集合的基本概念离散数学

集合的基本概念离散数学REPORTING2023WORKSUMMARY目录CATALOGUE集合的定义与表示集合间的关系与运算幂集与笛卡尔积映射与函数等价关系与划分偏序关系与哈斯图PART01集合的定义与表示010203集合是一个数学概念，它是一组具有某种共同特性的对象的总体。集合中的每一个对象称为该集合的元素。集合与元素之间的关系是属于与不属于的关系。集合的定义将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来，元素之间用逗号分隔。列举法用图形来表示集合，如文氏图等。图示法集合的表示方法有限集集合中的元素个数是有限的。无限集集合中的元素个数是无限的，如自然数集、整数集等。空集集合中没有任何元素，用符号∅表示。非空集集合中至少有一个元素。集合的分类PART02集合间的关系与运算定义自反性传递性反对称性集合的包含关系任何集合都包含于自身，即A⊆A。如果A⊆B且B⊆C，则A⊆C。如果A⊆B且B⊆A，则A=B。对于两个集合A和B，如果A中的每一个元素都是B中的元素，则称A包含于B，或B包含A，记作A⊆B或B⊇A。集合的相等关系对于两个集合A和B，如果A包含于B且B包含于A，则称A与B相等，记作A=B。定义如果A=B，则B=A。对称性如果A=B且B=C，则A=C。传递性任何集合都与其自身相等，即A=A。自反性集合的交、并、差运算交集：对于两个集合A和B，由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集，记作A∩B。交换律A∩B=B∩A。结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。集合的交、并、差运算集合的交、并、差运算分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。并集对于两个集合A和B，由所有属于A或属于B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B。集合的交、并、差运算A∪B=B∪A。交换律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。结合律分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。要点一要点二差集对于两个集合A和B，由所有属于A但不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记作A−B。集合的交、并、差运算02030401集合的交、并、差运算性质A−B=A∩¬B（¬B表示B的补集）。A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)。A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)。PART03幂集与笛卡尔积VS设A是一个集合，由A的所有子集（包括空集和A本身）构成的集合称为A的幂集，记作P(A)或2^A。幂集性质若A是一个有限集，且|A|=n，则|P(A)|=2^n；幂集运算满足结合律和分配律等。幂集定义幂集的定义及性质设A和B是两个集合，由所有有序对(a,b)（其中a∈A，b∈B）构成的集合称为A和B的笛卡尔积，记作A×B。若A和B都是有限集，则|A×B|=|A|×|B|；笛卡尔积运算满足结合律和分配律等。笛卡尔积的定义及性质笛卡尔积性质笛卡尔积定义在关系代数中，幂集用于表示二元关系中的所有可能的子集；在图论中，幂集用于表示一个图中所有可能的边集等。在关系代数中，笛卡尔积用于表示两个二元关系之间的所有可能的有序对；在数据库查询语言中，笛卡尔积用于连接两个表中的所有行等。此外，在计算机科学中，笛卡尔积也广泛应用于算法设计和数据结构等领域。幂集应用笛卡尔积应用幂集与笛卡尔积的应用PART04映射与函数映射定义设X,Y是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于X中的每一个元素x，在Y中都有唯一的元素y与之对应，那么这样的对应（包括集合X,Y以及到集合Y的对应法则f）叫做从集合X到集合Y的映射。记作f:X→Y。映射性质映射具有单值性、存在性和唯一性。即对于X中的任一元素x，按照对应法则f，Y中有唯一确定的元素y与之对应。映射的定义及性质函数是一种特殊的映射，它要求每个输入值有且仅有一个输出值。在离散数学中，函数通常表示为f:X→Y，其中X是定义域，Y是值域，f是对应法则。函数定义函数具有定义域、值域、对应关系和值等基本要素。同时，函数还有单调性、奇偶性、周期性等性质。函数性质函数的定义及性质映射与函数的联系函数是一种特殊的映射，它要求每个输入值有且仅有一个输出值。因此，所有的函数都是映射，但并非所有的映射都是函数。映射与函数的区别映射的范围比函数更广泛，它只要求每个输入值有唯一的输出值，但输出值可以有多个对应的输入值。而函数则要求每个输入值有且仅有一个输出值，即函数的对应关系具有单值性。映射与函数的关系PART05等价关系与划分ABCD定义设$R$是集合$A$上的一个二元关系，若$R$满足自反性、对称性和传递性，则称$R$是$A$上的一个等价关系。2.对称性对于任意$x,yinA$，若$xRy$，则$yRx$。3.传递性对于任意$x,y,zinA$，若$xRy$且$yRz$，则$xRz$。1.自反性对于任意$xinA$，有$xRx$。等价关系的定义及性质定义：设$A$是一个集合，若$A$的子集族${A_i|iinI}$满足以下条件1.$bigcup_{iinI}A_i=A$。2.对于任意$i,jinI$，若$ineqj$，则$A_icapA_j=varnothing$。010203划分的定义及性质划分的定义及性质1.完全性划分的所有子集的并集等于原集合。2.互斥性划分的任意两个不同子集之间没有交集。划分的定义及性质设$R$是集合$A$上的一个等价关系，对于任意$xinA$，称集合$[x]_R={yinA|xRy}$为元素$x$关于等价关系$R$的等价类。集合$A$关于等价关系$R$的所有等价类构成的集合是$A$的一个划分。等价类与划分的关系设${A_i|iinI}$是集合$A$的一个划分，定义集合$A$上的二元关系$R={(x,y)|x,yinA_i,iinI}$，则$R$是$A$上的一个等价关系，且${A_i|iinI}$就是该等价关系的等价类构成的集合。划分与等价关系的关系等价关系与划分的关系PART06偏序关系与哈斯图自反性对于任意x∈A，有xRx；传递性对于任意x,y,z∈A，如果xRy且yRz，则xRz。反对称性对于任意x,y∈A，如果xRy且yRx，则x=y；偏序关系的定义设R是集合A上的一个二元关系，如果R满足自反性、反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系。偏序关系的定义及性质哈斯图的定义：哈斯图是一种用于表示偏序关系的图形化工具。在哈斯图中，每个元素用一个点表示，如果元素x小于元素y（即xRy），则在图中从点x画一条直线到点y。哈斯图的画法确定元素的排列顺序；根据偏序关系连接元素；省略自环和传递性边。0102030405哈斯图的定义及画法在计算机科学中，偏序关系和哈斯图可用于比较和排序算法的设计和分析。比较排序在社会选择理论