水文水资源风险分析课件

數字仿真技術

隨機變數的抽樣一、變換法

（１）利用一個隨機變數Ｕ的變換抽樣若為隨機變數Ｘ的分佈函數，

(2—6)

則

(2—7)

其中為的反函數。可見，U是[0，1]上均勻分佈的隨機變數，由式(2—6)可得

(2—8)於是，若獲得了Ｕ的亂數代入公式

(2—9)可求得Ｘ的亂數（２）利用兩個相互獨立均勻分佈變數Ｕ１、Ｕ２的變換

設Ｕ１，Ｕ２是兩相互獨立的［０，１］上均勻分佈隨機變數，考慮如下函數：假設函數存在唯一的反函數，並記為即：

(2—10)(2—11)若記的聯合密度為，的聯合密度為，則根據多元隨機變數的函數分佈理論與有下述關係：

其中：因為[U1，U2]是相互獨立的[0，1]上均勻分佈隨機變量，所以有由這一關係，有時可以得到很方便的抽樣方法。(2—12)(2—13)(2—14)(2—15)例1：利用兩獨立均勻分佈變數生成正態變數亂數。解:先生成相互獨立的[0，1]上均勻分佈隨機變數U1，U2的亂數代入公式則n1i，n2i分別為互相獨立標準化正態分佈變數N1，N2的亂數。即為互相獨立標準化正態分佈變數。(2—17)(2—16)證：由上式得反函數如下：於是：(2—18)得：

上式表示，（N1，N2

）的聯合密度是兩個相互獨立的標準正態變數密度的乘積，這就證明了經變換得到的N1，N2是兩個相互獨立的標準正態變數。(2—19)(2—20)例2:[0，1]上均勻分佈變數Ｕ之和、積、商的分布利用隨機變數之和、積、商的公式，可以得到下列幾個關係。①n個獨立隨機變數之和的密度函數為②n個獨立隨機變數之積的密度函數為(2—21)(2—22)③兩個相互獨立隨機變數之商的密度為④n個的對數之和的密度為(2—24)(2—23)以上結果說明，若要得到服從式(2—21)—(2—24)分佈的四個隨機變數的樣本時，只要利用其與U的關係，先抽取U的樣本再代入上述變換式即可得到它們的樣本，例如，在已知X的密度式為式(2—24)時，為了得到X的樣本，則可先抽一容量為kn的U的樣本在代入關係式就可獲得X的樣本了。(2—25)（２）舍選抽樣上述變換法抽樣，又叫直接抽樣法，在實際應用時，對有些隨機變數用上述變換法可能很麻煩，所以一般應用不多，而舍選抽樣利用一定的檢驗條件進行舍選，以得到所需隨機變數的抽樣值，這種方法靈活，簡單，所以應用較廣。Ｇamma分佈與P-Ⅲ型分佈的舍選抽樣方法①Ｇamma分佈的舍選抽樣方法設隨機變數Ｘ服從Gamma分佈，其密度函數如下：

其抽樣過程如下圖：生成亂數u1,u2,u3作變換：作變換：是否先求的聯合密度:由得逆變換於是故又由於的聯合密度,於是的聯合密度為:(2—34)再求T和V的聯合密度:逆變換於是故聯合密度為(2—35)

由抽樣框圖可以看出，只在條件下，才服從Gamma分佈，因此，下一步要證明在條件下，的密度函數與Gamma分佈的密度函數式相同，為了求得條件下的分佈密度函數，必須先求出T的密度函數(在條件下的密度函數)及的密度。為此先求的概率:(2—36)

式中為Bata函數。於是在條件下，T的分佈函數為從而在條件下，T的密度函數為(2—38)(2—39)(2—37)具有上述密度的隨機變數稱為服從Bata分佈隨機變數，上式中的第二個等號是利用Bata函數與Gamma函數的關係:式(2—39)中的最後一個等號成立是因為此處及若以表示條件下的T，即取值及其概率等於條件下T取值及概率，於是的分佈密度即如式(2—39)所示。再令，由式(2—24)可知，其為指數分布，即其密度函數為由於相互獨立，所以與也相互獨立，於是與的聯合分佈密度為(2—40)(2—41)(2—42)因為是條件下的T，因此當時，有上式中的最後一個等號只當時成立。現在求的密度函數，為此再定義變換由此的逆交換:由式得(2—43)(2—44)從而的聯合密度為最後一個等號是根據式(2—40)及，而得。

