大学物理课件-机械振动与机械波

机械振动与机械波

§3.1简谐振动

§3.2简谐振动的能量

§3.3简谐振动的合成

§3.4机械波的形成和传播

§3.5平面简谐波的波函数

§3.6波的能量

§3.7惠更斯原理

§3.8波的干涉

§3.9驻波

§3.10多普勒效应振动是一种普遍的运动形式机械振动:物体在某固定位置附近的往复运动,

是物体一种普遍的运动形式.

广义振动:任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化.振动分类振动受迫振动自由振动共振阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动(简谐振动)§3.1

简谐振动振动中最简单最基本的是简谐振动简谐振动:

一个做往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移x(或角位移

)随时间t按余弦(或正弦)规律变化的振动x(t)＝Acos(

t＋

)运动学方程（振动方程）x可作广义理解:

位移、电流、场强、温度…一、简谐振动x0x弹簧振子模型平衡位置为坐标原点弹性恢复力（线性回复力）F=-kx动力学特征方程通解为振动方程x(t)＝Acos(

t＋

)A，

为由初始条件决定的积分常数振动方程速度加速度单摆模型c0mTl平衡位置为坐标原点恢复力矩泰勒级数展开线性恢复力矩动力学方程复摆模型F例3-1:弹簧下面悬挂物体，不计弹簧重量和阻力，试证其在平衡位置附近的振动是谐振动。A证：以平衡位置0为原点，向下为x轴正向0△l是弹簧挂上重物后的静伸长设某一瞬时m的坐标为xA动力学方程为二、描述谐振动的重要物理参量1.振幅A

由初始条件决定t=02.周期和频率

完成一次完全振动所需的时间称为周期周期T：频率

：圆频率（角频率）:固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定频率弹簧振子固有圆频率固有振动周期单摆复摆3.位相（相位）和初位相（初相位）(1)能唯一确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征的的物理量

t+

叫做位相,是描述系统的机械运动状态的物理量(2)位相差两振动位相之差当

=2k

,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相当

=(2k+1)

,k=0,±1,±2...

两振动步调相反,称反相

2

超前于

1

或

1滞后于

2

位相差反映了两个振动不同程度的参差错落(3)初位相:t=0时的位相

可根据sin

和cos

来确定

三、简谐振动的旋转矢量表示法XOt=0

时刻

0x0

t时刻

t+

0x用旋转矢量定相位例：x0=A/2

0>0

=?x0x0

答：用旋转矢量表示相位关系x0

x0

同步x0

反相旋转矢量与振动曲线tx例3-2：已知如图示的谐振动曲线，试写出振动方程.t(s)x(cm)p420-4-21解：方法一设谐振动方程为

从图中得：A＝4cmt＝0时，x0＝-2cm，且

0＜0，得得再分析，t＝1s时，x＝2cm，

>0，得即＝所以振动方程为方法二：用旋转矢量法求解t(s)x(cm)p420-4-21t=0x§3.2简谐振动的能量振动动能振动势能动能和势能的位相差为谐振动的总能量x0tx=Acos(ωt＋π)Et平均动能平均势能上述结论虽是从弹簧振子这一特例推出，但具有普遍意义，适用于任何一个谐振动系统.例3-3:光滑水平面上的弹簧振子由质量为M的木块和倔强系数为k的轻弹簧构成．现有一个质量为m，速度为u0的子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自然伸长状态．(1)试写出该谐振子的振动方程；(2)求出x＝处系统的动能和势能．

解：(1)子弹射入木块过程中，水平方向动量守恒．设子弹陷入木块后两者的共同速度为v0，则有

子弹射入木块后谐振系统的圆频率为设谐振动系统的振动方程为x＝Acos(ωt＋φ)，初始条件为x0＝0，v0＝v0＞0，联立求出(2)x＝A/2时，谐振系统的势能和动能分别为简谐振子的振动方程为§3.3简谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成x1

=A1cos(

t+

1)x2

=A2cos(

t+

2)

求：x＝x1

＋x2

x

1AA1A20x1x2

0

2

x合振幅初位相

合振动是简谐振动,其频率仍为

位相差对合振幅的影响(1)(2)0Amax=A1+A2,相互加强0Amin=|A2

A1|,相互减弱(3)一般情形Amin＜A＜

Amax例3-4：已知两个简谐振动的x-t曲线如图所示，它们的频率相同，求它们的合振动方程．解：由图中曲线可以看出，两个简谐振动的振幅相同，A1＝A2＝A＝5cm，周期均为T＝0.1s，因而圆频率为(1)振动的初相位(2)振动的初相位由x-t曲线可知t＝0时，x＝x1＋x2＝－5cm，故故合成简谐振动方程为振动在空间的传播过程叫做波动机械振动在连续介质内的传播叫做机械波常见的波有机械波，电磁波物质波(微观领域)各类波在传播中具有共性各种类型的波有其特殊性，但都具有:

叠加性，都能发生干涉和衍射现象类似的波动方程§3.4机械波的形成和传播一、机械波的产生条件①有作机械振动的物体，即波源；②有连续的介质.

