数字信号处理课件

數字濾波器的基本概念

及一些特殊滤波器5.1數字濾波器的基本概念1.數字濾波器與數字濾波濾波的涵義：將輸入信號的某些頻率成分或某個頻帶進行壓縮、放大;對信號進行檢測;對參數估計;數字濾波器：通過對輸入信號的進行數值運算的方法來實現濾波模擬濾波器：用電阻、電容、電感及有源器件等構成濾波器對信號進行濾波2.數字濾波器的實現方法

用軟體在電腦上實現用專用的數字信號處理晶片用硬體返回3.數字濾波器的可實現性要求系統因果穩定設計的系統極點全部集中在單位圓內。要求系統的差分方程的係數或者系統函數的係數為實數系統的零極點必須共軛成對出現，或者是實數。4.數字濾波器的種類現代濾波器經典濾波器濾波特性——數字高通、數字低通、數字帶通、數字帶阻；返回實現方法——無限脈衝回應濾波器，簡稱IIR(InfiniteImpulseResponse)，它的單位脈衝回應為無限長，網路中有回饋回路。其系統函數為：——有限脈衝回應濾波器，簡稱FIR(FiniteImpulse Response)它的單位脈衝回應為有限長，網路中沒有回饋回路。其系統函數為：返回理想濾波器是一類很重要的濾波器，對信號進行濾波能夠達到理想的效果，但是他只能近似實現。設計的時候可以把理想濾波器作為逼近標準用。本節主要講述：5.2理想數字濾波器5.2.1理想數字濾波器的特點及分類5.2.2理想濾波器的可實現性返回理想濾波器的特點：

在濾波器的通帶內幅度為常數（非零），在阻帶中 幅度為零；具有線性相位；單位脈衝回應是非因果無限長序列。理想濾波器的傳輸函數：5.2.1理想數字濾波器的特點及分類返回回到本節幅度放大了C倍時間延遲 幅度特性為： 相位特性為： 群時延為：則信號通過濾波器輸出的頻率回應為：其時域運算式：輸入信號輸出信號，

表示輸出信號相對輸入信號沒有發生失真。返回回到本節假設低通濾波器的頻率回應為式中，是一個正整數，稱為通帶截止頻率。其幅度特性和相位特性圖形如下：cw-cwOw)(jwH1Owcwcw-()wj返回回到本節濾波器的單位脈衝回應為：舉例：假設由此圖看出此理想低通物理不可實現返回回到本節理想濾波器可以分為低通、高通、帶通及帶阻濾波器。它們的幅度特性如下：低通高通帶通帶阻返回回到本節5.2.2理想濾波器的可實現性非因果序列不能物理實現近似實現辦法：1）的波形向右移動，忽略的部分成為因果序列2）截取中間幅度最大的部分，以保持濾波器有線性相位

理想低通濾波器的單位脈衝回應理想低通的近似實現返回回到本節處理以後濾波器的傳輸函數與理想低通的傳輸函數的不同是：1）通帶中的幅度產生了波動，不再是常數；2）阻帶的幅度不再是零；3）原來沒有過渡帶，現在產生了過渡帶。返回回到本節5.3簡單濾波器的設計用Z平面零極點放置法設計簡單濾波器的基本原理：極點放置在要加強的頻率點附近（單位圓內），極點越靠近單位圓頻率回應的峰值越高；零點放置在將要減弱的頻率附近，零點越靠近單位圓頻率回應的穀值越小，如放在單位圓上幅度為零。返回5.3.1一階數字濾波器5.3.2一階低通濾波器帶寬的計算5.3.3二階數字濾波器5.3.4低通到高通的簡單變換5.3.1一階數字濾波器

特點：具有一個極點，

零點可以有一個也可以沒有。返回回到本節以上是低通濾波，以下是高通濾波：返回回到本節零極點的作用結合起來考慮：假設系統函數為

式中，以保證系統因果穩定；幅度特性用下圖討論：

結論:設計單極點單零點低通濾波器應該讓零點遠離級點。返回回到本節5.3.2一階低通濾波器帶寬的計算一階低通濾波器的系統函數設，幅度降到-3,則

因為濾波器係數是實數，因此返回回到本節將其系統函數帶入上式，可推出：一般極點很靠近單位圓，上式可以近似表示為式中，稱為帶寬。推導方法：

返回回到本節一階低通濾波器的帶寬返回回到本節例5.1

假設模擬信號，設計一個低通數字濾波器將信號中的高頻分量濾除。解:

確定採樣間隔T：顯然要選擇T<

/200=0.0157，確定T=0.015。低通濾波器：低頻分量高頻分量選擇帶寬利用計算出a=0.8數字低通濾波器的系統函數為返回回到本節輸入波形(b)實際輸出波形及理論波形sin7t（虛線）返回回到本節5.3.3二階數字濾波器特點：2個極點，零點可以有1個或2個，也可以沒有且濾波器的零點和極點是共軛成對出現的適當地放置零級點可得到各種濾波器：返回回到本節二階數字濾波器的系統函數一般表示式為式中：G是常數，一般取G使幅度特性的最大值為1；為共軛極點；為共軛零點。返回回到本節例5.2

假設二階數字濾波器的系統函數為試確G和p使幅度特性滿足：幅度下降到最大幅度的，即解：在處，幅度為1，得到在處，幅度為，得到返回回到本節上式解出p=0.32，則濾波器的系統函數為例5.3

設計一個二階帶通濾波器，是通帶中心，在兩點，頻率回應為零，在處，幅度為解：極點設計在通帶中心，極點零點在處，即和得系統函數返回回到本節幅度最大處幅度為1，因此上式中r的值由在的幅度值確定，因此返回回到本節最後得到帶通濾波器的系統函數為它的幅度特性和相位特性如下圖：二階帶通濾波器的幅度特性和相位特性返回回到本節 先設計一個低通濾波器轉換成高通濾波器

是高通濾波器的傳輸函數是低通濾波器的傳輸函數

對上式進行傅裏葉反變換，得到

也可寫成5.3.4低通到高通的簡單變換返回回到本節低通濾波器的差分方程為得到低通濾波器的傳輸函數為

將的用代替，得到高通濾波器的傳輸函數返回回到本節由所得傳輸函數得到高通濾波器的差分方程為例5.4

已知低通濾波器的差分方程為將低通濾波器裝換成相應的高通濾波器，寫出高通濾波器的差分方程。解：高通濾波器的差分方程為相應的傳輸函數為返回回到本節5.4數字諧振器特點：是一個二階濾波器，也是一個特殊雙極點帶通濾波器；它有一對共軛極點，r接近於1，幅度特性在附近最大，相當於在該頻率發生了諧振。應用：適合作帶通濾波器，以及語音發生器。數字諧波器根據零點放置的位置分為兩種：1.零點在原點，一對共軛極點為的數字諧波器其系統函數為返回幅度特性為：