上述結果說明按式(2—43)及(2—44)定義的及是相互獨立的Gamma變數，而此處，就是框圖中的，這就證明了上述抽樣方法的正確性。

②

P-Ⅲ型分佈的抽樣方法

（Ⅰ）方法一

設所研究的隨機變數服從P-Ⅲ型分佈，其密度函數如下:式中，>0

假定滿足，其中n為整數，，再令得

則Z的密度為可見，P-Ⅲ型變數經變換(2—46)後就變成了Gamma變數Z，將代入(2—47)得(2—45)(2—46)(2—47)因為相互獨立的Gamma變數對加法運算是封閉的，即若獨立隨機變數X，Y都服從Gamma分布，其密度為則其和也服從Gamma分佈，其密度為(2—48)(2—49)(2—50)(2—51)而例2之④已指出，當時，Y的分佈密度如式(2—50)所示。而X即是參數為且滿足的Gamma變數，於是為了取得P-Ⅲ型變數的抽樣值，可先取得Z的抽樣值,而為了取得，可先取得Ｘ的抽樣值ｘ及Ｙ的抽樣值ｙ，再由

求出,而X的的抽樣值ｘ可用前述參數為且滿足的Gamma分佈抽樣方法得到，而Ｙ的抽樣值ｙ可按式(2—24)抽得。綜上所述，可得P-Ⅲ型變數的抽樣過程如下:（Ⅰ）方法一第一步：先求出所要模擬的P-Ⅲ型分佈變量的三個基本參數，Cv和Cs；第二步：用下列用公式計算P-Ⅲ型密度函數：中的三個原始參數：

第三步：將分解為，為非負數，；第四步：按下列框圖進行的抽樣：的抽樣框圖（Ⅱ）方法二這種抽樣方法的過程如下:第一步：求出P-Ⅲ型變數的三個基本參數，Cv和Cs；第二步：將P-Ⅲ型分佈離均係數值表全部輸入電腦；第三步：生成［０，１］上均勻分佈亂數u；第四步：根據己知的Cs及u（即隨機抽取的概率Ｐ值）查值表得到相應的值（這裏常需插值程式）；

第五步：用下式計算的抽樣值重複三至五步n次，可得到的容量為n的樣本顯然這種方法抽得的樣本中，每一個值都有明確的超過概率，這是與方法一不同的。

風險的識別與估計§3－1緒論

一、風險存在的普遍性

天有不測風雲，人有旦夕禍福。對於未來的事，誰能有百分之百的把握？即便是很有把握的事，也會有意外發生。總之，幾乎事事、處處我們都會遇到風險。二、風險的定義

通俗地講，風險就是發生不幸事件的概率。或者說，風險就是產生我們所不希望的後果的可能性。風險分析包括不幸事件發生的可能性和它所產生的後果大小兩個方面。這樣，風險可表示為事件發生的概率及其後果的函數：風險R=f(p,C)

式中p----事件發生的概率

C----事件發生的後果

三、風險分析的目的為決策提供支持。風險分析:識別、估計、評價、決策。四、如何對待風險這是一個十分重要的問題，有時會成為我們事業成敗的關鍵。對我們個人、集體或國家的重大決策要進行認真的科學的風險分析和決策分析。§3－2風險的識別一、風險識別的任務

①有哪些風險？②引起這些風險的主要因素是什麼？③這些風險所引起的後果嚴重程度如何？二、風險識別的方法

1.分析的方法①分解的方法例:建一座化肥廠②故障樹例:放射性物質污染風險分析的故障樹。放射性物質污染天體或核爆炸影響水質污染火山噴射放射性物質事故浸蝕鑽井意外礦井傳動裝置的錯誤封閉地層岩石的壓力與運動放射物儲藏的突然洩露2.專家調查方法①Brainstorming