如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。

弹性力：有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。横波：振动方向与传播方向垂直的波.（只能在固体中传播）

特征：具有交替出现的波峰和波谷.二、横波和纵波纵波：质点振动方向与波的传播方向平行的波.（能在固体、液体和气体中传播）

特征：具有交替出现的密部和疏部.

沿着波的传播方向向前看去，前面各质点的振动位相都依次落后于波源的振动位相.

机械波向外传播的是波源(及各质点)的振动状态和能量.

横波在介质中传播时，只有固体能承受切变，因此横波只能在固体中传播.

纵波在介质中就形成稠密和稀疏的区域，故又称为疏密波.纵波可引起介质产生容变.固体、液体、气体都能承受容变，因此纵波能在所有物质中传播.三、波线和波面波场:波传播到的空间。波线(波射线):代表波的传播方向的射线。波面:波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波前(波阵面):某时刻波源最初的振动状态传到的波面。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.

沿波线方向各质点的振动相位依次落后。波前波面波线平面波球面波四、描述波动的几个物理量1.波速u

振动状态(即位相)在单位时间内传播的距离，波速又称相速.在固体媒质中纵波波速为G、E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量

为介质的密度在固体媒质中横波波速为在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些

T为弦中张力，

为弦的线密度在弦中传播的横波波速为:在液体和气体只能传播纵波，其波速为：B为介质的容变弹性模量

为密度理想气体纵波声速:

为气体的摩尔热容比，Mmol为气体的摩尔质量，T为热力学温度，R为气体的普适常数，

为气体的密度3.波长

2.波动周期和频率波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需的时间，用T表示。波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波的数目，用

表示。同一波线上相邻的位相差为2

的两质点的距离。§3.5平面简谐波的波函数

简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是谐振动.

任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠加.

波面是平面的简谐波称为平面简谐波。在平面简谐波中，波线是一组垂直于波面的平行射线，因此可选任一波线上任一点的振动方程来研究平面波的传播规律.一、平面简谐波的函数1.一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播x0pxy以某一波线为x轴设原点振动方程：O点振动状态传到p点需用时t时刻p处质点的振动状态重复时刻O处质点的振动状态p点的振动方程：即沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数

沿着波的传播方向,质点振动状态(位相)落后于原点(波源)的振动状态(位相).2.沿x轴负向传播的平面简谐波的波函数x0pxy波矢(波数)二、波函数的物理意义1.质元固定，即x=x0x0处质点的振动初相y(x，t)

→y(t)

→

x0点的振动方程x0点，两个时刻的振动位相差若t2-t1=kT,k=1,2,…则

＝2k,

T反映了波动的时间周期性Tt0yx=x02.时间固定，即t=t0y(x，t)→

y(x)→

t0时刻空间各点位移分布t0时刻，同一波线上两点的振动位相差xOx2x1若x2-x1=k

,k=1,2,…则

＝2k，

反映了波动的空间周期性

x0yt=t03.如x,t

均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形0yxu

t(t

＋t,x+x)(t，x)时间延续△t，整个波形向前推进△x=u·△t解：(1)用比较法，将题给的波函数改写成如下形式与波函数的标准形式比较：故例3-5：已知波函数为

，其中x，y的单位为m，t的单位为s，求：(1)振幅、波长、周期和波速；(2)距原点为8m和10m两点处质点振动的相位差；(3)波线上某质点在时间间隔0.2s内的相位差．

故x1和x2两点处质点振动的相位差

负号表示x2处的振动相位落后于x1处的振动相位．(3)对于波线上任意一个给定点(x一定)，在时间间隔Δt内的相位差由题意知，原点处质点的振动初相位原点的振动方程为例3-6：一平面简谐横波以u＝400m·s－1的波速在均匀介质中沿x轴正向传播．位于坐标原点的质点的振动周期为0.01s，振幅为0.1m，取原点处质点经过平衡位置且向正方向运动时作为计时起点．(1)写出波函数；(2)写出距原点为2m处的质点P的振动方程；(3)画出t＝0.005s和0.0075s时的波形图；故波函数为解：(1)设原点O处质点的振动方程为(2)P点xP＝2m，代入波动方程，P质点的振动方程为(3)将t1＝0.005s代入波动方程，得此时刻的波形方程画出对应的波形曲线如图中实线所示．T＝0.01s，故从t1＝0.005s到t2＝0.0075s，Δt＝0.0025s＝T/4故t2＝0.0075s时刻的波形图只需将t1＝0.005s时刻的波形曲线沿着波的传播方向平移λ＝uT＝1m即可得到，如图中虚线所示．

一、波的能量平面简谐波在x处取一体积元dV,质量为dm=dV质点的振动速度§3.6波的能量体积元内媒质质点动能为体积元内媒质质点的弹性势能为波的能量体积元内媒质质点的总能量为：(1)在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。(2)在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。说明xy0PQ横波在绳上传播时体积元在平衡位置Q时，相对形变量最大，弹性势能也为最大；此时动能也最大。体积元在最大位移P时，相对形变为零，弹性势能亦为零；此时动能等于零。单位体积介质中所具有的波的能量。二、能量密度平均能量密度:

一个周期内能量密度的平均值。1.能流:单位时间内通过介质中某一截面的能量。三、波的能流和能流密度uS平均能流：在一个周期内能流的平均值。2.平均能流密度(波的强度)：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流单位：瓦·米－2

在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。3.平面波和球面波的振幅在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等对平面波：uSS所以,平面波振幅相等。对球面波：r1r2所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为A/r由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：§3.7

惠更斯原理惠更斯原理

介质中波阵面(波前)上的各点.都可以看做是发射子波的波源.其后任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面.在各向同性介质中传播t时刻波面t+

t时刻波面波传播方向§3.8

波的干涉一、波的叠加原理

各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性(频率、波长、振动方向、传播方向等)不变，与各波单独传播时一样；而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成.波传播的独立性原理或波的叠加原理：能分辨不同的声音正是这个原因

两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则在合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一些点的振动始终减弱(或完全抵消)，这种现象称为波的干涉.二、波的干涉水波盘中水波的干涉s1s2pr1r21.相干条件频率相同振动方向相同位相差恒定相干波源:满足相干条件的波源2.波场中的强度分布设s1、s2为两相干波源，其振动方程分别为传播到p点引起的振动分别为：在p点的振动为同方向同频率振动的合成。合成振动为：其中：由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：说明:(1)位相仅由位置决定，合振幅由波程差(r2-r1)决定，故这是一个稳定的叠加图样。即有干涉现象(2)干涉相长与干涉相消的条件：k=0,

1,

2,…A=A1+A2干涉相长k=0,

1,

2,…A=

A1－A2

干涉相消若

10=

20,上式简化为波程差

k=0,

1,

2,…例3-7:

位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相位差为

，其A、B相距30米，波速为400米/秒，求:A、B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为x轴.AxB0x30-x取A点的振动方程:在x轴上A点发出的行波方程：B点的振动方程:在x轴上B点发出的行波方程：因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：k=0,

1,

2,…相干相消的点需满足：因为：k=0,

1,

2,…解：声波从入口E进入仪器后分B，C两路传播，这两路声波满足相干条件，它们在喇叭口A处产生相干叠加，干涉减弱的条件是例3-8：如图所示是声波干涉仪．声波从入口E处进入仪器，分B，C两路在管中传播，然后到喇叭口A会合后传出．弯管C可以伸缩，当它渐渐伸长时，喇叭口发出的声音周期性增强或减弱．设C管每伸长8cm，由A发出的声音就减弱一次，求此声波的频率(空气中声速为340m·s－1)．当C管伸长x＝8cm时，再一次出现干涉减弱，即此时两路波的波程差应满足条件

于是可求出声波的频率为

解：由题意知，两波源B，C的振动相位正好相反例3-9：如图所示，B，C为同一介质中的两个相干波源，相距30m，它们产生的相干波频率为ν＝100Hz，波速u＝400m·s－1，且振幅都相同．已知B点为波峰时，C点恰为波谷．求BC连线上因干涉而静止的各点的位置．而设BC连线上的任一点P与两个波源的距离分别为BP＝rB，CP＝rC

要使两列波传到P点叠加干涉而使P点静止，则两列波传到P点的相位差必须满足

可得

讨论：

(1)若P点在B左侧，则rB－rC＝rB－(rB＋BC)＝－30m，它不可能为λ＝4m的整数倍，即不满足①式要求，故在B点左侧不存在因干涉而静止的点；

(2)若P点在C右侧，与上面类似的讨论可知，C点右侧也不存在因干涉而静止的点；①

(3)若P点在B，C两波源之间，则rB－rC＝2rB－(rB＋rC)＝2rB－BC，由①式可得所以在B，C之间且与波源B相距rB＝15±2k＝1m，3m，5m，…，29m的各点会因干涉而静止．§3.9驻波驻波是由振幅相等的两列同类相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象。一、驻波的形成波节：静止不动波腹：振幅最大二、驻波方程

简单的，设两列相向传播的波在原点位相相同x:→x:←两波相遇，其合成波为

不满足不具备传播的特征,它不是行波

它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。驻波方程t=0y0x2A0t=T/8x0xt=T/4xt=3T/80x0t=T/2x02A-2A振动范围波节波腹

/4-

/4

/2驻波的特点1.波腹与波节驻波振幅分布特点振幅极大:波腹位置k＝0,±1,±2,…振幅为0:波节位置k＝0,±1,±2,…相邻波节(波腹)间距

/22.驻波位相的分布特点位相中没有x坐标

(x)＞0

(x)=0

(x)=0

(x)=0

(x)<0相邻两波节间各点振动位相相同；波节两边各点振动位相相反。三、半波损失

波阻(波的阻抗):是指介质的密度与波速之乘积

z=

u.z大—波密媒质z小—波疏媒质相对而言1.若

1u1>

2u2,即波密波疏若忽略透射:波腹相位不变波疏媒质波密媒质x驻波

反射波和入射波同相2.若

1u1<

2u2

，即波疏波密若忽略透射：波节驻波相位突变

波疏媒质波密媒质x反射波有相位突变

——半波损失透射波：透射波总是与入射波同相解①因为反射点为固定端，说