信号与系统常用变换与知识点

连续时间离散时间

微FS傅里叶变换FT傅里叶级数FS傅里叶X

k30t小1=£”产限()

X(t)=X(j3)』3td3即]=1/x//

”=<N>2n

连续时间，在时间上是离散时间，在时间上是离散时间，t

时间上是

非周期的周期的非周身

KJ

+8

1V1r1-jk(2it/N)n

F;wraX(/)=£x网e-加

X(Jco)=|x(t)e~dtk=NL刎e

J-COn=<N>n=-8

频率上是连续频率，在频率上是离散频率，在频率上是

连续频率，t

的非周期的周期的

周期

FSFS

/

若:打用一与，y[n]«bfc)

FTFT

X(t)-X(/3),yOV03)疝尸y(0)

蟀3。=2折周期为N,基本频率3O=27/N(频率周期

4x(t)+By(t)Ax\n\^By[n]

FS

Aa+Bb

kkFT?lx[n]+By[n]^Aak+Bbk工1X(/3)+B?(J")

14X03)+

r]FS-jA30no*…oRe

x(t-t0)^eW°Y(73)

。%x[n-nQ\^eak

｝。飞)马仅j))

-3°))

FT

J(/t)w27TX(-3)

FTFSx[-nRx(e%)

x[-n\^a_k

飞)【用=值%"霍得

rfrll_[*|n/m]若n是m整数倍

x(m)mj-(o若n不是m的整数倍

)FSFT1(ja>\

jk(aa0)tx(的一面Xa

ef

一元%(周期为mN)

FSy

x(t)y(t)一>。3)*aax[n]y[n]N[X(J3)*i

llbk-lx[n]y[n]^工ik-i

1=<N>

周期卷积：

FT

FSx(t)*y(t)tx(/®)y。®)flFSx[n]*y网—X(/3)y(e

〉*x[r]y[n-r]^Nab

lT^Takbkkk

r=<N>

2ndx(t)FTr1r.产/jkgn/N)、FT

二"日也<>

j3X(j3)x[n]-x[n-1]^[1-e)akx[n]-x[n--e

FT(lX(j3)FTdx(削

ORd3

皿d3

n

2、因

\x(t)dt

ak=-8

J—coVx[k](仅当4=。才为有限值且为周期的)------匕嬴

刍%=°才为FT1£»11_屋"(/叼M

一储(Js)+7rx(0)6(3)PTI

«->-----X(e/a>)+nX

的)1_ew

FTFSPT

X⑷―X’(-j3)/四一xy

a-k.=a*k

+8

E“2非周期信号帕斯瓦尔定壬

k=-oo非周期信号帕斯瓦尔定理：:E用"]|2=£瓦|2

+8

「82ir+8n=<N>k=<N>

1总平均功率|X(t)|dt=—||X(/3)”£1刖

LllJ

J-a>-8一个周期信号的总平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和n=-827r

,波分量的平

常用傅里叶变换对

连续时间离散时间

信号傅里叶变换信号傅里叶变换

+8+8

V1水30t2a/(2n/N)n27r£*3-穹

Zake2TT£cikS{a)-ka)Q)

k=-8k=-8k=<N>k=-8'7

+00

jk3°l27r6(3-ka)0)j30n27r£S(a)-%-2n7)

ee

1=­co

+8

COS30t7r[S(3—COQ)+S(6>+3。)]COS%7lJt{,(3—WQ-2TF/)+6(3+&>Q_

I=-s

+00

sina)tsin/TI

Qy[5(«-w0)-5(w+«0)]—》：{S(3-<0Q-2nl)-6(3+WQ-2加)}

I=—8

+8

127rb(3)127r£5(3-2加)

I——co

tj2n6Q))

周期方波式t)=x(t+T)周期方皮x[n]=x[n+T]

42sin

fl，Vffl.\n\<Nx27rs-哈

£k6(s-k%)

x(t)=Tx[n]=N

k=-oo

0.T1<\t\<-0,Njltlj

非周期方波：非周期方波：

sin卜生+今

2s\na)T1

[1.WlI,|n|</V1

x(t)=0,Tj<|t|0)x[n]=0,N<\t\

rsin(初2)

单位冲激串：

+8+co+8

+OO2n/2TTK\

S[n-kN]

建MT2巩H

E6(”")k=-8

n=-co

sinWt\0)\<WsinWnX®=故建/缪

AUw)-(o,\a)\>W0<lV<7r

ntun

6(。1即］1

1]+8

----r~+7r2讥3-2汗k)

u(t)而+喇3）W[H]

1-ek=-8

2a

e°",Q>0

2.2

Q+3

11

eflfu(t),/?e{a}>0a7lu[n],|a|<1

Q+1-ae~^

11

te"〃(£),RC{Q}>0(n+l)aniz[n],|a|<1

(a+Ja)2(1-aef

严-1_1(n+r-1)!1

------^-7-au[n],|a|<1

(n_l)!。u(t),Re{a}>0(a+j3)"n!(r-1)!1J(1-3町

rSaB

门函数：Gr（t）

三角形函数：A（。T峭

2r

7F

Saat)或⑷

c23c

双边拉普拉斯变换与Z变换性质

拉普拉斯变换Z变换

逆变年）=卷『二'"ds而】=焉JX⑵z"&z

换

r+8

X(s)=Jx^e^dt+OO

变换—8X⑵在2x[ri\zn

n=-co

性质信号变换收敛域ROC信号变换收敛域ROC

x(t)X(s)R中］x⑵R

X](t)X](s)%“1网々⑵

々(t)*2(s)R?々m*2⑵R;

至少用C\R至少R】n/?

