专题4.1指数运算与指数函数（十二个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

专题4.1指数运算与指数函数知识点1根式1.根式的概念一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.（1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示.（2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.（3）0的任何次方根都是0,记作.式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数.2.根式的性质根据次方根的意义,可以得到:（1）.（2）当是奇数时,;当是偶数时,温馨提示:中当为奇数时,为偶数时,,而中.知识点2指数幂1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定负分数指数幂规定0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘．（2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数．2．有理数指数幂的运算性质（1）; （2）;（3）.3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂(是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．（2）是正无理数)．（3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．重难点1根式的化简与求值1．化简：（

）A．1 B． C． D．2．（多选）若，化简的结果可能为（

）A． B． C． D．3．化简（其中）.4．若，则实数的取值范围是．5．若，求的取值范围．6．用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）：(1)；(2)；(3)．重难点2指数幂的化简7．（

）A． B． C． D．8．已知，则．9．计算与化简：（1）；（2）．10．化简或计算下列各式：(1)(2)11．计算：(1)；(2)12．计算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)重难点3条件求值问题13．已知，，则的值为（

）A． B． C． D．14．已知，则等于（

）A．7 B．9 C．11 D．1315．已知，则的最小值为16．已知，且，求的值．17．已知，求的值．18．已知且，，，则，．知识点3指数函数的定义一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为温馨提示：指数函数解析式的3个特征：（1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1.（3）的系数是1.知识点4指数函数的图象和性质1.指数函数的图形及性质图象性质定义域值域定点过定点单调性是R上的增函数是R上的增函数温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的．（2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象．2．图象位置关系底数的大小决定了图象相对位置的高低．（1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．（2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为.重难点4指数函数的辨析与求值19．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．420．已知函数，则（

）A．2 B．1 C． D．21．已知函数，若，则实数（

）A． B． C． D．22．（多选）下列函数中，不是指数函数的为（

）A． B． C． D．23．已知函数，则.重难点5求指数函数的解析式24．若函数是指数函数，则（）A．或 B．C． D．且25．（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（）A． B．C． D．26．如果函数和都是指数函数，则（

）A． B．1 C．9 D．827．函数是指数函数，则的值为．28．函数且的图象经过点，则.29．已知定义域为R的函数满足：①；②.则满足条件的的一个解析式为.重难点6求指数（型）函数的定点问题30．已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限31．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（

）A． B． C． D．32．函数恒过定点（

）A． B． C． D．33．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（

）A．9 B． C． D．34．函数（且）的图象恒过定点是.35．若函数（且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则.重难点7指数函数图象的应用36．函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

37．已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

38．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，39．函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（

）A．2 B．3 C． D．40．（多选）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

41．（多选）已知，则函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

42．设a，b为实数，，.已知函数的图象如图所示，求a，b的取值范围.

重难点8求指数（型）函数的定义域问题43．函数的定义域为（）A． B．C． D．44．函数的定义域是（

）A． B．C． D．45．函数的定义域为.46．函数的定义域是．47．求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)．48．求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)；(4)．重难点9指数（型）函数的单调性问题49．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（

）A． B． C． D．50．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．51．已知函数在上单调递减，则的取值范围为.52．已知奇函数在R上为增函数，则（

）A．1 B． C．2 D．53．设，，则（

）A．0 B．1 C．2 D．354．已知函数，则（

）A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数55．设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（）A． B． C． D．重难点10指数幂比较大小及解不等式56．设，则（

）A． B．C． D．57．已知，则下列正确的是（

）A． B． C． D．58．已知，，，则（

）A． B．C． D．59．已知函数，则使得成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．60．已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．61．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．62．已知为奇函数.(1)求实数的值；(2)判断并用定义法证明函数的单调性；(3)解关于的不等式.重难点11求指数（型）函数的值域问题63．函数，的值域是（

）A． B． C． D．64．若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（

）A． B．2 C．3 D．65．已知函数在区间上的值域为，则实数的值为.66．求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)；(3)；(4).67．已知函数．(1)若，求的单调区间(2)若有最大值3，求的值(3)若的值域是，求的值68．已知指数函数在其定义域内单调递增．(1)求函数的解析式；(2)设函数，当时．求函数的值域．69．已知函数，.(1)求函数的值域；(2)若在上最小值为，求实数的值.重难点12恒成立问题70．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．71．已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为．72．已知函数是奇函数，且.(1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.73．已知函数．(1)求证：是奇函数；(2)判断在上的单调性，并证明；(3)