這種技術是由美國人奧斯本於1939年首創的，首先用於設計廣告的新花樣，1953年他總結經驗後著書問世。“頭腦風暴”原來多用來形容精神病人的胡言亂語，奧斯本則借用它來形容參加會議的人可以暢所欲言，鼓勵發表不同意見，不受任何約束。智暴專家小組一般應由下列人員組成:1.方法論學者—風險分析或預測學領域的專家，一般可擔任會議的組織者。2.思想產生者—專業領域的專家，人數應占小組的50~60%。

3.分析者—專業領域內知識比較淵博的高級專家。

4.演繹者—具有較高邏輯思維能力的專家。這種會議適合於所探討的問題比較單純，目標比較明確的情況。如果問題牽涉面太廣，包含的因素太多，那就要先進行分析和分解，然後再採用此法。當然，對智暴的結果還要進行詳細的分析，既不能輕視，也不能盲目接受。有時一條意見就可能帶來很大的社會、經濟效益。

近年來智暴方法在國內外都得到了廣泛的應用。例如在美國國防部制定長遠科技規劃中，曾邀請50名專家採用智暴方法開了兩周會議。在原規劃檔中，有25~30%的意見得到保留。另外，英國郵政部和美國洛克希德公司(Lockheed)、可口可樂公司(CocaCola)及國際商用機器公司(IBM)也應用智暴法開展了預測工作。②Dlephi

它有三個特點:在參與者之間相互匿名，對各種反應進行統計處理以及帶有回饋地反復進行意見測驗，1974年Sachman提出的程式如下:1.用一種具有特殊形式的、非常明確的、用筆和紙可以回答的一些問題，用通訊的方式寄給大家，或在某種會議上發給大家，或者通過對話式的線上的電腦控制臺，參加者不能面對面。

2.問題條目可以由問題研究的領導者或參加者或由雙方確定。

3.問詢分兩輪或多輪進行。

4.每一次反復都帶有對一定條目的統計回饋，它包括中位值及一些離散度的量測數值(如上、下四分點的數值，即有一半的回答屬於他們之間)，有時要提供全部回答的概率分佈。5.回答在四分點之外的回答者可以被請求更正其回答，或陳述其理由，對每一次的反復皆可提供必要的資訊回饋(各個人之間仍保持不通姓名)。

6.隨著每次反復所獲得的資訊量愈來愈少可由領導人決定在某一點停止反復。德爾菲方法在某些情況下是有用的，例如:1.有些問題不能用分析的方法加以解決，但專家的判斷對解決問題是有益的。

2.對某個問題的解決可提出有益意見的專家來自各個不同的專業，他們之間一向沒有什麼聯繫。

3.需要徵求比召開一次面對面的討論會的參加者更多的人的意見。

4.反復召開討論會要花費太多的時間和費用。

5.用通訊方式作為補充，提高討論會的效率。

6.在各個人之間的意見分歧太嚴重或出於人事關系原因，互相之間要求用匿名方式。

7.為了保證結果的合理性，避免個人權威、資歷、口才、勸說、壓力等因素的影響。下麵以某項技術風險為例進行一些討論。設某工廠計畫生產某種產品甲，為此需進行投資並需一定的建設週期，根據技術風險分析，知道有一種潛在危險，即當前正在研製某種新產品乙，如果產品乙投入大規模生產，就會將產品甲擠垮。這樣，產品乙的投產日期就成為風險估計中的關鍵問題。

現就產品乙何時能投產這一簡單問題進行德爾菲方法諮詢，設從13名專家成員回答的預測年代所得到的統計結果為:

下四分點中位數

19751977198019841990199019921995

上四分點

1997200820122020永不

注意，在此統計結果中，中位數並不是平均值，而是將專家意見按次序排列後中間位置的數值，上、下四分點也是上半部和下半部專家意見的中位值。上、下四分點之間包含有半數的意見。中位數常被作為專家傾向性意見，而兩個四分點之差則表示意見的一致程度，差距愈小，意見愈一致。該方法的缺點是:上下四分點以外的專家意見完全對中位數沒有影響。如果需要，也可以採取算術平均值和方差作為統計的特徵數據。

使用德爾菲方法對某一事件進行預測時，所得預測的中位數與上、下分點，通常都表現出明顯的收斂趨勢。即經過幾輪徵詢(一般不超過四輪)之後，專家意見逐漸趨於一致。現將前述簡單例子的四輪統計結果見下表。輪次中位數(年)下四分點(年)

上四分點(年)1199219822010219891984200031990198619984198819861992

徵詢調查表是進行德爾菲方法的重要一環，調查表制定的好壞，直接關係著預測結果的優劣，在制定調查表時，需注意以下幾點:1.首先要對德爾菲法作出簡要說明。因並非眾人皆知此法，加上本次調查的具體情況，以避免誤解。

2.問題要集中，要很好排列，以引起專家回答問題的興趣。

3.避免組合事件。如果一個事件包括兩個方面，一個方面是專家同意的，另一個面是專家不同意的，這時專家就很難作出回答。

4.用詞要確切，含義不能模糊。

5.有時需給出預測事件實現的概率。

6.調查表要簡化。

7.要限制問題的數量。一般認為上限以25個為宜，不應超過50個。

8.不應強加領導者個人的意見。為了提高徵詢組織者的慎重態度和提高被諮詢者的責任心和徵詢表回收率，一般應付給專家適當的勞動報酬。德爾菲方法的不足之處:

⑴受預測者本人主觀因素的影響，特別是整個過程的領導者對選擇條目及工作方式等起著較大影響，因而有可能使結果產生偏差。⑵它有一個取得小組一致的趨勢，但從理論上並沒有證明為什麼這個意見是正確的。⑶這種方法從根本上講還是“多數人說了算”的方法，一般來講是容易偏保守的，可能妨礙新思想的產生。⑷如果不採取措施，參加者會感到不耐煩，使意見的回收率降低，因而給與參加者一定報酬是必要的。3.幕景分析方法

幕景分析是一種辨識能引起危險的關鍵因素及其影響程度的方法。一個幕景就是一個事業或某個企業未來某種狀態的描繪，或者按年代的梗概進行描繪。一般在電腦上進行。研究的重點是:當某種因素變化時，整個情況會是怎樣的？會有什麼危險發生？象電影上一幕一幕的場景一樣，供人們進行研究比較。幕景分析的結果大致可分兩類:一類是對未來某種狀態的推述，另一類是描述一個發展過程，即未來若干年某種情況的變化鏈。

幕景分析是擴展決策者的視野、增強它精確分析未來的能力的一種思維程式，但這種方法也有很大的局限性，即所謂“隧道眼光”(tunnelvision)現象，看不到全面情況，因為所有幕景分析都是圍繞著分析者目前的考慮、價值觀和資訊水準進行的，因此就可能產生偏差。§3－3風險的估計一、客觀概率與主觀概率

客觀概率:統計試驗、古典定義與概率性質來確定概率。主觀概率:根據經驗作出的主觀估計。二、主觀概率的確定

①等可能法:若有n種自然狀態，認為每種自然狀態出現的概率均為1/n，該方法又稱為拉普拉斯法。

②統計估算法:如某種決策問題中的自然狀態有三種:

每種狀態在歷史上出現的次數依次為則第種自然狀態出現的概率近似為(用頻率代替概率)

③主觀測驗法:我們也可以採用比較、試探的方法估計自然狀態出現的概率。如令表示某種自然狀態發生，表示某種自然狀態不發生。顯然有:

若比更易發生，則有:此時再將分成兩段，分點是3/4，再問決策者是接受還是接受，…，依次類推，直到決策者對認可為止。

④眾人評估法:該法是請若干經驗豐富的專家、學者等，分別對狀態發生的概率作出估計，然後決策者再加以綜合。決策者對每人評價意見的信賴程度不同，常把每個人的意見打上折扣，即加上一個信賴係數，且要求

