九年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版）：专题05 二次函数的实际应用（解析版）（人教版）

专题05二次函数的实际应用图形问题1．某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好．小组讨论后，同学们做了以下试验：

请根据以上图案回答下列问题：(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为，当为，窗框的面积是______；(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为，试探究长为多少时，窗框的面积最大，最大为多少？(3)经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验证：当总长还是时，对于图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．【答案】(1)(2)长为时，窗框的面积最大，最大为(3)见解析【分析】（1）当时，得出，再由长方形面积公式计算即可；（2）设长为时，窗框的面积为，则，然后根据二次函数的最值求解方法求解即可；（3）图案③：设长为时，窗框的面积为，则，根据二次函数的最值求解方法得当时，y有最大值，即当时，即可得出窗框的面积为；图案④：当时，根据，则此方程无解，则图案④不能达到这个面积．【详解】（1）解：当时，则，∴窗框的面积．故答案为：；（2）解：设长为时，窗框的面积为，则，∵，∴当时，y有最大值1，即当长为时，窗框的面积最大，最大为．（3）解：设长为时，窗框的面积为，则，∵，∴当时，y有最大值，令，整理得：，∵，∴此方程无解，∴图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握矩形的面积和二次函数对最值，根的判别式是解题的关键．2．工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？

【答案】当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米【分析】连接，分别交于点，交于点，先判断出四边形是矩形，从而可得，再判断出四边形和四边形都是矩形，从而可得米，，然后设矩形的面积为平方米，米，则米，米，利用矩形的面积公式可得关于的二次函数，最后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：如图，连接，分别交于点，交于点，

，，米，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，，，，，四边形是矩形，，四边形和四边形都是矩形，米，，和都是等腰直角三角形，，，设矩形的面积为平方米，米，则米，米，米，米，，又，与之间的距离为2米，米，，由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时，取得最大值，最大值为，答：当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米．【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．3．某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．

(1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．【答案】(1)(2)当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为．【分析】（1）由可表示出的长，由，可表示出，，，，，的长，进而可求出与之间的函数关系式；（2）根据（1）中相关数据列出函数解析式，然后利用函数的性质解答．【详解】（1）∵四边形是矩形，∴，∵，∴．∵，是边的中点，∴，，∵，∴，∴．∵点、、分别是边、的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）设面积为S，则，∴当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键．图形运动问题4．如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可【详解】解：如图，当时，

重叠部分为三角形，面积，如图，当时，

重叠部分为梯形，面积，∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为50，纵观各选项，只有C选项符合．故选：C．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键．5．如图，一个边长为的菱形，，过点作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为，则与直线平移的距离之间的函数图象大致为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】利用面积公式，分别计算出三个距离段的面积对应的解析式，根据相应图象即可解答．【详解】∵四边形是菱形，∴，，①当时，如图，

，，图象开口向上的抛物线的一部分；②当时，如图，

，图象是线段；③当时，如图，

，图象开口向下的抛物线的一部分；故选：．【点睛】此题考查了动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，解题的关键是：弄清楚不同取值范围内，图象和图形的对应关系，进而求解．6．如图，正方形的边长为，点O为正方形的中心，点P从点A出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，连接，在移动的过程中始终保持，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分情况求出当点P在上时、当点P在上时的函数关系式，再依题判断即可．【详解】解：如图，当点P在上时，延长交与点E，

∴，由题得，，，∴，∵，∴，∴；当点P在上时，

由题得，，∴．故选D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象的应用，求出分段函数的解析式是解题的关键．销售利润问题7．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）．解答下列问题：