對任意r，可以推導出的乘積在處取最小值，即幅度取最大值：同樣為諧振器精確的諧振頻率。返回如果兩個極點非常接近單位圓，則可以證明它的3dB帶寬為。舉例，r=0.8和0.95，零極點分佈及幅度特性如下

(a)零極點分佈

(b)幅度特性返回 2.兩個零點分別放置在z=1和z=-1處，一對共軛極點為的數字濾波器

系統函數為

傳輸函數為 它的幅度特性為 式中 上式中是兩個零點z=1和z=-1到點w的向量長度之積。返回舉例，r=0.8,0.95，畫出零極點分佈和幅度特性如下圖：

(a)零極點分佈

(b)幅度特性返回 例5.5

模擬信號，設計一個數字 諧振器，以濾除模擬信號中的低頻分量sin7t。 解:

諧振器的諧振頻率放在200採樣間隔 模擬頻率200對應的數字頻率是:模擬頻率7對應的數字頻率是:選擇帶寬0.02，則2(1-a)=0.02，

a=0.99。得到系統函數為：返回為選擇係數，使峰值幅度等於1，將代入上式，得到。該濾波器的輸出波形如圖：

返回5.5數字陷波器特性：一個二階濾波器，它的幅度特性在處為零，在其他頻率上接近於常數，是一個濾除單頻干擾的濾波器。用途：一般儀器或設備都用50Hz的交流電源供電，因而信號中時常帶有50Hz的干擾，希望將它濾除，又不影響該信號。系統函數：式中，0≤a<1。

返回a=0，濾波器變成FIR濾波器，缺少極點的作用。a比較小，缺口將比較大，對近鄰頻率分量影響顯著缺口的寬度和a之間的關係：返回對上圖分析得出結論：陷波器的3dB帶寬為例5.6

假設信號，式中是低於50Hz的低頻信號，試設計一個陷波器將50Hz干擾濾除。解:50Hz的週期是0.02s，採樣週期T應小於0.01s，選擇T=0.002s。50Hz對應的數字頻率是:選擇a=0.95，陷波器的系統函數為返回為測試陷波器的特性，令，由

可得數字陷波器的輸入信號波形如下圖。

返回

(a)輸入信號波形

(b)陷波器輸出波形返回5.6全通濾波器定義：濾波器的幅度特性在整個頻帶[0～2π]上均等於常數，或者等於1，即則該濾波器稱為全通濾波器。特點：信號通過全通濾波器後，其輸出的幅度特性保持不變，僅相位發生變化。全通濾波器的系統函數的一般形式為：返回全通濾波器的系統函數的幅度特性為1因為上式中係數是實數，因此全通濾波器的零級點分佈特性－－倒易關係因為和的係數是實數，零點和極點均以共軛對形式出現。返回全通濾波器的零極點分佈是零點，也是零點，是極點，也是極點，形成四個極零點一組的形式。返回如果將零點和極點組成一對，零點和極點組成一對，則全通濾波器的系統函數可以表示成式中的N稱為階數。舉例：當N=1時，零極點均為實數，系統函數為應用：一般作為相位校正。

返回5.7最小相位濾波器

定義：對於全部零點位於單位圓內的因果穩定濾波器，稱為最小相位濾波器。最小相位濾波器的性質：1）任何一個因果穩定的濾波器均可以用一個最小相位濾波器和一個全通濾波器級聯構成，即2）對同一系統函數幅度特性相同的所有因果穩定系統中，最小相位系統的相位延遲最小。3）最小相位系統保證它的逆系統因果穩定。返回例5.7

確定下麵FIR系統的零點，並指出系統是最小，最大相位系統還是混合相位系統。解：將各系統函數因數分解，可得到它們的零點並進而判定系統的性質。返回5.8梳狀濾波器梳狀濾波器的原理：

例5.8

已知，利用該系數函數形成N=8的梳狀濾波器。解：的零點是1，極點是a，是一個高通濾波器，畫出它的零極點分佈和幅度特性曲線如下：系統函數傳輸函數系統函數傳輸函數週期週期返回上例中梳狀濾波器零極點分佈和幅度特性曲線返回將的變數z用代替，得到式中，N=8，零點極點為畫出它的零極點分佈和幅度特性曲線如上頁圖：注意：此時的幅度特性的過渡帶比較窄，或者說比較陡峭，有利於消除點頻信號而又不損傷其他信號。返回例5.9

設計一個梳狀濾波器，用於濾出心電信號中的50Hz及其諧波100Hz干擾，設採樣頻率為200Hz。解：系統函數為N的大小決定於要濾除的點頻的位置，a要儘量靠近1。由採樣頻率算出50Hz及其諧波100Hz所對應的數字頻率分別為：零點頻率為由，求出N=4。a=0.9時的幅頻特性返回5.9正弦波發生器定義：濾波器系統函數的極點在單位圓上，則可以形成一個正弦濾波器。基本原理:假設有兩個系統函數，即令，得到返回經變換得時域信號分別為：說明系統函數和在的激勵下可以分別產生正弦波和余弦波。實現結構1.數字正弦波發生器（如下圖1）2.數字正弦波、余弦波發生器（如下圖2）3.軟體查表發返回++++-+圖（１）圖（２）+++++-2-1返回

时域离散信号和系统的频域分析2.1引言信號、系統分析信號在時間分佈上的特性和運算：直觀，物理概念會比較的清楚。分析信號在頻率分佈上的特性和運算：這給了我們換個視角觀察信號的機會，我們會發現許多在時間域上得不到的特性和運算。時間域頻率域FT、ZTIFT、IZT返回2.2時域離散信號的傅裏葉變換返回2.2.1時域離散信號的傅裏葉變換的定義2.2.2週期信號的離散傅裏葉級數2.2.3週期信號的傅裏葉變換2.2.4時域離散信號傅裏葉變換的性質2.2.1時域離散信號的傅裏葉變換的定義定義為時域離散信號x(n)的傅裏葉變換，簡稱FT(FourierTransform)。上式成立的條件是序列絕對可和，或者說序列的能量有限，即滿足下麵的公式：對於不滿足上式的信號，可以引入奇異函數，使之能夠用傅裏葉變換表示出來。(2.2.1)回到本節返回離散信號FT和模擬信號FT的比較：離散信號FT

