2024版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）大题保分练250

大题保分练21．(2023·葫芦岛模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.sin(A－B)＝sin(A＋B)－sin(A＋C)，角A的角平分线交BC于点D，且b＝3，c＝6.(1)求角A的大小；(2)求线段AD的长．解(1)在△ABC中，由已知sin(A－B)＝sin(A＋B)－sin(A＋C)，可得sinAcosB－cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB－sinB，即2cosAsinB－sinB＝0，又sinB≠0，即有cosA＝eq\f(1,2)，而A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，由(1)知，A＝eq\f(π,3)，因为AD为角A的角平分线，则有∠BAD＝∠CAD＝eq\f(π,6)，由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD得eq\f(1,2)×3×6×sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×AD×6×sineq\f(π,6)＋eq\f(1,2)×3×AD×sineq\f(π,6)，解得AD＝2eq\r(3)，所以线段AD的长为2eq\r(3).2．(2023·佛山模拟)如果数列{an}对任意的n∈N*，an＋2－an＋1>an＋1－an，则称{an}为“速增数列”．(1)请写出一个速增数列{an}的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；(2)若数列{an}为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1＝1，a2＝3，ak＝2023，求正整数k的最大值．解(1)取an＝2n，则an＋2－an＋1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n，因为2n＋1>2n，所以an＋2－an＋1>an＋1－an，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2n))是“速增数列”．(2)当k≥2时，ak＝2023＝(ak－ak－1)＋(ak－1－ak－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，因为数列{an}为“速增数列”，所以ak－ak－1>ak－1－ak－2>…>a3－a2>a2－a1＝2，且an∈Z，所以(ak－ak－1)＋(ak－1－ak－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1≥k＋k－1＋…＋3＋2＋1，即2023≥eq\f(kk＋1,2)，k∈Z，当k＝63时，eq\f(kk＋1,2)＝2016，当k＝64时，eq\f(kk＋1,2)＝2080，故正整数k的最大值为63.3．(2023·曲靖模拟)阅读对人的成长影响是巨大的，一个人的精神发展史，在一定意义上就是他本人的阅读史，而一个民族的精神境界，在很大程度上取决于全民族的阅读水平，为了倡导全民阅读，1995年，联合国教科文组织宣布，每年的4月23日为“世界读书日”，在今年的“世界读书日”来临之际，某书店为了了解市民阅读情况，在某小区随机抽取了40名居民，将他们的年龄分成7段：[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求这40名居民中年龄不低于70岁的人数；(2)①若从样本中年龄在40岁及以上的居民中任取4名赠送图书，求这4名居民中至少有1人年龄不低于70岁的概率；②该书店采用抽奖方式来提升购书意愿，将某特定书籍售价提高10元，且允许购买此特定书籍的居民抽奖3次．规定中奖1次、2次、3次分别奖现金x元、2x元、3x元，且居民每次中奖的概率均为eq\f(1,5).若要使抽奖方案对该书店有利，则奖金x最高可定为多少元？(结果精确到个位数)解(1)由频率分布直方图得，40名居民中年龄不低于70岁的人数为40×(0.005×10)＝2.(2)①由频率分布直方图知，40岁及以上的居民共有40×[(0.015＋0.010＋0.005＋0.005)×10]＝14(名)，年龄不低于70岁的居民有2名，记事件A为“这4名居民中至少有1人年龄不低于70岁”，则P(A)＝1－eq\f(C\o\al(4,12),C\o\al(4,14))＝1－eq\f(45,91)＝eq\f(46,91).②设居民三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能取值为0，x,2x,3x.由题意得P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))3＝eq\f(64,125)，P(ξ＝x)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))2＝eq\f(48,125)，P(ξ＝2x)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2×eq\f(4,5)＝eq\f(12,125)，P(ξ＝3x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))3＝eq\f(1,125)，故居民在三次抽奖中获得的奖金总额的均值E(ξ)＝x·eq\f(48,125)＋2x·eq\f(12,125)＋3x·eq\f(1,125)＝eq\f(75,125)x＝eq\f(3,5)x，由题意得eq\f(3x,5)<10，即x<eq\f(50,3)，而16<eq\f(50,3)<17，所以x最高定为16元时，才能使得抽奖方案对该书店有利．4．(2023·南京模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，D＝90°，AB＝2eq\r(2)，AD＝CD＝eq\r(2)，如图1.现将△ADC沿对角线AC折成直二面角P－AC－B，如图2，点M在线段BP上．(1)求证：AP⊥CM；(2)若点M到直线AC的距离为eq\f(2\r(5),5)，求eq\f(BM,BP)的值．(1)证明由题意可得AC＝eq\r(2＋2)＝2，∠CAB＝∠ACD＝45°，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝4＋8－2×2×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝4，故BC＝2，则∠ACB＝90°，即AC⊥BC，又平面PAC⊥平面ACB，平面PAC∩平面ACB＝AC，BC⊥AC，BC⊂平面ABC，故BC⊥平面PAC，又AP⊂平面PAC，则BC⊥AP，又PA⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，所以AP⊥平面PBC，又CM⊂平面PBC，则AP⊥CM.(2)解设AC的中点为O，AB的中点为D，以O为原点，OA，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1,0,0)，C(－1,0,0)，P(0,0,1)，B(－1,2,0)，设eq\f(BM,BP)＝λ，则eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BP,\s\up6(→))，设M(x，y，z)，则(x＋1，y－2，z)＝λ(1，－2,1)，则M(λ－1,2－2λ，λ)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，0))，eq\o(CM,\s\up6(→))＝(λ，2－2λ，λ)，由于点M到直线AC的距离为eq\f(2\r(5),5)，则|eq\o(CM,\s\up6(→))|2＝eq\f(4,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(CA,\s\up6(→))·\o(CM,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc