2022年山东高考数学仿真卷四（解析版）

备战2022年山东高考数学仿真卷（4）

选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

I.(5分)已知集合A={X|X2-X-6,0},B={X|X2>4},则A「|B=()

A.(2,3)B.[2,3]C.(2,3]D.[2,3]|J{-2}

【答案】C

【详解】•.•A={x|-2效k3},8={x|x<-2或x>2},

哨8=(2,3].

故选：C.

2.（5分）已知i是虚数单位，若复数z=工，则z的共飘复数，=（

)

4+3/

A.Si43.

BC.--+-zD.----------1

55-rr5555

【答案】A

55(4-3z)43.

【详解】复数Z=

4+3/(4+3/)(4-3055

.•.Z的共视复数彳=3+当，

55

故选：A.

02

3.(5分)已知a=sin2,b=Iog20.2,c=2-,则()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【详解】0va=sin2v1,

b=log20.2<log21=0,

c=20-2>2°=1,

:.c>a>h.

故选：B.

4.（5分）随着我国新冠疫情防控形势的逐渐好转，某企业开始复工复产.经统计，2020年7月份到12

月份的月产量（单位：吨）逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产

量为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为（）

A.48吨B.54吨C.60吨D.66吨

【答案】C

【详解】由题意设7月份到12月份的产量为数列{4},

则7月份的产量为q=10,12月份的产量为％=20,

则公差4=丝」=也〃=2,

6-15

所以数列的通项公式为=10+2(〃-l)=2〃+8,"eN.,

所以8月份至IJ11月份的产量之和为4+&+%+%=2(2+3+4+5)+8x4=28+32=60,

故选：C.

22

5.(5分)已知双曲线』一—二=1(机>0)的渐近线方程为x±&y=0,则加=()

+1m

A.-B.也-IC.3里D.2

22

【答案】A

[详解】双曲线上——亡=Km>0)的渐近线方程为x±=0,

加+1m

可得户亘=百，

Vm

解得m=—.

2

故选：A.

【答案】B

【详解】由函数图像可得，函数图像关于y轴对称，可得y=/(x)是偶函数,

山于f(x)=sinx+cosx=y[2sin(x+?)，故A错误；

又因为y=f(x)经过(肛一1),

所以/(4)=一1,与。选项/(4)=1矛盾，故O错误；

若/(x)=sin|x|+cosx，

当xw[4，2幻，sin|x|=sinx,

所以f(x)=sinx4-cosx=5/2sin(x+\/2,

4

故当x+^=阴时•，即工=至时，取得最小值

424

与图中的最小值-1互相矛盾，故C错误.

故选：B.

7.(5分)已知函数/(x)=8sin(5-?)3>0)的最小正周期为*若f(x)在[或，事上单调递增，在片,

号]上单调递减，则实数机的取值范围是()

A.[乃，2乃]B.*乃]C.[-,-]D.-n\

2643283

【答案】B

【详解】，<y=隼=2,，/(x)=8sin(2x-q),

M/71%".e7t.57Vlm-7C,5乃2m-7T7C幻〃目7157

3XG[r---,—]时1H，2x——G[-------,----------1,/.------<----------„—,用车行——〈根，——；

2433123123284

yXf24p_L-7V7117171hjfzra57r44

2=3xG[r—,—]nPT,2x----G1rm-----,7c\,「.一,,m------<TC,解倚—,，m<—,

23332363

综上所述：—.

64

故选：B.

8.(5分)若d,b,^均为单位向量，且1石=0,3—C).(b—0,,0,贝ij|a+b-司的最大值为()

A.V2-1B.1C.&D.2

【答案】B

【详解】•：a,b,1均为单位向量,且4石=0,(a-c)4,b-c\,0,则下石一19一行屯+色，0,

/.c»(d+/?)..1.

而|4+b—+/?~+c"+2d•b——2Z?*c=3—2c*(^+/?),,3—2,=1,

故I。+6-^I的最大值为1,

故选：B.

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.（5分）已知正方体ABC-ASGA的棱长为4,M为。R的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则

下列命题正确的是（）

A.若MN与平面ABC。所成的角为石，则点N的轨迹为圆

4

B.若MN=4,则MN的中点尸的轨迹所围成图形的面积为2%

C.若点N到直线8旦与直线ZX7的距离相等，则点N的轨迹为抛物线

D.若QN与AB所成的角为?，则点N的轨迹为双曲线

【答案】ACD

【详解】对于A，因为与平面A3CD所成的角为£,即NMV£）=2,

44

所以DV=O0=2,所以点N的轨迹是。为圆心，2为半径的圆，故选项A正确；

对于3，若MN=4,因为A/OLZW,MD=2,所以ND=$MN2-MD?="2-2'=2后,

所以点P到DM的中点。的距离为,ON=G,

2

又因为点尸到平面A8CD的距离等于。。=1为定值，

所以点P的轨迹是以。为圆心，G为半径的圆，

其面积为刀•（百尸=3万，故选项8错误；

对于C,因为8月_L平面ABCD,所以点N到直线BB、的距离为NB,即点N到点B的距离与到直线DC的

距离相等，

又3不在直线。C上，所以点N的轨迹为以3为焦点，直线”■为准线的抛物线，故选项C正确;

对于。，以。为坐标原点，DA，DC,。。为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

贝i]A(4,0,0),8(4,4,0),£>[(0,0,4),设N(x,y,0),

则AB=(0,4,0),DtN=(x,y,-4),

因为RN与他所成的角为工,

13

|福.而||0+4尸0|

所以IcosA反。河|==cos—,

I而II丽IV0+16+0x“2+八163

化简可得3y2-》2=16,所以点N的轨迹为双曲线，故选项O正确.

故选：ACD.

10.(5分)已知函数/(；0=1-奴+1的图象在x=2处切线的斜率为9,则下列说法正确的是(

A.a=3

B.f(x)在x=-l处取得极大值

C.当xe(-2,1]时，/(X)G(-1,3]

D./(x)的图象关于点(0,1)中心对称

【答案】ABD

【详解】/(%)=x3-ax+1»贝(J=3x?-a,

因为函数f(x)的图象在x=2处切线的斜率为9,

所以/'(2)=9,即12—a=9,解得a=3,故A正确；

则/(x)=X3-3X+\,则f\x)=3X2-3=3(X-1)(X+1),

令广。)>0,可得x<—l或x>l，令f(x)<0,可得

所以/(x)在(-oo,-l),(1,口)上单调递增，在(-1,1)上单调递减,

所以f(x)在x=-1处取得极大值，故8正确；

当xw(-2,1］时，由/(x)的单调性可知，/(x)的最大值为/(-1)=3,

又/(—2)=-1,f(1)=-1,

所以当xe(-2,1］时，3］,故C错误；

因为函数)，=V-3x为奇函数，关于原点(0,0)对称，

所以函数/(x)=x3-ox+l的图象关于点(0,1)中心对称，故。正确.

故选：ABD.

11.(5分)如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点3是圆O上异于A,C的动点，SO=OC=2,则

下列结论正确的是()

A.圆锥SO的侧面积为8夜万

B.三棱锥S-A3C体积的最大值为日

3

C.NS4B的取值范围是(工,工)

D.若AB=BC,E为线段43上的动点，则SE+CE的最小值为2(后+1)

【答案】BD

【详解】在RtASOC中，-.-SO=OC=2,SC=2-42,

则圆锥SO的侧面积为S=」x2乃x2x2a=4信，故A错误；

2

当8位于AC中点时，A4BC面积取最大值，为、2x2=2,

2

此时三棱锥S-ABC体积的最大值为1x4x2=-,故3正确；

33

当8与C趋于重合时，N%8趋于工，当3与A趋于重合时，NASB趋于0,NS48趋于工,

42

.•・NS4B的取值范围是(乙，-),故C错误；

42

若AB=BC,以45为轴把平面SAB旋转至与平面45c重合，连接SC,交

则ZS3C=150。，在ASBC中，SB=BC=2-^2,

由余弦定理可得，SC=+(2伪2-2x2也x20xcos150°

=^8+8-2x272x272x(-^)=2(6+1),即SE+CE的最小值为2(73+1),故。正确.

故选：BD.

S亚

12.(5分)已知函数y=sin(<yx+e)与y=cos(<yx+e)(0>O,|9|<§在xe[0,的图象恰有三个不

同的交点P,M,N.若APAW为直角三角形，则()

△PM7V的面积5=万

两函数图象必在》=里二竺处有交点

【答案】ACD

【详解】•.•两图象恰有三个交点P,M,N,且APMN为直角三角形，

则APMN的高为夜，且是等腰直角三角形，

.•.斜边长为2五，即周期7=2&,.•.至=2&,解得啰=也开，故A正确.

•.•APMV的面积为S=-*0x2&=2,故B错误.

2

当X£[0,时，(DX+(pe\(p,芳+如，

设/=+0,则y=sin/与•y=cost的图象的交点分别为

・・•有三个交点，贝"工，—]c[^,“+如，即v

所以夕e[-工，-],故C正确，

44

当尤=电_丝时，69%,故。正确.故选：ACD.

4co4

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）已知tana=-4，则l-sin2a=.

2

【答案】-

5

【详解】因为tana=-->

2

222X(^―)

「匚”，.csbra-\-cosa-2sinacosatana+\-2tanaA29

所以]_sin2a=-----------------------=-------z--------=-——------=一

sina+cosatana+11,5

-----rt1

4

故答案为：—.

5

14.（5分）已知函数/（x）=]；；：：；苍°,则/（-5）=

【答案】e

【详解】根据题意，函数〃x)=F'X>°,

[/(x+2),x,0

当用,0时，/(x)=/(x+2),5W</(-5)=/(-3)=/(-1)=/(1),

当x>0时，f(x)=ex,则/(1)=e,

故/(—5)=e,

故答案为：e.

15.（5分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1,BD=—,AB±AC,AC=gB,则CD的最小

3

【答案喈

2瓜

ABBD即祟;而

【详解】设NAZ）3=e,在AAB£>中，山正弦定理得

sin。sinZBAD

977

整理得AB•sin/BAD=-——sin0.

3

由余弦定理得4)=A£)2+BQ2—2.A£).8o.cose=U—九5cos，,

33

■rr

因为AB_LAC,所以N843=—+ND4c.

2

在AACD中,

由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD•AC-cosADAC=1+2AB2-2叵AB•sin/BAD

=~3~~C°S~s^n=sin（0+（p）（其中tan（p=6）,

所以当sin（。+⑺=1时,CDinin=£.

故答案为：B.

3

16.（5分）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-438.并要求

同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步过点A作一个平面分别交

PB,PC,PD于点、E,F,G,得到四棱锥P-AMG;第二步，将剩下的几何体沿平面ACF切开，得

到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形但6,若

【答案】-

4

【详解】设四棱锥P-AB8的体积为V，设竺=g，

PD

PAPGPF1V

⑴力”PAPDPC'^^^^21

同理可得/.但=1♦/，

相加可得vp_ACFE=g+右《①;

,八,,PGPAPEV3V

\2.)V.,八=-------------=g-------

ACtPDPAPB252

,31V

同理口J得VGEF=g-------，

p/—l/cr0522

Q3V

相加可得VfWE=(gg+mg)•万②；

⑶由①②可知,=gg+。)。，

乙XJ•1V.Z4

所以&+2=2g,解得g=3,

210104

所以焉4

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）已知AABC的三个内角A,B,。的对边分别是。，b,c,且儿osC+ccos8=24zcosA.

（1）求角A;

（2）若Q=2G，AABC的面积为26，求b+c的值.

【答案】（1）A=~;（2）6

3

【详解】（1）因为。cosC+ccos4=2acosA,

由正弦定理得，sinBcosC+sinCeosB=2sinAcosA,

即sin(B+C)=2sinAcosA,

故sinA=2sinAcosA,

因为sinA>0,

所以cosA=—,

2

山A为三角形内角得，A=-；

3

(2)因为a=2G，AABC的面积为26,

1/o

所以一Z?csinA=-^~〃c=2\/§,

24

所以历=8,

由余弦定理得，a2=b2+c2-2/?ccosA=（b+c）2-2bc-2Z?ccosA=0+c）2-=12,

故匕+c=6.

18.（12分）已知数列｛4｝的前"项和为S„,a2=6,5“=；。田+1.

（1）证明：数列｛S.-1｝为等比数列，并求出S“；

（2）求数列｛'｝的前"项和7；.

%

【答案】（1）见解析；（2）Tn=--一?—

【详解】（1）证明：n2w+i+1,

-2=；（"S,）+1,

.•J-1=3⑸-1）,

.又“2=6,S,=—«2+1=4,S]-1=3*0,

.••数列⑸-1｝是首项为3,公比为3的等比数列,且S“-l=3",

・•.S,,=3"+l；

（2）解：由（1）可得：S“=ga“+i+1=3"+1,

MW-1

/.an+i=2x3,an=2x3（几.2）,

『1〃=1

4,〃=1

又q=4,a

n2x3'i,几.2

——-~~r,/1..2

.2x3""

1

二当〃..2时，7^=—+—+—+•--1-

a

4a2%n

3魂心”1

42,124x3"i

3

当〃=1时，7：=-,

14

综上，7；,=------!—7.