模擬信號FT可以發現二者的實質是一樣的，都是完成時間域頻域的轉換，不同處：時間變數：n取整數，求和運算；t取連續變數，積分運算。頻域變數：ω是數字頻率的連續變數，以2π為週期；Ω是模擬頻率的連續變數，無週期性。回到本節返回2.2.2週期信號的離散傅裏葉級數設是以N為週期的週期序列，具有週期性，能夠展成傅裏葉級數，即：式中，ak是離散傅裏葉級數的係數。為求係數ak，將上式兩邊乘以，並對n在一個週期N中求和，得到：(2.2.5)回到本節返回將上式右邊的兩個求和號交換位置，得到：式中回到本節返回因此得到上式中,k和n均取整數，當k變化時，是週期為N的週期函數，所以ak是以N為週期的週期序列，即

ak=ak+ln令將式(2.2.7)代入上式，得到這裏是以N為週期的週期序列。一般簡稱為的離散傅裏葉級數係數，用DFS(DiscreteFrourierSeries)表示，即。(2.2.7)(2.2.10)(2.2.9)回到本節返回由式(2.2.5)和式(2.2.9)，我們能夠得到將式(2.2.7)和式(2.2.10)寫在一起，成為離散傅裏葉級數對。這裏和均是週期為N的序列。(2.2.11)返回回到本節2.2.3週期信號的傅裏葉變換複指數序列的傅裏葉變換運算式在模擬系統中，的傅裏葉變換是在處的一個沖激，強度為2π，即對於時域離散系統中的複指數序列，仍假設它的傅裏葉變換是在處的一個沖激，強度為2π，考慮到時域離散信號傅裏葉變換的週期性，因此的傅裏葉變換應寫為：回到本節返回一般週期序列的傅裏葉變換假設的週期為N，將它用傅裏葉級數來表示，即上式的求和號中的每一項都是複指數序列，其中第K項即為第K次諧波的傅裏葉變換根據其週期性能夠表示為：返回回到本節週期序列由N次諧波組成，因此它的傅裏葉變換可以表示成式中，k=0,1,2,…,N-1,r=-3,-2,-1,0,1,2,…

以N為週期，而r變化時，δ函數變化2πr，因此如果讓k在(-∞,∞)變化，上式可以簡化為上式就是一般週期序列的傅裏葉變換運算式。教材中表2.2.1列舉了基本序列的傅裏葉變換對。返回回到本節例2.1：令，為有理數，求其傅裏葉變換。解:

將用歐拉公式展開為由得余弦序列的傅裏葉變換為返回回到本節上式表明，余弦信號的傅裏葉變換是在處的沖激函數，強度為

，同時以2

為週期進行週期性延拓，如下圖所示。對於正弦序列，為有理數，它的傅裏葉變換為回到本節返回2.2.4時域離散信號傅裏葉變換的性質時域離散信號傅裏葉變換有很多重要的性質，其中一些性質和模擬信號的傅裏葉變換性質類似，參考教材中表2.2.2。本小節重點介紹：傅裏葉變換的週期性頻域卷積定理傅裏葉變換的對稱性回到本節返回傅裏葉變換的週期性：頻域卷積定理：假設，，則交換積分的求和次序，我們同樣能夠得到該定理表明在時域兩序列相乘，轉換到頻域服從卷積關係。此定理亦稱為調製定理回到本節返回傅裏葉變換的對稱性：一般不做特殊說明，序列x(n)就是複序列。用下標r表示它的實部，用下標i表示它的虛部：複序列中有共軛對稱序列和反共軛對稱序列，分別用下標e和o表示共軛對稱序列滿足複反共軛對稱序列滿足回到本節返回一般序列傅裏葉變換的對稱性質一般序列可以表示為其實部的傅裏葉變換可以用下式來表示將上式右面的ω加負號，在將右邊取共軛，右邊運算式不變，這說明實序列的傅裏葉變換具有共軛對稱性質，可以用表示。很容易證明，將j乘以實數序列

的傅裏葉變換具有共軛反對稱性質，用表示。返回回到本節這樣式中這樣我們能夠得到結論：一般序列的傅裏葉變換分成共軛對稱分量和共軛反對稱分量兩部分，其中共軛對稱分量對應序列的實部，而共軛反對稱分量對應這序列的虛部（包括j）。返回回到本節如果將序列分為共軛對稱和共軛反對稱兩部分，即由我們得到對上面兩式分別求傅裏葉變換，得到返回回到本節這樣我們能夠得到結論:傅裏葉變換的實部對應序列的共軛對稱部分，而它的虛部(包括j)對應序列的共軛反對稱部分。值得注意：在一般實際應用中，我們常常遇到的序列是實序列，實序列相當於一般的序列中只有實部，沒有虛部，因此實序列的傅裏葉變換具有共軛對稱性質，它的實部是偶函數，虛部是奇函數。如果實序列還是偶對稱的，其傅裏葉變換應該是實偶對稱函數；如果實序列是奇對稱的，那麼其傅裏葉變換是虛對稱的，且是純虛函數。返回回到本節2.3時域離散信號的Z變換在模擬系統中，用傅裏葉變換進行頻域分析，而拉普拉斯變換是傅裏葉變換的推廣，用於對信號在複頻域的分析。在數字域中，用序列傅裏葉變換進行頻域分析，Z變換是其推廣，用於對信號在複頻域中的分析。本節主要講述:返回2.3.1時域離散信號的Z變換的定義及其與傅裏葉變換的關係2.3.2Z變換的收斂域與序列特性之間的關係2.3.3逆Z變換2.3.4Z變換的性質和定理2.3.1時域離散信號的Z變換的定義及其與傅裏葉變換的關係Z變換的定義定義序列X(n)的Z變換為式中，Z是複變數，它所在的複平面稱為Z平面。這裏求和極限為-∞～+∞，故亦稱為雙邊Z變換，當求和極限為0～+∞時，為單邊Z變換，不做說明時均為雙邊Z變換。Z變換存在的充分條件為

返回回到本節Z變換的收斂域為使Z變換存在的的取值域，稱為X(z)的收斂域。收斂域一般用環狀域表示，即Rx-<|z|<Rx+，Rx-和Rx+分別稱為收斂域的最小收斂半徑和最大收斂半徑。上圖所示的陰影部分即為收斂半徑。最小半徑可以達到0，而最大半徑可以達到+∞。收斂域是Z變換非常重要不可缺少的一部分回到本節返回Z變換和傅裏葉變換之間的關係Z變換令上式中的，得到式中，r是z的模，ω是它的相位，也就是數字頻率。這樣，就是序列x(n)乘以實指數序列r-n後的傅裏葉變換。回到本節返回如果r==1，Z變換就變成了傅裏葉變換了，即r=1指的是Z平面上的單位圓，因此傅裏葉變換就是Z平面單位圓上的Z變換。單位圓必須包含在收斂域中，否則單位圓上的Z變換不存在，傅裏葉變換也就不存在。回到本節返回2.3.2Z變換的收斂域與序列特性之間的關係序列可以分為有限長序列、右序列、左序列以及雙邊序列等四種情況，它們的收斂域各有特點，掌握這些特點對分析和應用Z變換很有幫助。有限長序列Z變換的收斂域有限長序列Z變換為

