大学文科数学课件：不定积分

不定积分5.1不定积分的概念和性质5.2换元积分法5.3分部积分法

5.1不定积分的概念和性质

5.1.1原函数与不定积分的概念

定义5.1.1

如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即x∈I，都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)在区间I内的原函数.

定理5.1.1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F(x)，使x∈I，都有F′(x)=f(x).

也就是说，连续函数一定有原函数.

我们来看下面的例子:

(sinx)′=cosx

(sinx+2)′=cosx

(sinx+C)′=cosx(这里C是任意常数)从这个例子中可以看到，如果F(x)是f(x)的原函数，即F′(x)=f(x)，那么对于任意常数C，F(x)+C都是f(x)的原函数.同时，如果F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，那么这两个原函数之间只相差一个常数，即

F(x)－G(x)=C

（C为任意常数）定义5.1.2在区间I内，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I内的不定积分，记为，即

其中，∫称做积分号，f(x)称做被积函数，x称做积分变量，f(x)dx称做被积表达式.例5.1.1求

解因为，所以例5.1.2求解因为

所以我们把函数f(x)的原函数F(x)的图形称为f(x)的积分曲线，如图5.1.1所示.显然，求不定积分得到原函数的全体，我们

称之为原函数族，这个原函数族的图形就是函数f(x)的积分曲线族.

另外，根据不定积分的定义，可知

，，图5.1.15.1.2基本积分表

下面我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫做基本积分表.(1)(2)(3)(k是常数)；(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)例5.1.4求解5.1.3不定积分的性质

不定积分具有以下性质:（k是常数，k≠0）.(1)(2)例5.1.5

求解例5.1.6

求解

例5.1.7

求解例5.1.8

求解

例5.1.9

求解例5.1.10已知一曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线斜率为sec2x+sinx，且此曲线与y轴的交点为(0,5)，求此曲线的方程.解因为所以

又因为y(0)=5，所以C=6，故所求曲线方程为

y=tanx－cosx+65.2换元积分法

5.2.1第一类换元法

一般情况下，设F′(u)=f(u)，则

如果u=φ(x)可微，则根据复合函数微分法，有

dF［φ(x)］=f［φ(x)］φ′(x)dx

从而根据不定积分的定义可得由此可得换元积分法定理.定理5.2.1设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式这个公式叫做第一类换元公式，也叫凑微分法.

例5.2.1

求解方法一：方法二：方法三：

例5.2.2

求解因为，所以一般地，

例5.2.3

求解例5.2.4

求解

例5.2.5

求解

例5.2.6

求解

例5.2.7

求解

例5.2.8

求解因为，所以

例5.2.9

求解

例5.2.10

求解

例5.2.11

求解例5.2.12

求解因为所以

例5.2.13

求解方法一:方法二：类似地,可推出5.2.2第二类换元法

定理5.2.2

设x=ψ(t)是单调的、可导的函数，并且ψ′(t)≠0.又设f［ψ(t)］ψ′(t)具有原函数，则有换元公式其中,ψ(x)是x=ψ(t)的反函数.

例5.2.14

求解如图5.2.1所示，令x=atant,则dx=asec2tdt，于是图5.2.1

例5.2.15

求解如图5.2.2所示，令x=2sint，则dx=2costdt，，于是图5.2.2

例5.2.16

求解如图5.2.3所示，令x=asect，则dx=asecttantdt，于是图5.2.3

例5.2.17

求解令

，xdx=tdt，于是

例5.2.18

求解令，，，于是

例5.2.19

求解令，于是

例5.2.20

求解令x=t6,则dx=6t5dt，于是我们在5.1.2节的基本积分表的基础上再补充一些积分公式：(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)

5.3分部积分法

设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数,则

(uv)′=u′v+uv′

于是有

uv′=(uv)′－u′v

在这个等式的两端同时做不定积分，得到

从而有

例5.3.3

求解令u=arctanx，，于是

例5.3.5

求解令u=secx,sec2xdx=d(tanx)=dv,于是得

例5.3.6

求解