线性QX](t)4-bx2(t)0Al(s)4-bX2(s)2ax1[n]+bxj^n]QX](Z)4-bX2⑵2

R（除了可能增加或

时移J9)RRn-nJzn°X{z')

去除原点或8点）

仪刎X（e%，）R

S域R的平移，即若

平移咱

670）在/?域中，z；x网ZgR

（Z域e%(t)X(s-So)

尺度则S就位于收敛域R的比例伸缩，即在

变换中alx[n]X（Q-、）|。|兄=在/?中Z的这

些｛同哥点的集合

时域x(at)R/a,即若s/唯RH-川5）R[

-----------

l«l\a

尺度中，则s就位于收x[r]n=rk

X(m]=rX(Z>*

变换敛域中0,n*rk

共桅X，0)RX'(z・)R

至少用至少】

卷积X1(s)X2(s)C\R2七四*々网X](Z*2(Z)An/?2

时域dx(t)

sX(s)至少Rx[n]-x\n-1](l-zpx⑵至少用nUz|>0}

微分dt

S域dX(s)dX⑵

-tx(t)Rnx[n]ZR

微分ds~dz

n

时域f*(T)dTX(s)至少1

£一户⑵至少用n{0>1}

“-oo/?1n{Re(s}>0}

积分sk=-8

若1<0,式£)=0且在1=0不包括任何冲激或高级奇异函数，仅有初值定理：若n<°时刖]=0,则:

初值

则：x[0]=limX(z)

及终Z-»QO

x(0+)=limsX(s)

值定S-*co

理limx(t)=limsX(s)

t-»ooS-»0

基本函数的（双边）拉普拉斯变换和（双边）z变换

拉普拉斯变换z变换

信号变换收敛域信号变换收敛域

6。）1个部sS[n]1全部z

11

u(t)Re[s}>0w[«]|Z|>1

?1-z-1

11

-u(-t)Re{s}<0-iz[-n-1]|Z|<1

s1-z-1

tnT11

Re{s}>0a7,u[n]|z|>|a|

(n-l)N)nd-1

S1-az

11

Re{s]<0-anu[-n-1]|z|<|a|

■(n-l)!U(-t)n1-1

S1-az

—1

1az

eafu(t)Re[s}>-anau[n]|z|>|a|

s+a

az~1

1

-e"%(-£)/?e{s}<-a-naru[-n-1]|z|<|a|

S+Q(I-*

tnT1

Re[s}>-a

(S+a)"

产-11

_(n-l)!e，<(-0Re{s}<-a

(S+a)"

全部z,除去0（若

5(t-T)^-sT6[n-m]，n

e全部sZ-m>0）,或8（若

m<0）

1-[cos6)]z1

s0

[cosa)ot]u(t)Re{s}>0[cosco0n]u[n]|z|>1

2,212

s+%1-(2cos6)0]z4-z-

1

心[sinwjz-

[sino)0t]u(t)Re{s}>0[sina)on]u[n]|Z|>1

2,212

s+%1-[2cos6>0]z+z

1-[rcosa)]z1

S+Q0

[e%osa)t]u(t)

QRe[s}>-a卜”cosa)on]i/[n]|z|>r

(s+a)2+122

说1-[2rcos6>0]z4-rz~

[rsina)]z1

%0

[e-atsina)t]u(t)[rnsinco7i]u[n]

oRe[s}>-a0\A>r

(s+a)2+%122

1-[2rcosa)0]z+rz

,、d"6(t)

"和=出sn全部s

1

u.„(t)=u(t)*-*u(t)Re[s}>0

n

S

拉普拉斯变换与Z变换的收敛域、因果性、稳定性

收敛域ROC：对于S来说，使得的傅里叶变换收敛；或者x（t）的拉普拉斯变换收敛！

因果性：如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入，该系统称因果系统。

稳定性：若输入是有界的，则系统的输出也必须是有界的（输出不能发散）。

性质拉普拉斯变换z变换

性质1X（S）的收敛域是在S平面内由平行于轴的带状区域组成。X（z）的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。

对有理拉普拉斯变换来说，收敛域不包括任何极点。（因为在

性质2收敛域内不包含任何极点。（因为在极点处，X（z）为无限大）

极点处，X（s）为无限大，显然不收敛）

如果x（t）是有限持续期，并且是绝对可积的，那么收敛域就

是整个S平面。（x（t）有限可积，又因为为一固定常数，则如果刘川是有限长序列，那么收敛域就是整个z平面可能除去

性质3

z=°和/或z=8。

“（《院戊必定可积）

如果x«）是右边信号，并且Re{s}=°哒条线位于收敛域内，

如果xWI是一个右边序列，并且⑶=的圆位于收敛域内，

那么Re{s}的全部$值都一定在收敛域内。（x（t）为右边信

性质4那么⑶的全部有限,值都一定在这个收敛域内。（科可是

号则收敛域必定包含直线Re{s}=。。的右半平面，或者用定义

右边序列，则收敛域必定包含⑶=%的圆外区域）

式求证）

如果x«）是左边信号，并且Re{s}=。必条线位于收敛域内，如果"Ml是一个左边序列，并