收斂域為回到本節返回右序列Z變換的收斂域右序列是指x(n)只在n≥n1序列值不全為零，在其他的區間均為零的序列。右序列的Z變換式中n1≤-1。回到本節返回上式右邊：第一項是有限序列的Z變換，收斂域為0≤|z|<∞。第二項為因果序列的Z變換，其收斂域為Rx-<|z|≤∞。將兩個收斂域相與，得到它的收斂域為Rx-<|z|<∞。如果x(n)是因果序列，即設n1≥0，它的收斂域為Rx-<|z|≤∞。回到本節返回左序列Z變換的收斂域與右序列類似，左序列是指x(n)只在n≤n1序列值不全為零，在其他的區間均為零的序列。左序列的Z變換為式中，n1≥0。回到本節返回上式右邊：第一項的收斂域為0≤|z|<Rx+，第二項的收斂域為0<|z|≤∞，將兩個收斂域相與，得到左序列的收斂域為0<|z|<Rx+。如果n1<0，則收斂域為0≤|z|<Rx+。回到本節返回雙邊序列Z變換的收斂域雙邊序列就是在-∞～+∞之間均有非零值的序列。雙邊序列的Z變換回到本節返回上式中：右邊第一項是左序列的Z變換，收斂域是0≤|z|<Rx+，第二項是右序列的Z變換，收斂域為Rx-<|z|≤∞，將兩個域相與，得到雙邊序列的收斂域為Rx-<|z|<Rx+。這幾種序列的收斂域對比可以見書中表2.3.1。回到本節返回例2.2：設，求它的Z變換，並確定收斂域。解:

為使X(z)收斂，要求，即，解得，這樣得到就是該Z變換的收斂域。回到本節返回例2.3：求的Z變換及其收斂域。解:

這是一個左序列，當時，序列值為零。如果X(z)存在，則要求，得到收斂域為。在收斂域中，該Z變換為我們將例2.2和例2.3進行比較，兩者Z變換的函數運算式一樣，但收斂域卻不相同，對應的原序列也不同，因此正確地確定收斂域是很重要。回到本節返回2.3.3逆Z變換已知序列的Z變換及其收斂域，求原序列，稱為逆Z變換(IZT)。求逆Z變換有三種方法:部分分式展開法：有理分式展成簡單部分分式，查表。圍線積分法：常用方法，重點介紹冪級數法：原理簡單，使用不便，本書不介紹回到本節返回部分分式法原理是將Z變換的有理分式展成簡單的部分分式，通過查表得到原序列。假設X(z)有一個一階極點，可展開如下的部分分式：觀察上式，X(z)/z在z=0的極點，留數等於係數A0，在z=zm的極點，留數等於係數Am，即見書中表2.3.3回到本節返回這樣，將上面的兩式帶入由X(z)展開得到的部分分式中去，在通過查表（書中表2.3.2）就能夠得到原序列。但我們知道收斂域不同，即使同一個z函數也可以有不同的原序列對應，因此根據給定的收斂域，應正確地確定每個分式的收斂域，這樣才能得到正確的原序列。回到本節返回圍線積分法已知序列大的Z變換和收斂域，求原序列的公式為式中，c是X(z)的收斂域中的一條包含原點的逆時針旋轉的封閉曲線，如下圖所示。回到本節返回直接計算圍線積分比較麻煩，下麵介紹用留數定理求逆Z變換的方法：令，F(z)在圍線c內的極點用表示，假設有M個極點。根據留數定理式中，表示被積函數F(z)在極點的留數。求逆Z變換就是求圍線c內所有極點的留數之和。如果極點是單階極點，根據留數定理，極點的留數用下式計算回到本節返回如果極點是N階極點，根據留數定理，極點的留數用下式計算上式表明求多階極點的留數比較麻煩，可以根據留數輔助定理改求圍線c以外的極點的留數之和，使問題簡單化。如果F(z)在Z平面上有N個極點，圍線c內有個極點，用表示，圍線c外有個極點，用表示，。根據留數輔助定理下式成立回到本節返回上式成立的條件是原序列公式中，被積函數分母的階次比分子的階次高二階或二階以上。假設，P(z)和Q(z)分別是z的N階和M階多項式，那麼上式成立的條件是或者這樣，在求逆Z變換時，如果上面條件滿足，圍線c內有多階極點，可以利用上式，改求圍線c外的極點的留數之和。回到本節返回例2.4：，求Z反變換回到本節返回回到本節返回回到本節返回回到本節返回2.3.4Z變換的性質和定理Z變換的性質

線性序列移位時間反轉乘以指數序列Z域微分共軛序列

Z變換的定理

時域卷積定理複卷積定理初值定理終值定理巴塞伐爾定理

這些性質和定理在書中表2.3.3裏都已經列出。回到本節返回2.4利用Z變換對信號和系統進行分析傅裏葉變換和Z變換都是對信號和系統進行分析的重要數學工具。信號的頻域分析指的是信號的傅裏葉變換，Z變換則是分析域更為擴大的一種變換，Z變換比傅裏葉變換的應用更廣泛。本節主要講述2.4.1系統的傳輸函數和系統函數2.4.2根據系統函數的極點分佈分析系統的因果性和穩定性2.4.3用Z變換求解系統的輸出相應2.4.4系統穩定性的測定及穩定時間的計算2.4.5根據系統的零、極點分佈分析系統的頻率特性返回2.4.1系統的傳輸函數和系統函數系統的時域特性用單位脈衝回應表示，對進行傅裏葉變換，得到稱為系統的傳輸函數，它表徵系統的頻率回應特性，所以又稱為系統的頻率回應函數。將進行Z變換，得到一般稱為系統的系統函數，它表徵系統的複頻域特性。回到本節返回如果的收斂域包含單位圓=1，則和之間的關係為因此系統的傳輸函數是系統單位脈衝回應在單位圓上的Z變換。它們之間有區別，但有時為了簡單，也可以都稱為傳輸函數。設系統的輸入x(n)=，對於因果穩定系統，其穩態輸出為式中上式中稱為幅頻特性，稱為相頻特性。回到本節返回2.4.2根據系統函數的極點分佈分析系統的因果性和穩定性如果系統用N階差分方程表示，即將上式進行Z變換，得到系統的系統函數回到本節返回將上式進行因式分解，得到式中，是的零點，是它的極點，A是常數。A僅決定幅度大小，不影響頻率特性的實質。系統函數的零、極點分佈都會影響系統的頻率特性，而影響系統的因果性和穩定性的只是極點分佈。回到本節返回系統的因果性指的是系統的可實現性，如果系統可實現，它的單位脈衝回應一定是因果序列。而因果序列Z變換的極點均集中在以為半經的圓內。因此得到結論，因果系統的系統函數的極點均在某個圓內，收斂域包含∞點。

回到本節返回如果系統穩定，則要求，按照Z變換的定義

因此得到結論:系統穩定時，系統函數的收斂域一定包含單位圓，或者說系統函數的極點不能位於單位圓上。綜上所述，得出系統因果穩定的條件:的極點應集中在單位圓內。回到本節返回例2.5：，分析系統的因果性和穩定性解：系統的極點為（1）收斂域取收斂域包含，故是因果系統收斂域不包含單位圓，所以系統不穩定單位脈衝回應為回到本節返回（2）收斂域取收斂域不包含，不是因果系統收斂域包含單位圓，系統穩定單位脈衝回應為（3）收斂域取收斂域不包含，不是因果系統收斂域不包含單位圓，系統不穩定單位脈衝回應為回到本節返回2.4.3用Z變換求解系統的輸出回應上一章中曾用遞推法求解出系統的輸出，本節介紹利用Z變換求解系統的輸出回應，包括零狀態回應與零輸入回應，以及穩態回應和暫態回應。零狀態回應與零輸入回應：系統的N階差分方程為式輸入信號x(n)是因果序列，即當n<0時，x(n)=0，系統初始條件為。回到本節返回對上式進行Z變換時，注意對於移位因果序列的Z變換要用單邊Z變換，公式為按照上式對系統的N階差分方程進行Z變換，得到回到本節返回上式中等號右邊第一項與初始狀態無關，只與輸入信號有關系，稱為系統的零狀態回應；而第二部分與輸入信號無關，只與系統初始狀態有關系，則稱為零輸入回應。Y(z)包括零狀態回應與零輸入回應，所以稱為全回應。系統輸出回應一般指全回應。零狀態回應就是對上式的雙邊Z變換求解。返回回到本節穩態回應和暫態回應：假設系統處於零狀態，或者說在全回應公式中只考慮零狀態回應，系統輸出為令式中，稱為系統的穩態回應。如果系統不穩定，將會無限制增長，而和輸入信號無關。如果系統穩定，穩態回應取決於輸入信號和系統的頻域特性。回到本節返回2.4.4系統穩定性的測定及穩定時間的計算實際中系統的穩定是一個很重要的問題，設計中要保證系統穩定，工程實際中要對系統進行穩定性測試。當系統開始工作時，系統的輸出中可能存在暫態效應，如何確定系統已進入穩態工作，也是一個實際問題。判斷極點是否在單位圓內確定系統的穩定性如果已知系統函數，判斷系統的穩定性的一種方法是檢查它的極點是否在單位圓內。回到本節返回例2.6：已知系統函數如下式，判斷系統是否穩定。解:

求出四個極點為:，其中兩個實數極點明顯在單位圓內，兩個複數極點的模為，也在單位圓內，因此該系統是穩定的。回到本節返回用單位階躍信號進行測試在系統的輸入端加入單位階躍序列如果系統穩定，隨著n的增大，輸出接近一個常數；如果系統不穩定，隨著n的增大，輸出幅度會無限制增大或者保持振盪。系統穩定時間的確定

如果系統穩定，輸入是一個階躍序列，從數學上講，只有當n→∞時，才能結束暫態回應。但工程上只要系統輸出中暫態回應幅度減小到最大值的1％，即可以認為系統達到穩定。回到本節返回2.4.5根據系統的零、極點分佈分析系統的頻率特性系統用N階差分方程描述，系統函數如下式所示式中，和分別是系統函數的零點和極點，共有M個點和N個極點。系統的頻響特性主要取決於系統函數的零極點分佈，系數A只影響幅度大小。回到本節返回下麵介紹用幾何方法分析研究零極點分佈對系統頻率響應特性的影響。將系統函數分子、分母同乘以，得到上式中如果，表示延時(N-M)個單位，，則表示超前(N-M)個單位。回到本節返回設系統穩定，將代入上式，得到

對於，在Z平面上可以用座標原點O到單位圓上B點的失量OB來表示，該向量的長度是1，相角ω就是和水準坐標之間的夾角。(2.4.20)回到本節返回當頻率ω由0連續增大，經過

再到2

時，向量OB便圍繞座標原點逆時針旋轉一圈，如下圖(a)所示。對於極點z=，在Z平面上則用座標原點O到的向量表示。相應的零點用表示。回到本節返回對於，則用從極點到單位圓上一點B的向量表示，該向量稱為極點向量。極點向量的長度用表示，向量的相位，就是向量和水準座標之間的夾角，用表示。對於零點，有零點向量，用表示，零點向量的長度用表示，相位用表示。零極點向量如下圖(b)所示。回到本節返回將零極點向量用下式表示，用上面兩式表示，得到回到本節返回式(2.4.22)說明，系統的幅頻特性等於系統零點向量長度之積除以極點向量長度之積。式(2.4.23)說明，相頻特性等於與零點向量的相角之和減去極點向量的相角之和（設A>0）。(2.4.22)(2.4.23)幅頻特性：相頻特性：回到本節返回當頻率ω由0變化到2

時，這些零、極點向量的終點B沿單位圓旋轉一周，零、極點向量的長度和相角不斷變化，按照式(2.4.22)和式(2.4.23)可以計算出幅頻特性和相頻特性。但工程中用的最多的是，利用式(2.4.22)定性分析估計幅頻特性。回到本節返回零極點分佈對幅頻特性的影響極點影響幅頻特性的峰值，峰值頻率在極點的附近；極點越靠近單位圓，峰值越高，越尖銳；極點在單位圓上，峰值幅度為無窮，系統不穩定。零點影響幅頻特性的穀值，穀值頻率在零點的附近；零點越靠近單位圓，穀值越接近零；零點在單位圓上，穀值為零；處於座標原點的零極點不影響幅頻特性。該方法適於低階系統回到本節返回

IIR數字濾波器設計數字濾波：

對輸入信號進行數值運算，讓輸入信號中的有用頻率成分以較高的保真度通過，濾除（阻止）某些無用的頻率成分，實現對輸入信號的選頻處理。優點：處理精度高，穩定性好，體積小，實現方法靈活，不存在阻抗匹配問題，可以實現模擬濾波器無法實現的特殊濾波功能。

濾波器分類

經典濾波器（一般濾波器）

線性系統構成的濾波器，信號和干擾的頻帶互不重疊時採用。分類（功能）：高通、低通、帶通、帶阻；分類（結構）：遞歸系統、非遞歸系統；分類（實現方法）：無限長單位脈衝回應數字濾波器IIR（本章介紹）有限長單位脈衝回應數字濾波器FIR