(1)求y与x的函数关系式；(2)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时内获得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？(3)求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？【答案】(1)(2)70元(3)销售单价为85元时销售利润最大，最大为2450元【分析】（1）设y与x的函数关系式为，代入，，即可求解；（2）先得出，当时，，解方程即可求解；（3）根据，即可作答．【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：，把，代入解析式得：，解得，∴y与x的函数关系式为；（2）根据题意，得；当时，，解得：，，∵这种商品的销售价不得高于90元/千克，∴，∴应将销售价定为70元/千克；（3），∵，∴当销售单价时，销售利润w的值最大，最大值为2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、得出二次函数的关系式是解题的关键．8．某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）（天）的关系如表：时间x（天）1361036……日销售量m（件）9490847624……未来40天内，前20天每天的价格（元/件）与时间x（天）的函数关系式为（且x为整数），后20天每天的价格（元/件）与时间x（天）的函数关系式为（且x为整数）．(1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与x（天），直接写出日销售量m（件）与时间x（天）的函数关系式；(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（且a为整数）给贫困户，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天），求出a的值，即可求前20天中公司共捐赠给贫困户多少钱？【答案】(1)(2)第18天的日销售利润最大为450元(3)，1500元【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式，故可利用待定系数法可求解；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围，进而求解即可．【详解】（1）解：（1）由题意可知，m（件）与x（天）满足一次函数关系．设一次函数关系式为，将、分别代入一次函数关系式中，得解得，∴，经检验，其他m与x的对应值均适合以上关系式．（2）解：设前20天日销售利润为元，后20天日销售利润为元，则，∵，，∴当时，有最大值，最大值为450；，∵，此函数图象开口向上，对称轴是直线，∴当时，有最大值，最大值为．∵，∴第18天的日销售利润最大为450元；（3）解：由题意得：，配方得：，要使日销售利润随时间x增大而增大，则要求对称轴，解得；又∵，故，∵a为整数，∴，∴前20天中公司共捐赠给贫困户的钱数为（元）．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决实际问题，属于中考常考题型．9．陕西大樱桃发展十分迅速，后来居上，成为我国三大樱桃产地之一，其中，铜川大樱桃最为出名，先后荣获“国家地理标志保护产品”“中国优质甜樱桃之都”等殊荣，每到樱桃成熟的季节，就会有大批的水果商收购樱桃．今年某村在销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为万元/吨时，每天可售出吨，每吨每涨万元，每天的销量将减少1吨，据测算，每吨平均投入成本1万元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价不低于万元/吨，不高于万元/吨．设樱桃的批发价为x(万元/吨)，每天获得的利润为y(万元)，请解答下列问题：(1)用含x的代数式表示每天樱桃的销售量为_______(吨)，并求出每天获得的利润y(万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式；(2)若该村每天批发樱桃要盈利15万元，求樱桃的批发价应定为多少万元/吨？(3)当樱桃的批发价定为多少万元时，每天所获的利润最大，并求出最大利润．【答案】(1)，(2)若该村每天批发樱桃要盈利15万元，樱桃的批发价应定为4万元/吨(3)当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元【分析】（1）根据“批发价为万元/吨时，每天可售出吨，每吨每涨万元，每天的销量将减少1吨”用含x的代数式表示每天樱桃的销售量即可，再根据销售量乘以每吨的利润列出每天获得的利润y(万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式可得，解方程后根据即可得到答案；（3）由题意得到，根据和二次函数的性质即可得到答案．【详解】（1）解:每天樱桃的销售量为（吨），故答案为：根据题意得，∴每天获得的利润y(万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式为．（2）根据题意可得，解得．∵，∴，答：若该村每天批发樱桃要盈利15万元，樱桃的批发价应定为4万元/吨；（3），∵，抛物线开口向下，∴当时，y有最大值，最大值为，∴当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元．【点睛】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，读懂题意，准确列出函数关系式是解题的关键．投球问题10．一个物体从地面竖直向上抛，有这样的关系式：（不计空气阻力），其中是物体距离地面的高度，是初速度，是重力加速度（g取），t是抛出后所经历的时间．圆圆用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以的初速度从地面竖直向上抛．(1)当小球的高度为米时，求时间的值；(2)小球的高度能达到米吗？请作出判断，并说明理由．【答案】(1)小球的高度为米时，所用时间为或；(2)小球的高度不能达到米．理由见解析【分析】（1）把，代入所给关系式求出二次函数解析式，再代入解析式求t的值即可；（2）把代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，由判别式判定方程是否有解即可．【详解】（1）解：把代入得：，当时，，即，解得：．答：小球的高度为米时，所用时间为或；（2）解：小球的高度不能达到米，理由如下：把代入得：，∴，∵，∴无实数解，∴小球的高度不能达到米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意找出等量关系是解决问题的关键．11．明明同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次训练时，“智能小球”回传的水平距离与竖直高度的几组对应数据如下：

