦．2、在同圆中，同弧所对的圆周角相等，但是同弦所对的弧有两条，所以所对的圆周角有两种，可能相等，也可能互补．涉及到平行弦之间的距离问题，共顶点之间的弦夹角问题时，需要分类讨论．圆心角、弧、弦三者之间的关系可以直接运用定理推得，但弦心距的关系要通过全等等其它方法来证明。应用圆心角、弧、弦之间的关系以及圆心角定理时，不要忽略“同圆或等圆”的前提。弦所对的弧有优弧、劣弧两条，解题时要注意分类讨论。7、在应用定理时，一定要保证在“同弧或等弧”前提。8、三点确定一个圆，必须是不在同一直线上的三点．9、已知点到圆上距离最大最小值，求半径时，要注意分类讨论。【例题】一个已知点到圆周上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为________．【答案】当点在圆外时，；当点在圆内时，．10、圆锥面积计算公式中的与扇形面积计算公式中的表示的含义是不一样的，应用时不要用混淆．11、求圆锥的面积时，如果题目没有说明求侧面积，则都要求圆锥的全面积．12、在遇到求最短路径问题时，一定要将圆锥展开，再利用两点之间线段最短的原理即可．13、在解决多边形滚动问题时，要注意点在滚动的过程中会取得最大值的情况．第4章相似三角形知识网络图知识网络图知识精讲知识精讲一、比例的性质1．，这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式；2．(反比定理)；3．(或)(更比定理)；4．(合比定理)；5．(分比定理)；6．(合分比定理)；7．(等比定理).二、黄金分割如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段的黄金分割点，其中，，与的比叫做黄金比．三、平行线分线段成比例定理1．定理：三条平行直线截两条直线，截得的对应线段成比例．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4．三角形一边的平行线性质平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，，则．若将称为上，称为下，称为全，上述比例式可以形象地表示为．当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“”字型，“”字型．则有．四、相似三角形的定义1．相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形．如图，与相似，记作，符号读作“相似于”．2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比；全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。五、相似三角形的判定：1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。2．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似。3．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。4．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。【注意】1．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．2．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）3．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．六、相似三角形的性质：1．相似三角形的对应角相等如图，与相似，则有．2．相似三角形的对应边成比例如图，与相似，则有（为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）．如图，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．如图，与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）．4．相似三角形周长的比等于相似比．如图，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有．5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．进而可得．七、位似1．定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。【注意】从位似的定义中可以找到位似图形的判定及性质，在做题中这就是做题的依据。2．位似常会出现多解情况，需要注意．解题方法技巧解题方法技巧1、与角分线有关的相似角平分线类的相似模型如下：方法点拨：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这部分知识时，不管是平时测验和期中、期末考试，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决．已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：2、与射影定理有关的相似射影定理常见及扩展模型：图1有：图2有：如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：．3、内接矩形与相似三角形内接矩形类的模型及结论：其中，在平时训练中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一结论，有助于进行解题．如图，边长为的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为，，则的值为_____________．中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求锐角中，，，两动点，分别在边，上滑动，且，以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为.（1）中边上高__________；（2）当_________时，恰好落在边上（如图1）；（3）当在外部时（如图2），求关于的函数关系式（注明的取值范围），并求出为何值时最大，最大值为多少.4、一线三等角模型与相似一线三等角模型是以等腰三角形（等腰梯形）或等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别于等腰三角形的两边相交