"24x3'i

19.(12分)如图1所示，在平行六面体ABCO-AgGR中，底面A8CD是边长为4的正方形.过点A的

平面与棱Bq,CG，OR分别相交于E,F,G三点，且CF=3,DG=2.

(1)求BE的长；

(2)若平行六面体488-AgC；〃是侧棱长为6的直四棱柱(如图2),求平面AS8与平面AEDt所成锐

二面角的余弦值.

【详解】(1)连接AC、BD交于N,连接AF、EG交于M,

因为平面AD〃平面与C,平面AEFGC平面A〃=AG,平面A£FGC平面与。=EF,所以AG〃防,

因理AE//GF,所以四边形AEFG为平行四边形，于是M是""、EG中点，

因为四边形A88是正方形，所以N为AC、中点，

于是MM为AACF中位线，又是梯形ZX7E8的中位线，

133

所以M7V=—CF=二，DG+BE=2MN,所以5E=2•二一2=1.

222

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，

AE=(4,0»1),AD}=(0,4,6),

设平面ADiE的法向量为比=(x,y,z),

AE•而=4JV+z=0

令z=-4,/n=(l6,-4),

A.•川=4y+6z=0

平面ABC。的法向量为为二(0,0,1),

\ifi'ri\44后

所以平面A6C£＞与平面AEQ所成锐二面角的余弦值为

\rn\-\fi\A/53-153

20.(12分)垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程.搞好垃圾分类收集处理，可为政

府节省开支，为国家节约能源，减少环境污染，是建设资源节约型社会的一个重要内容.为推进垃圾分类

收集处理工作，A市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育，为了解市民能否正确进

行垃圾分类处理，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,

得到如下列联表(单位人)：

能正确进行垃圾分类不能正确进行垃圾分总计

类

55岁及以下9030120

55岁以上503080

总计14060200

(1)根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关？

(2)将频率视为概率，现从A市55岁及以下的市民中里随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记

被抽取的3人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量X的

分布列和均值E(X).

附：K2=--------"""C2--------其中〃=a+"c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(h+d)

0.150.100.050.025

P(K\.k0)

即2.0722.7063.8415.024

【答案】见解析

【详解】⑴根据以上数据，1的观测值氏=20°-90*3°二5°x30)：a3.571>2.706,

140x60x120x80

.•.有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关.

(2)由题意可得：X~B(3,-),

.•.尸(X=Q=域,k=o,1,2,3,

2777ai

P(X=O)=—,尸(X=l)=—,P(X=2)=—,P(x=3)=—.

64646464

可得：随机变量X的分布列:

X0123

P272791

64646464

均值E(X)=3X1=3.

44

21.（12分）已知椭圆C:[+/=l（a＞人＞0）的离心率为半，短轴长为2&.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知A,B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段钻为直径的圆经过坐标原点O.是否存在以O为

圆心的定圆恒与直线A3相切？若存在，求出定圆方程；若不存在，请说明理由.

22

【答案】⑴—+^-=1;(2)见解析

62

c_瓜

a3a=^/6

【详解】(1)由题意可知,2b=2&,解得:<b—V2,

a2=b2+c2c=2

22

•••椭圆。的方程为:押全1.

（2）设A（M，y）,B（X2,%），直线48的方程为：x=my-\-t,

片+£=1

联立方程■）62，消去x得：（W+3犷+2砂y+（产-6）=0,

x=my+1

2mf『-6

•.­线段AB为直径的圆经过坐标原点O,

OA-OB=0,

/.xlx2+%%=0，

(孙+t)(my2+t)+yKy2=0,

整理得:（"+1）乂必+皿（凹+%）+*=0,

把y+M=一-'乂%="^~~^代入上式得：(«i2+1)--,—+mt--2/—+z2=：0,

12nr+312川+3'4+31+3

整理得：*=3(吧1),

2

•.•原点(0,0)到直线AB:x=m)，+r的距离d—,

J1+M

1+/M22

存在以o为圆心的定圆V+v=3恒与直线.相切.

2

若直线AB的斜率为0,则圆Y+丁=|与直线y=半相切，

综上所述：存在以O为圆心的定圆Y+V=g恒与直线AB相切.

22.(12分)已知函数/(x)=xe*T+/+2x-4,g(x)=^ax2-x+2acosx+/n(x+l).

(1)判断f(x)的单调性，并