大学文科数学课件：行列式

行列式7.1行列式的定义7.2行列式的性质与计算7.3克莱姆法则

7.1行列式的定义

7.1.1二阶行列式

定义7.1.1

由4个元素aij(i=1,2;j=1,2)排成两行两列，并定义式称为二阶行列式.定义7.1.1中，数a11、a12、a21、a22称为行列式的元素，横排称为行，竖排称为列.元素aij的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列.由定义7.1.1可知:

（1）二阶行列式是一些项的代数和，每一项都是两个元素的乘积，这两个元素位于不同的行、不同的列.（2）二阶行列式是由4个数按一定的规律运算所得的代数和，这个规律性表现在行列式的记号中就是“对角线法则”.如图7.1.1所示，把a11到a22的实连线称为主对角线，把a12到a21的虚连线称为副对角线.于是，二阶行列式便等于主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积.图7.1.1例7.1.1

计算行列式解设有二元线性方程组(7.1.1a)(7.1.1b)将式（7.1.1a）乘以a22与式（7.1.1b）乘以a12相减，得(7.1.2)将式（7.1.1b）乘以a11与式（7.1.1a）乘以a21相减，得(7.1.3)利用二阶行列式的定义，记则式（7.1.2）、式（7.1.3）可改写为Dx1=D1，Dx2=D2.

例7.1.2

解方程组解因D≠0，故题设方程组有唯一解，即7.1.2三阶行列式

定义7.1.2

由9个元素aij(i=1,2,3;j=1,2,3)排成三行三列，并定义式称为三阶行列式.由定义7.1.2不难发现，三阶行列式共有六项，每一项均为来自不同行、不同列的三个元素的乘积.为便于记忆，给出图7.1.2所示的方法.此方法称为对角线法则（显然，二阶行列式也适用该对角线法则）.图7.1.2中实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号.图7.1.2

例7.1.3

计算三阶行列式解按对角线法则，有

例7.1.4

求解方程解方程左端的三阶行列式由x2－5x+6=0解得x=2或x=3.由定义7.1.2可知：

(1)三阶行列式的每项都是不同行、不同列的三个元素的乘积.

(2)三阶行列式还可以写成（7.1.4）（3）在式（7.1.4）中，a11、a12、a13后面的二阶行列式是从原三阶行列式中分别划去元素a11、a12、a13所在的行与列后剩下的元素按原来顺序所组成的，分别称其为元素a11、a12、a13的余子式，记为M11、M12、M13，即于是，式（7.1.4）也可以表示为（7.1.5）例如中第一行元素的余子式分别为对应的代数余子式分别为

所以

注意根据上述推导过程，读者也可以得到三阶行列式按其他行或列展开的展开式.例如，三阶行列式按第二列展开的展开式为(7.1.6)类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组记

例7.1.5

解三元线性方程组解注意到系数行列式同理，可得故所求方程组的解为7.1.3n阶行列式

定义7.1.3

由n2个元素aij(i,j=1,2,…,n)组成的记号称为n阶行列式，其中横排称为行，竖排称为列.一般记做Dn=det(aij),它表示一个由确定的递推运算关系所得到的数：当n=1时，规定D1=|a11|=a11；当n=2时,当n>2时，（7.1.7）例如四阶行列式中第一行元素的余子式分别为对应的代数余子式分别为

例7.1.6

计算行列式解由行列式的定义，有

例7.1.7

计算行列式解由行列式的定义，有

例7.1.8

计算行列式解因为第三列中有三个零元素，可按第三列展开，得对于上面的三阶行列式，按第三行展开，得7.1.4几个常用的特殊行列式形如与的行列式分别称为下三角行列式与上三角行列式，其特点是主对角线以上（下）的元素全为零.根据n阶行列式的定义，每次均通过按第一行展开的方法来降低行列式的阶数，而每次第一行都仅有第一项不为零，故有对上三角行列式，可每次通过按最后一行展开的方法来降低行列式的阶数，而每次最后一行都仅有最后一项不为零，同样可得特别地，非主对角线上元素全为零的行列式称为对角行列式，易知

7.2行列式的性质与计算

7.2.1行列式的性质

记行列式DT称为行列式D的转置行列式.性质7.2.1行列式与它的转置行列式相等，即DT=D.