現代濾波器

隨機信號統計理論為基礎構成的濾波器，信號和干擾的頻帶相互重疊時採用（例如：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等）IIR數字濾波器的設計方法間接設計法根據設計指標設計相應的過渡模擬濾波器將過渡模擬濾波器轉換成數字濾波器。直接設計法

在時域或頻域直接設計數字濾波器。本章主要講述：（間接法）6.1模擬濾波器設計6.2IIR數字濾波器設計6.1模擬濾波器設計模擬濾波器（AF）的一般設計過程：（1）根據信號處理要求確定設計指標（選頻）（2）選擇濾波器類型（3）計算濾波器階數（4）通過查表或計算確定濾波器系統函數（5）綜合實現並調試幅頻特性體現了各頻率成分幅度的衰減,而相頻特性體現的是不同成分在時間的的延時。選頻濾波器一般只考慮幅頻特性，對相頻特性不作要求。對輸出波形有要求時，則需考慮線性相位問題。返回本節主要講述：6.1.1模擬濾波器設計指標6.1.2巴特沃思模擬低通濾波器設計6.1.3切比雪夫（Chebyshev）濾波器設計6.1.4橢圓濾波器6.1.5貝塞爾（Bessel）濾波器設計6.1.7五種類型模擬濾波器的比較返回6.1.8頻率變換與高通、帶通及帶阻濾波器設計6.1.1模擬濾波器設計指標

圖6.1.1典型模擬低通濾波器幅頻特性及其指標描述返回回到本節

通帶邊界頻率，阻帶邊界頻率，3db截止頻率

系統通帶的誤差要求

阻帶[

s,∞]幅度以最大誤差1/A逼近於零，即要求

ε：通帶波紋幅度參數

A：阻帶波紋幅度參數

設計指標返回回到本節用

表示通帶最大衰減（或稱為通帶峰值波紋）用

表示阻帶最小衰減（以分貝(dB)表示波紋）求解返回回到本節

損耗函數（或稱為衰減函數）

(

)來描述濾波器的幅頻回應特性。即

當時的邊界頻率稱為3dB截止頻率，通常用

c表示，返回回到本節兩個附加參數：

a.過渡比或選擇性參數,通常用k表示反應過渡帶的性能，過渡帶越窄，k值趨近於1低通濾波器

b.偏離參數，用k1表示

越小，通帶、阻帶的紋波越小返回回到本節模擬濾波器的設計模擬濾波器的理論和設計方法已發展得相當成熟，且有若干典型的模擬濾波器供選擇。這些濾波器都有嚴格的設計公式、現成的曲線和圖表供設計人員使用。典型濾波器巴特沃斯（Butterworth）濾波器具有單調下降的幅頻特性；切比雪夫（Chebyshev）濾波器：幅頻特性在通帶或阻帶有波動，可提高選擇性；貝塞爾（Bessel）濾波器：通帶內較好的線性相位；橢圓（Ellipse）濾波器：過渡帶最窄。返回回到本節6.1.2巴特沃思模擬低通濾波器設計N階巴特沃思模擬低通濾波器的幅度平方函數為N為濾波器的階次，為3dB截頻。返回回到本節特點：在點，的n(n<2N)階導數等於零，因此濾波器在點具有最大平坦幅度濾波器幅頻回應隨的增大而單調下降，因為幅度平方函數的導數小於零損耗函數21|)(|WjHacWWN=80N=4N=21返回回到本節濾波器的特性由3dB截止頻率和階數N確定濾波器的給定指標為通帶邊界頻率阻帶邊界頻率通帶最小幅度阻帶最大波紋21|)(|WjHacWWN=80N=4N=21返回回到本節截止頻率與階數如何確定？濾波器幅頻回應隨頻率的增大而單調下降於是滿足通帶指標，阻帶指標有富裕滿足阻帶指標，通帶指標有富裕階數截止頻率返回回到本節濾波器的給定指標為通帶最大衰減阻帶最小衰減先求確定截止頻率與階數返回回到本節巴特沃思模擬低通濾波器的系統函數：

（由3dB截止頻率和階數N確定）式中，分母稱為N階巴特沃思多項式。返回回到本節三種形式:因式分解共軛對相乘返回回到本節歸一化討論：對於得：由於N較大時，計算量太大，為了方便，歸一化的N階巴特沃思多項式係數已製成表格供查閱：返回回到本節極點位置階數N

1-1.00002-0.7071±j0.70713-0.5000±j0.8660-1.00004-0.3827±j0.9239-0.9239±j0.38275-0.3090±j0.9511-0.8090±j0.5878-1.000060.2588±j0.9659-0.7071±j0.7071-0.9659±j0.25887-0.2225±j0.9749-0.6235±j0.7818-0.9010±j0.4339-1.000080.1951±j0.98080.5556±j0.8315-0.9010±j0.4339-0.9808±j0.19519-0.1736±j0.9848-0.5000±j0.8660-0.8315±j0.5556-0.9397±j0.3420-1.0000N：濾波器階數---：極點位置表示返回回到本節分母多項式階數N

b0b1b2b3b4b5b6b7b81-1.00002-1.00001.41423-1.00002.00002.0000

4-1.00002.61313.4142

5-1.00003.23615.2361

5.2361

3.2361

6-1.00003.86377.4641

9.1416

7.46413.8637

7-1.00004.494010.0978

14.5918

14.5918

10.09784.49408-1.0000-5.125813.1371

21.8462

25.6884

21.8642

13.1371

5.1258

9-1.00005.7588

16.5817

31.1634

41.986441.986431.1634

16.5817

5.7588

N：濾波器階數---：多項式表示返回回到本節分母因式階數N

1(p+1)2(p2+1.4142p+1)3(p2+p+1)(p+1)4(p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1)5(p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1)6(p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1)7(p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1)8(p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9616p+1)9(p2+0.3473p+1)(p2+p+1)(p2+1.5321p+1)(p2+1.8794p+1)(p+1)N：濾波器階數---：共軛極點因式返回回到本節去歸一化歸一化查表得得到返回回到本節

低通巴特沃斯濾波器設計步驟：由，求濾波器階次N由N查表，求出歸一化極點和歸一化系統函數G(p)令代入G(p)，得實際濾波器傳輸函數Ha(s)。（去歸一）返回回到本節

例：

設計模擬低通濾波器。要求幅頻特性單調下降，通帶邊界頻率fp=1kHz，通帶最大衰減

p=1dB，阻帶邊界頻率fs=5kHz，阻帶最小衰減

s=40dB。解:（1）根據幅頻特性單調下降要求，應選擇巴特沃思濾波器。（2）計算階數N和3dB截止頻率

c。首先用求出波紋幅度參數為

再求出過渡比和偏離參數從而得到

取整數N=4

返回回到本節（3）求系統函數。查表6.1.1得到歸一化4階巴特沃思多項式為將和

c代入，得到系統函數返回回到本節6.1.3切比雪夫濾波器設計兩種類型：

切比雪夫Ⅰ型濾波器的幅頻特性在通帶為等波紋，在阻帶為單調下降。

切比雪夫Ⅱ型的幅頻特性在阻帶為等波紋，在通帶為單調下降。返回回到本節1.切比雪夫Ⅰ型濾波器N階切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器Ha(s)的幅度平方函數為