然後計算出平均結果，作為決策系統狀態的出現概率。三、幾種常用的主觀概率分佈

①階梯長方形分佈

可根據自己的要求和所獲資訊的多少分成區間。②等概率密度分佈

這一分佈可看作是階梯長方形分佈的一種特殊情況，即只有一個區間。

③梯形分佈

梯形分佈對變數的最可能值有所估計，但又估計不准，只是知道一個區間，相應於在正常情況下的取值，另外又估計出在極端情況下的最小值和最大值(x1和x4),極端情況與正常情況之間即屬於不正常情況，發生的概率要比正常情況下小，這裏用直線相連。

④三角形分佈三角形分佈是梯形分佈的一種特殊情況，需知道最可能的數值及上下極限值。這裏假設概率密度成線性變化。x1x2x3x4x1x2x3四、主觀估計的量化為了將許多人的主觀估計或直覺判斷進行計算處理，需要將資訊量化。例:利用德爾菲方法對某型號的單開門電冰箱投放市場後的年銷售進行估計。選擇各類專家15人，其中，產品設計生產專家5人，產品銷售專家5人，售貨員5人，並向他們發出調查表，經過三次回饋，專家們的判斷意見如下表所示:專家成員最高銷售量最可能銷售量最低銷售量設計生產專家A807030B706535C676030D885531E706434產品銷售專家A805433B806047C885128D705027E776131售貨員A747041B797027C816940D746333E746134合計1152923501

根據上述有關資料，試預測該產品投放市場後的年銷售量。若運用算術平均法求其平均數，以平均數作為預測值，則有:

最高銷售預測值

yc=1152/15=76.80（萬臺）最可能銷售預測值yc=923/15=61.53（萬臺）最低銷售預測值yc=501/15=33.40（萬臺）三種銷售量的概率分別為02.、0.7、0.1.則綜合預測值為:

yc=76.80*0.2+61.53*0.7+33.40*0.1=61.771（萬臺)

即預測單開門電冰箱年銷售量為61.771萬臺。§3－4外推方法

前推法、後推法、旁推法。一、前推法前推就是根據歷史的經驗和數據推斷出未來事件發生的概率及其後果。二、後推法把未來風險事件歸算到有數據可查的造成這一風險事件的一些起始事件上。如果沒有關於水災的直接歷史數據可查，可將水災的概率與一些水文數據如年降水量等聯繫起來考慮。

三、旁推法

旁推法就是利用不同的但情況類似的其他地區或情況的數據對本地區或情況進行外推。例如可以收集一些類似地區的水災數以增加本地區的數據，或者使用類似地區一次大雨的情況來估計本地區的水災風險等。現介紹幾種前推方法:

一.時間系列預測法二.回歸分析預測法時間系列預測法:①算術平均法:

是按時間序列進行平均的一種方法。例如預測銷售量，方法就是把過去各個時期的實際銷售量的平均數值作為下一期的預測銷售量。②移動平均法

一次移動平均法:其預測公式為

二次移動平均法:

二次移動平均值公式為

二次移動平均法的預測公式為例:某企業1985—1996年生產利潤如下表所示，試以移動平均法(n取3)預測該企業1997年和1998年的利潤。預測步驟如下:(a)計算移動平均值和二次移動平均值。其平均值放在平均期的最後一期，如第一個一次移動平均值即(440+481+513)÷3=478.0放在1987年的行中，第一個二次移動平均值即(478+501.3+519.7)÷3=499.7放在1989年的行中。依此類推。

(b)計算at和bt。

(c)序號年份利潤M(1)M(2)atbtŶt+T119854402198648131987513478.041988510501.351989536519.7499.7539.720.061990575540.0520.3559.719.7559.771991620577.0545.6608.431.4579.481992660618.3578.4658.239.9639.891993711663.7619.7707.744.0698.1101994736702.3661.4743.240.9751.7111995791746.0704.0788.042.0784.1121996825784.0744.1823.939.9830.0131997863.8141998903.7③指數平滑法④趨勢預測法§3－5風險度