水平距离竖直高度(1)根据题意，填空：________，________；“智能小球”达到的最高点的坐标为________；(2)“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标；(3)若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为5，直接写出的值．【答案】(1)，，(2)(3)或【分析】（1）将代入求出b，再求出顶点坐标即可；(2)解直线与抛物线解析式组成的方程组即可；(3)根据函数的顶点以及函数性质分类讨论即可．【详解】（1）方法一：将代入中，得：，所以．即二次函数关系式为．将代入中，得：；方法二：因为二次函数最高点的坐标为，所以，．所以，．即二次函数关系式为．当时，，所以，，；“智能小球”达到的最高点的坐标为，故答案为，，；（2）由题意得：，解得：或（舍去），即点的坐标为；（3）或．由得，二次函数的对称轴为直线，①当时，即时，随的增大而减小，当时，函数值的最大值为5．．解得或（不合题意，舍去），②当时，随的增大而增大，当时，函数值的最大值为5．．解得：或（不合题意，舍去）；所以，或．【点睛】本题考查二次函数的实际问题，关键是求出函数的解析式．12．排球场的长度为，球网在场地中央且高度为，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离竖直高度①根据上述数据，求抛物线解析式；②判断该运动员第一次发球能否过网______填“能”或“不能”．(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．【答案】(1)①；②不能(2)该运动员此次发球没有出界，见解析【分析】（1）①由表格中数据得出顶点坐标，设函数解析式为顶点式，再把代入解析式求出a即可；②当时求出y的值与2.24比较即可；（2）令中的，解方程求出x的值与18比较即可．【详解】（1）解：（1）①由表中数据可得顶点，设，把代入得，解得：，所求函数关系为；②不能．当时，，该运动员第一次发球能过网，故答案为：不能；（2）判断：没有出界．第二次发球：，令，则，，解得舍，，，该运动员此次发球没有出界．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是正确求出函数解析式．增长率问题13．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度季度总值约为元，第三季度总值为元，则函数解析式即可求得．【详解】解：根据题意得：关于的函数表达式是：，故选：C．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．14．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用4月份该厂家口罩产量月份该厂家口罩产量从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则y与之间的函数关系式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设平均每次降价的百分率是x，，第一次降价后的价格为，第二次降价的价格为，根据题意列出函数关系式即可求解．【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．16．目前，随着新冠病毒毒力减弱，国家对新冠疫情防控的政策更加科学化，人们对新冠病毒的认识更加理性．佩戴口罩可以阻断传播途径，在一定程度上能够有效防止感染新型冠状病毒肺炎．某药品销售店将购进一批A、B两种类型口罩进行销售，A型口罩进价m元每盒，B型口罩进价30元每盒，若各购进m盒，成本为1375元．(1)求A型口罩的进价为多少元？(2)设两种口罩的售价均为x元，当A型口罩售价为30元时，可销售60盒，售价每提高1元，少销售5盒；B型口罩的销量y（盒）与售价x之间的关系为；若B型口罩的销售量不低于A型口罩的销售量的10倍，该药品销售店如何定价？才能使两种口罩的利润总和最高．【答案】(1)25元(2)定价为40元时，两种口罩的利润总和最高【分析】（1）根据题意列出方程求解即可；（2）设两种口罩的利润总和为，由销售利润=（售价-进价）销售量得到关于的二次函数，根据二次函数的性质以及自变量的取值范围即可得到答案．【详解】（1）由题意可知：，即解得：，（舍去）∴A型口罩的进价为25元．（2）设两种口罩的利润总和为，当A型口罩售价为元时，销售量为盒，由题意得：，解得，则，∴对称轴为，∵，∴当时，随的增大而减小，∴当时，两种口罩的利润总和最高，即定价为40元时，利润最高．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用中的销售利润问题，根据题意找到关于的二次函数是解题的关键．17．重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是每千克元，售价是每千克元，年销量为万千克多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而绿色蔬菜倍受欢迎，十分畅销．为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色开发，根据经验，若每年投入绿色开发的资金万元，该种蔬菜的年销量将是原年销量的倍，它们的关系如下表：万元(1)试估计并验证与之间的函数类型并求该函数的表达式；(2)若把利润看着是销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，试求年利润万元与绿色开发投入的资金万元的函数关系式；并求投入的资金不低于万元，又不超过万元时，取多少时，年利润最大，求出最大利润．(3)基地经调查：若增加种植人员的奖金，从而提高种植积极性，又可使销量增加，且增加的销量万千克与增加种植人员的奖金万元之间满足，若基地将投入万元用于绿色开发和提高种植人员的奖金，应怎样分配这笔资金才能使年利润达到万元且绿色开发投入大于奖金？【答案】(1)(2)时，最大为万元(3)用于绿色开发的资金为万元，奖金为万元【分析】根据题意判断出函数解析式的形式，再利用待定系数法求二次函数解析式，可求出与的二次函数关系式．根据题意可知，利用顶点坐标公式解题即可；将代入中的，故；再将代入，故，由于单位利润为，所以由增加奖金而增加的利润就是，进而求出总利润，即可得出答案．【详解】（1）根据不是一次函数(不是线性的)，也不是反比例函数的值不是常数)，所以选择二次函数，设与的函数关系式为，由题意得：，解得：，与的函数关系式为：；（2）利润销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，；当时，最大，由于投入的资金不低于万元，又不超过万元，所以，而，抛物线开口向下，且取值范围在顶点右侧，随的增大而减小，故最大值在处，当时，最大为：万元；（3）设用于绿色开发的资金为万元，则用于提高奖金的资金为万元，将代入中的，故；将代入，故，由于单位利润为，所以由增加奖金而增加的利润就是；所以总利润，因为要使年利润达到万，所以，整理得，解得：或，而绿色开发投入要大于奖金，所以所以用于绿色开发的资金为万元，奖金为万元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，以及待定系数法求二次函数解析式和一元二次方程的解法等知识，根据已知得出由增加奖金而增加的利润是解题关键．