例如

它的转置行列式

性质7.2.2

互换行列式的两行（列），行列式变号.

符号说明：表示行列式中第i行与第j行互换

（表示交换行列式中i，j两列）.

例如推论7.2.1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.

证把这两行互换，有D=－D，故D=0.

例如

性质7.2.3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式，即第i行（列）乘以k，记做ri×k（或ci×k）.例如,若,则又

推论7.2.2

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面.

第i行（列）提出公因子k，记做ri÷k（或ci÷k）.

推论7.2.3

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.

例如(因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍)

性质7.2.4

若行列式的某一行（列）的元素都是两元素之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.

设则D等于下列两个行列式之和：

性质7.2.5

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变.

例如，以数k乘第j行加到第i行上，则有

由性质7.2.4及性质7.2.3和推论7.2.3有例如（表示第一行乘以－1后加到第二行上,其值不变）(表示第一列乘以1后加到第三列上,其值不变)

性质7.2.6

行列式D的某一行（列）元素与另一行（列）的代数余子式的乘积之和等于零，即（7.2.1）（7.2.２）例如,行列式第一行的元素与第三行元素的代数余子式的乘积为零,即推论7.2.4n阶行列式D=det(aij)，则有或7.2.2行列式的计算

例7.2.1

设求解利用行列式的性质，有

例7.2.2

计算解

例7.2.3

计算解这个行列式的特点是各列4个数之和都是6.现把二、三、四行同时加到第一行，提出公因子6，然后各行减去第一行，即得=48注意仿照上述方法可得到更一般的结果，即

例7.2.4

计算解根据行列式的特点，可将第一列加至第二列，然后将第二列加至第三列，再将第三列加至第四列，目的是使D4中的零元素增多.=4a1a2a3注意（1）上述各例中都用到把几个运算写在一起的省略写法，这里要 注意各个运算的次序一般不能颠倒，这是由于后一次运算是作用在前一次运算结果上的缘故.可见,当两次运算次序不同时所得的结果不同.

例7.2.5

计算解从第四行开始，后一行减前一行：

例7.2.6

计算行列式解

例7.2.7

计算行列式解

7.3克莱姆法则

引例7.3.1

对三元线性方程组在其系数行列式D≠0的条件下，已知它有唯一解：其中

形如(7.3.1)的方程组称做n元线性方程组.当其右端的常数项b1,b2,…,bn不全为零时，该线性方程组称为非齐次线性方程组；当b1,b2,…,bn全为零时，该线性方程组称为齐次线性方程组.7.3.1非齐次线性方程组

定理7.3.1(克莱姆法则)如果线性方程组(7.3.1)的系数行列式不等于零，即则线性方程组(7.3.1)有唯一解，其解为(7.3.2)其中,Dj(j=1,2,…,n)是将系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即

例7.3.1

用克莱姆法则求解线性方程组解由克莱姆法则,可得

例7.3.2

设曲线y=a0+a1x+a2x2+a3x3通过四点(1,3)、(2,4)、(3,3)、(4,－3),求系数a0、a1、

a2、

a3.

解把四个点的坐标代入曲线方程,得线性方程组其系数行列式而类似地,计算可得故由克莱姆法则,得唯一解即曲线方程为例7.3.3大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律.为了身体的健康就需

制定营养改善计划，大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，表7.3.1给出了这三种食物提供的营养以及大学生正常所需的营养（它们的质量以适当的单位计量）.试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入上述三种食物的量.解设x1、

x2、

x3分别为三种食物的量，则由表中的数据可得出下列线性方程组：由克莱姆法则可得则从而我们每天摄入0.277个单位的食物一、0.392个单位的食物二、0.233个单位的食物三就可以保证我们的健康饮食了.7.3.2齐次线性方程组

对于齐次线性方程组

(7.3.3)x1=x2=…xn=0一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组的零解.

例7.3.4

λ取何值时，齐次线性方程组有非零解？解由定理7.3.3可知，若该齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0，而由D=0，得λ=2、