當使用平均值作為某變數的估計值時，風險度定義為標準方差與平均值Mx之比，風險度

有時，由於某種原因，並不採用平均值作為該變數的估計值，設估計值為x0，則風險度定義為

風險度愈大，就表示對將來愈沒有把握，風險也就愈大，這應成為決策時一個重要考慮因素。§3－6概率樹

概率樹是一種用來分析和進行風險估計的方法，它能幫助我們探索問題之間的聯繫，簡化問題並確定各種概率。下麵通過一個具體例子來說明這種方案。

假定甲公司正在考慮研製一種新的除臭劑。目前甲公司擁有30%的除臭劑市場，而它的主要競爭者乙公司擁有70%。甲公司研究人員由於在化學配方上有某些技術上的突破，有80%的把握研製出這種新除臭劑。如果革新成功，這種新產品將成為市場上一種新的競爭力量。在是否要研製和銷售新除臭劑的決策過程中，需要很認真地估計乙公司的反應。估計乙公司將推出新產品相對抗的可能性為0.60。如果這種情況發生，則甲公司佔有70%的市場份額的可能性是0.30，佔有50%的可能性是0.40，佔有40%的可能性是0.30。銷售部門還估計，如果乙公司未能開發新產品來進行對抗，則甲公司佔有80%的市場份額的可能性是0.80，而佔有50%與40%的可能性都是10%。如果甲公司決定不開發新產品，則將仍然保持現有的30%的市場份額。作為甲公司的經理，非常關心能否至少佔有50%的市場份額。這一問題可以用概率樹完滿地加以描述。從下圖中可看出求解這個問題的過程。圖中A表示甲公司可以選擇的行動方案，Z是乙公司的反應，S是自然狀態或市場反應，在各種狀態下標注著發生的概率。為了得到至少佔有50%的市場份額的可能性，我們關心達到50%或50%以上的市場份額的各種事件的組合。狀態S1和S2符合這一要求。佔有50%以上份額的概率應為這四種組合概率的總和:A1=研製成功A2=研製失敗0.800.2000.20Z1=乙公司推出新產品

0.6070%的市場份額

0.3050%的市場份額

0.40S20.19240%的市場份額

0.3080%的市場份額

0.8050%的市場份額

0.10S10.25630%的市場份額目前狀況Z2=乙公司未推出新產品

0.40S10.144

S30.144S20.03240%的市場份額

0.10S30.032

風險的評價與決策§3－1概述

決策就是人們為了達到某一目標，從若干可能實施的方案(措施、途徑、行動等)，經過分析和判斷，選出最優方案所採取的決斷行為。決策過程:(1)確定目標；

(2)調查研究收集資訊，提出方案;(3)確定決策準則，經過分析和判斷選出最優方案;(4)具體實施(實現目標或資訊回饋)。決策過程可用下圖表示:確定目標提出方案分析判斷最優決策收集資訊確定準則達到目標資訊回饋決策過程示意圖§3－2統計決策中的基本概念

一、決策系統

1.決策者:作出決定的個人或集體。

2.決策目標:決策者希望達到的目的。

3.方案集合:為了達到決策目標，存在著可選擇的多個實施方案，實施方案的全體叫做方案集合。

4.狀態空間:決策者在進行決策時所面臨的所有可能出現的自然狀態。

5.結果空間:在不同的自然狀態下，實施每一種行動方案所可能出現的報償或結果的集合。二、決策類型

1.確定型決策:決策者面臨的自然狀態是確定的，決策者對自然狀態的瞭解是完全的、充分的。只要通過比較各種行動方案的報償結果就可以進行決策了。

2.不確定型決策:決策者對自然狀態和方案結果都不了解，且沒有任何客觀情報足以使決策者對各種自然狀態的出現據以估計概率。

3.風險型決策:決策者對各種自然狀態的出現雖然缺乏充分的瞭解，但也不是一無所知，有許多實踐的經驗和客觀的資料可以使決策者據以估計各種自然狀態出現的概率。§3－3風險型決策

例:某工廠預備生產一種新產品，Qj表示產品的銷售情況(自然狀態)，Ai表示產量(行動方案),Cij表示益損值。每月益損值如下表:

期望值風險度30(0)23(0)-15(27)17.5(5.4)0.94525(5)20(3)0(12)17.5(5.4)0.51512(18)12(11)12(0)12(10.9)0一、最大益損值法:選擇益損值最大或是最可能狀態中益損值最大的方案。二、期望值法:按期望值進行評價與決策,計算出每個方案益損值的平均值，即數學期望，按期望值大小進行決策。三、機會損失值期望值法:將損失值期望值最小的方案作為最優方案。四、渴望水準值法:對某種事物希望達到的水平或滿意的程度用一種指標表示，這種指標稱為渴望水準。五、邊際分析法§3－4不確定型決策一、等概率準則(拉普拉斯準則)二、極大極大準則（樂觀準則）三、極大極小準則（悲觀準則）四、加權係數準則五、機會損失最小準則(極小極大準則)§3－5決策樹

決策樹也稱決策網路，與前述的益損值表作用相同，但更直觀，更有利於分析較為複雜的多級問題。決策樹的起點是“決策點”，從決策點引出去的各條線表示各種行動方案。這些方案的箭頭指向“機遇事件點”，從這些點引出相應於各種可能狀態的直線。單級決策樹AB1B3B2大批量A1中批量A2小批量A3銷路好Q1(0.3)銷路一般Q2(0.5)銷路差Q3(0.2)好Q1(0.3)一般Q2(0.5)差Q3(0.2)好Q1(0.3)

一般Q2(0.5)差Q3(0.2)

30決策節點機遇事件點17.517.51223-1520251201212多級決策樹

例:某研究所考慮向某工廠提出開發一種新產品的建議，為提出此建議需進行一些初步的科研工作，需花費2萬元。建議提出後，估計有60%的可能可得到合同，40%得不到。如得不到，則2萬元的費用就得不到補償。生產該產品有兩種方法，老方法要花費28萬元，成功概率為80%，新方法只需花費18萬元，但成功的概率僅為50%。如果該所得到合同並研製成功，廠方將付給該所70萬元技術轉讓費，若研製失敗，該所需賠償15萬元。問該所是否應當提出研製建議？A提出不提出B13F0萬元得到合同(0.6)得不到(0.4)G-2萬元C23舊方法D23成功(0.8)失敗(0.2)H40萬元I-45萬元新方法E7.5成功(0.5)失敗(0.5)J50萬元K-35萬元§3－6靈敏度分析

通常，所預測的自然狀態出現的概率以及收益或損失值都不會十分明確，因此，往往有必要對這些數據的變動是否影響最優方案的選擇進行分析，這種分析稱為靈敏度分析。假定盒中裝有100個球，70個白球，30個黑球，現從中任取一球請你猜，則猜白和猜黑哪個是最優方案？白球黑球P1=0.7P2=0.3猜白球A1500-200猜黑球A2-1501000期望值290195行動方案收益值自然狀態

可以看到，猜白球的方案為最優方案。現在假定白球出現的概率從0.7變到0.8，這時，猜白球的方案是否還是最優方案呢?對此我們只要計算一下猜白球方案A1和猜黑球方案A2的收益期望值就知道答案。由計算結果可知，猜白球的方案仍是最優方案。其次，假定白球出現的概率從0.7變到0.6，情況又會怎樣呢?現在情況發生了變化，最優方案不是猜白球而是猜黑球了。由以上分析可知，隨著狀態概率的變化最優方案也在變化，但是，狀態概率變化到哪一點上才使最優方案發生改變呢？我們接著來分析這個問題。設為白球出現的概率，為黑球出現的概率，計算兩個方案的期望值並使之相等，得解上述方程得:當時，猜白球方案為最優方案，當時，猜黑球的方案為最優方案。我們把0.65稱為轉移概率，它是最優方案發生轉移的結點。在實際工作中，我們需要把狀態概率、收益值(或損失值)等，在可能發生誤差的範圍內作幾次不同的變動，並反復地進行計算，看一看所得到的期望值是否相差很大，是否影響到最優方案的選擇。①如果那些數據稍加變動，而最優方案保持不變，則這個方案是比較穩定的。②反之，如果那些數據稍加變動，最優方案就有變化，則這個方案是不穩定的，值得進一步深入分析。§3－7效用理論一、基本概念在任一決策問題中，設自然狀態為Q，行動方案為A，貨幣收益為