為小於1的正數，表示通帶波紋幅度參數。CN(

)是N階切比雪夫多項式返回回到本節圖6.1.4典型切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅頻回應特性曲線

返回回到本節2．切比雪夫Ⅱ型逼近切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的幅頻回應在通帶呈現單調下降特性，而且在

=0點具有最大平坦回應，在阻帶呈現等波紋特性。其幅度平方函數為返回回到本節圖6.1.5典型切比雪夫Ⅱ型低通濾波器的幅頻回應特性曲線返回回到本節巴特沃茲濾波器與切比雪夫濾波器特點比較：巴特沃茲濾波器在通帶內幅度特性是單調下降的，在靠近截止頻率處，幅度下降很多。所以為了使通帶內的衰減足夠小，需要的階次（N）很高。切比雪夫Ⅰ型濾波器的紋波在通帶範圍內是等幅起伏的，在靠近截止頻率處，幅度下降很少。同樣的通帶衰減，其所需階數N較巴特沃茲濾波器要小。特點比較回到本節返回6.1.4橢圓濾波器(a)

p=1dB,

s=20dB,N=3,4,6(b)N=4,

p=1,0.1,0.05dB,

s=10,20,40dB圖6.1.6橢圓濾波器幅頻回應特性曲線返回回到本節橢圓濾波器振幅平方函數為：RN（Ω，L）：雅可比橢圓函數L：表示波紋性質的參量橢圓濾波器特點：

幅值回應在通帶和阻帶內都是等波紋的。對於給定的階數和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其他濾波器更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器是最優的。通帶和阻帶內波紋固定時，階數越高，過渡帶越窄；階數固定，通帶和阻帶紋波越小，過渡帶越寬；特點回到本節返回6.1.5貝塞爾（Bessel）濾波器設計

(a)幅頻回應特性(b)相頻回應特性圖6.1.7典型貝塞爾低通濾波器的頻響特性曲線返回回到本節貝塞爾低通濾波器特點

貝塞爾濾波器在通帶內逼近線性相位特性。是巴特沃茲濾波器、切比雪夫濾波器、橢圓濾波器濾波器所沒有的。

貝塞爾濾波器的過渡帶較寬，在階數N相同時選擇性比巴特沃茲濾波器、切比雪夫濾波器、橢圓濾波器差。回到本節返回6.1.7模擬濾波器的比較巴特沃思濾波器幅頻特性單調下降。切比雪夫Ⅰ濾波器通帶內等波紋幅頻特性，過渡帶、阻帶單調下降。切比雪夫Ⅱ濾波器阻帶內等波紋幅頻特性，通帶、過渡帶單調下降。橢圓濾波器通帶、阻帶內均等波紋幅頻特性，過渡帶單調下降。貝塞爾濾波器在通帶內逼近線性相位特性。★在相同階數N，相同通帶最大衰減、阻帶最小衰減要求下，巴特沃思濾波器的過渡帶最寬；橢圓濾波器過渡帶最窄；兩種類型的切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，介於巴特沃思濾波器和橢圓濾波器。★在相同指標要求下，橢圓濾波器所需的階次N最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高，參數的靈敏度則恰恰相反。回到本節返回★巴特沃思和切比雪夫濾波器在大約四分之三的通帶上非常接近線性相位特性；橢圓濾波器僅在大約半個通帶上非常接近線性相位特性；貝塞爾濾波器在整個通帶逼近線性相位特性。上面討論了5種常用的模擬低通濾波器的特性和設計方法，設計時按照所給指標及對濾波器階數（階數影響處理速度和實現的複雜性）和相位特性的具體要求，合理選用。巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器主要是考慮逼近幅度回應指標的濾波器，其中橢圓濾波器的性能價格比最高，應用廣泛。貝塞爾濾波器主要是考慮逼近線性相位特性的濾波器使用。返回回到本節6.1.8頻率變換與高通、帶通及

帶阻濾波器設計

高通、帶通及帶阻濾波器的幅頻特性曲線及邊界頻率示意圖

(a)高通濾波器(b)帶通濾波器(c)帶阻濾波器返回回到本節設計高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是:①通過頻率變換公式，先將希望設計的濾波器指標轉換為相應的歸一化低通原型濾波器指標；②設計相應的歸一化低通原型系統函數G(p)；③對G(p)進行頻率變換得到希望設計的濾波器系統函數Hd(s)。

返回回到本節符號規定歸一化低通濾波器原型邊界頻率希望模擬濾波器的系統函數頻率變換公式於是返回回到本節1.模擬高通濾波器的設計低通原型到高通濾波器的頻率變換在虛軸上高通濾波器通帶邊界頻率映射關係低通高通11返回回到本節例設計巴特沃思模擬高通濾波器,通帶邊界頻率為fp=4kHz，阻帶邊界頻率為fs=1kHz，通帶最大衰減為0.1dB（fp處），阻帶最小衰減αs=40dB。解：高通濾波器指標1）確定相應低通原型濾波器的指標返回回到本節2)設計巴特沃斯低通濾波器。確定階次N：可得N按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。返回回到本節歸一化的5階濾波器的系統函數3）高通濾波器的系統函數返回回到本節MATLABwp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40;%設置濾波器指標參數[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,‘s’);%濾波器G(p)階數N和3dB 截止頻率[B,A]=butter(N,wc,‘s’);%計算低通濾波器G(p) 系統函數分子分母多項式係數wph=2*pi*4000;%高通模擬濾波器通帶邊界頻率[BH,AH]=lp2hp(B,A,wph)%低通到高通轉換返回回到本節2.低通到帶通的頻率變換:低通原型到帶通濾波器的頻率變換在虛軸上通帶邊界頻率：上邊界頻率下邊界頻率高通濾波器的帶寬帶通濾波器的中心頻率返回回到本節映射關係返回回到本節減少，或增加減少，或增加帶通濾波器的系統函數可以證明：如給定邊界頻率不滿足改條件，改變參數，提高指標返回回到本節例：設計巴特沃思模擬帶通濾波器，通帶上下邊界頻率分別為4kHz和7kHz，阻帶上、下邊界頻率分別為2kHz和9kHz，通帶內最大衰減αp=3dB，阻帶最小衰減αs=20dB。解：1）高通濾波器指標 增大2）低通原型濾波器指標返回回到本節3）設計低通原型濾波器4）求模擬帶通H(s)：返回回到本節3.低通到帶阻的頻率變換:低通原型到帶阻濾波器的頻率變換在虛軸上阻帶邊界頻率：上邊界頻率下邊界頻率帶阻濾波器的帶寬帶阻濾波器的中心頻率返回回到本節減少，或增加減少，或增加帶阻濾波器的系統函數可以證明：如給定邊界頻率不滿足改條件，改變參數，提高指標返回回到本節6.2IIR數字濾波器設計目標：滿足給定頻率回應指標、因果穩定的系統函數間接法設計過程確定數字濾波器的指標轉換成過渡模擬濾波器的指標設計過渡模擬濾波器將過渡模擬濾波器轉換為數字濾波器指標轉換返回過渡模擬濾波器轉換為數字濾波器的要求保證因果穩定性，Ha(s)的因果穩定性映射成H（z）後保持不變，即S平面的左半平面Re{S}＜0應映射到Z平面的單位圓以內|Z|<1。