Y，且記

Y*=max(Y)Y*=min(Y)

記u=u(Y)0≤u≤1①u(Y*)=0，u(Y*)=1②A1:P=1得Y③若A2:得Y*為p，Y*為1-p

A1~A2(等價)

一般地，若，且A1(以P=1得Y)~A(以p得Y1，(1-p)得Y2)則稱Y為A的確定當量，u(Y)為Y的效用函數值。二、效用函數值的確定

下麵通過一個貨幣損益值的效用值之測量問題來進行討論。設有甲、乙兩份合同，某公司經理要從中選擇一份或都不選擇。這兩份合同能帶來的益損值及其概率如下表所示。如果經理都不選擇，則其益損值為零。如果按益損值期望值最大進行決策，需計算出甲與乙合同的數學期望值M1與M2如下:合同甲合同乙益損值/萬元概率益損值/萬元概率80.650.510.130.3-30.3-10.2

按大小次序排列，這裏共有七個益損值:8，5，3，1，0，-1，-3(0對應於兩種合同都不採用)。因效用值U是一相對值，故定義:

U(8萬)=1,U(-3萬)=0

然後就用提問的方式確定該經理的效用值。一共有三種方法，分述如下。

方法1：如何確定U(5萬)=?

問:在以下兩種方案中，你選擇哪一種:(1)肯定可得到5萬元；

(2)75%的可能性得到8萬元而25%的可能性失去3萬元(注:

其期望值為5.25萬元)？

答:(2)太冒險了，我選(1)。問:若我將(2)改成95%的可能性得到8萬元而5%的可能性失去3萬元(注:其期望值為7.45萬元)，你又怎樣選擇？答:(經過躊躇之後)那麼我就選(2)吧。問:如果將(2)變成85%的可能性得到8萬元而15%的可能性失去3萬元呢?

等等。最後可得到一種情況，作為回答者的經理認為(1)與(2)沒有什麼區別，兩者都可。設這種情況為90%的可能性得到8萬元而10%的可能性失去3萬元，可得U(5)為:

U(5萬)=0.9×U(8萬)+0.1×

U(-3萬)=0.9×1+0.1×0=0.9這就是5萬元所對應的效用值。同理可算出其他4個益損值的效用值。從而可作出效用曲線。

方法2：與方法1相反，風險數值不變而去改變肯定的數值。問:你如何從以下方案中作出選擇:(1)肯定能得到4萬元；

(2)70%可能性獲得8萬元而30%可能性失掉3萬元?

答:我選擇肯定的4萬元。問:若我將(1)改變為肯定的1萬元呢?

答:那麼我就選(2)。問:若我將肯定的收益改為2.5萬元呢?

等等。

繼續改變肯定的收益值，直至決策者認為(1)與(2)沒有區別為止，這樣就可獲得一個效用值。然後再改變(2)中的百分數，可獲得其他各點，然後可連成效用曲線。上述兩種方法都有一個很大的缺點，就是決策者很難準確地考慮不同概率的影響，例如他很難判斷出概率為0.8和0.9的差別，兩者皆為“很有可能”。因此，在下述方法3中就只用一種等概率的分佈，即50%與50%兩種同樣的概率。

方法3：問:你認為多麼大肯定的收益與下述情況是等價的，即50%可能獲取8萬元與50%可能失去3萬元?

答:1萬元。

問:與50%可能得到8萬元且50%可能得到1萬元等價的肯定收益是什麼?

答:2.5萬元。