H（z）的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即S平面的虛軸應映射到Z平面的單位圓上。設計模擬Ha(s)轉換成數字H(z)返回本節主要講述：6.2.1用脈衝回應不變法設計IIR數字濾波器6.2.2用雙線性變換法設計IIR數字濾波器6.2.3高通、帶通和帶阻IIR數字濾波器設計返回6.2.4IIR數字濾波器的頻率變換6.2.1脈衝回應不變法設計IIR數字濾波器

基本思想使數字濾波器能模仿模擬濾波的特性；從濾波器的脈衝回應出發，使數字濾波器的單位脈衝回應序列h(n)正好等於模擬濾波器的沖激回應ha(t)的採樣值，即

方法回到本節返回（1）濾波器系統函數（單極點、分母階次高於分子階次部分分式）（2）模擬濾波器的單位沖激回應（3）採樣（4）Z變換回到本節返回下麵分析脈衝回應不變法的轉換性能：

s平面到z平面的極點映射關係:，用脈衝回應不變法將模擬濾波器Ha(s)轉換成數字濾波器H(z)時，整個s平面到z平面的映射關係為

設

則

所以

ω=

T

回到本節返回其中，式ω=

T

表明：

數字頻率與模擬頻率之間是線性關係，這是脈衝回應不變法的優點之一。由式可知：

=0時，r=1，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓；

<0時，r<1，s平面的左半平面映射為z平面的單位圓內；

>0時，r>1，s平面的右半平面映射為z平面的單位圓外。優點返回回到本節模擬系統因果穩定，其系統函數Ha(s)的所有極點位於s平面的左半平面，按照上述結論，這些極點全部映射到z平面單位圓內，因此，數字濾波器H(z)也因果穩定。因為h(n)=ha(nT)，根據時域採樣理論得到代入ω=

T得到

上面兩式說明，數字濾波器頻率回應是模擬濾波器頻率回應的週期延拓函數。

返回回到本節所以，如果模擬濾波器具有帶限特性，而且T滿足採樣定理，則數字濾波器頻率回應完全模仿了模擬濾波器頻率回應。這是脈衝回應不變法的最大優點。但是，一般模擬濾波器不是帶限的，所以實際上總是存在頻譜混疊失真返回回到本節由上圖可見，頻譜混疊失真會使數字濾波器在ω=

附近的頻率回應偏離模擬濾波器頻響特性曲線，混疊嚴重時可使數字濾波器不滿足阻帶衰減指標。所以，脈衝回應不變法不適合設計高通和帶阻濾波器，這是脈衝回應不變法的最大缺點。為了減小頻譜混疊失真，通常採取以下措施:①選用具有銳截止特性的模擬濾波器；②提高採樣頻率Fs（Fs=1/T）。

缺點返回回到本節與模擬濾波器頻率回應增益相比，數字濾波器的頻率回應增益增加了常數因數1/T。所以，數字濾波器的頻率回應增益會隨採樣週期T變化，特別是T很小時增益很大，容易造成數字濾波器溢出。所以，工程實際中採用以下實用公式這時

使數字濾波器的頻率回應增益與模擬濾波器頻響增益相同，符合實際應用要求。返回回到本節增益補償例：

二階巴特沃思模擬低通濾波器的系統函數為

試用脈衝回應不變法將其轉換成數字濾波器H(z)，並對不同的採樣週期T，觀察頻譜混疊失真現象。解:

採用待定係數法將Ha(s)部分分式展開。Ha(s)的極點為因此解得返回回到本節按實用公式，即式（6.2.12）得到數字濾波器的系統函數為式中返回回到本節當T分別取0.2s,0.1s和0.05s時，模擬濾波器和數字濾波器的幅頻特性曲線如下圖所示模擬頻率（Hz）數字頻率（rad）(a)模擬濾波器頻響曲線(b)數字濾波器頻響曲線顯然，採樣週期T越大，頻譜混疊失真越嚴重，與差別越大。所以，脈衝回應不變法不能用於將模擬高通和帶阻濾波器轉換成數字高通和帶阻濾波器。返回回到本節例

用脈衝回應不變法設計數字低通濾波器，要求通帶和阻帶具有單調下降特性，指標參數如下:解:

根據間接設計法的基本步驟求解。（1）將數字濾波器設計指標轉換為相應模擬濾波器指標。設採樣週期為T，得到（2）設計相應的模擬濾波器，得到模擬系統函數Ha(s)。根據單調下降要求，選擇巴特沃思濾波器。求出波紋幅度參數為返回回到本節從而得到再將k和k1代入，計算得到 取整數N=4取T=1s時查表6.1.1得到歸一化4階巴特沃思多項式為得到歸一化系統函數為返回回到本節將

c帶入去歸一化，得到希望設計的低通濾波器的系統函數為其中（3）將T=1s代入，將模擬濾波器系統函數Ha(s)轉換成數字濾波器系統函數H(z)，即返回回到本節如果取T=0.1s，可得到近似相同的H(z)。這說明當給定數字濾波器指標時，採樣週期的取值對頻譜混疊程度影響很小。所以，一般取T=1s使設計運算最簡單。T=1s時，T=0.1s時，如下圖6.2.3圖中數字濾波器滿足指標要求，但是，由於頻譜混疊失真，使數字濾波器在ω=

（對應模擬頻率Fs/2Hz）附近的衰減明顯小於模擬濾波器在f=Fs/2附近的衰減。返回回到本節例6.2.2設計的模擬和數字濾波器的損耗函數

返回回到本節小結:

1)脈衝回應不變法的一個重要特點是頻率座標的變換是線性的，ω＝ΩΤ，ω與Ω是線性關係。因此如果模擬濾波器的頻響帶限於折疊頻率以內的話，通過變換後數字濾波器的頻響可不失真地反映原回應與頻率