专题4.3零点及函数模型（十个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

专题4.3零点及函数模型知识点1函数的零点1.零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程、函数、图象之间的关系方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点．知识点2函数零点的存在性定理如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解．温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条：（1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）.知识点3二分法1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法．温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求函数零点的一般步骤给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下：（1）确定的初始区间,验证；（2）求区间的中点；（3）计算,并进一步确定零点所在的区间①若(此时),则就是函数的零点；②若(此时零点),则令；③若(此时零点),则令.（4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）．重难点1零点的概念及求法1．函数的零点是（

）A． B． C． D．2．已知指数函数为，则函数的零点为（

）A． B．0C．1 D．23．以下有三个命题：①“方程有实数解”是“函数有零点”的充要条件；②“方程有实数解”是“函数的图像与轴有交点”的充要条件；③“函数有零点”是“函数的图像与轴有交点”的充要条件；其中错误命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．的零点是；5．（1）二次函数的零点为；（2）若函数的图象如图所示，则函数的零点是．

重难点2判断零点个数6．函数零点个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．07．设是定义在上的周期为5的奇函数，，则在内的零点个数最少是（

）A．4 B．6 C．7 D．98．已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（

）A．1 B．3 C．5 D．79．方程x＋lgx＝3解的个数为．10．已知函数，则函数的零点个数为.11．定义：实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为，则有个零点．重难点3根据零点个数求参数范围12．已知函数，若函数有且只有一个零点，则（

）A． B．C． D．13．已知函数，若关于x的方程至少有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为．14．已知关于的方程恰有2个实数解，则实常数的取值范围是.15．已知函数，则；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是.16．已知函数．①若，则函数的值域为；②若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是．17．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，；(1)已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间；(2)求函数的解析式；(3)若关于x的方程有2个不相等的实数根，求实数t的取值范围．（只需写出结论）重难点4判断零点所在区间18．函数的零点所在的区间是（

）A． B．C． D．19．已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表x1234y1.213.7910.28以下说法中错误的是（

）A． B．当时，C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点20．已知唯一的零点同时在区间和内，下列说法错误的是（

）A．函数在内有零点 B．函数在内无零点C．函数在内有零点 D．函数在内无零点21．已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（

）A． B． C． D．22．已知是函数的一个零点，若，则（

）A． B．C． D．23．（多选）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，对应值表如下：在下列区间中，一定包含零点的区间是（

）A． B． C． D．重难点5比较零点的大小24．已知函数，，的零点分别为，，，则（

）A． B． C． D．25．已知函数的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（

）A． B． C． D．26．已知：的零点，那么a，b，大小关系可能是（

）A． B．C． D．27．设，，均为实数，且，，，则（

）A． B． C． D．28．已知函数，它们的零点的大小顺序为（

）A． B． C． D．29．若，，，则x、y、z由小到大的顺序是.重难点6二分法概念的理解30．判断正误（正确的打正确，错误的打错误）（1）所有函数的零点都可以用二分法来求．()（2）精确度就是近似值．()（3）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．()（4）在一定精确度下，近似值是唯一的．()31．关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（

）A．用二分法求方程的近似解一定可以得到在内的所有根B．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的重根C．用二分法求方程的近似解有可能得出在内没有根D．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的精确解32．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间，上，当时，函数的零点近似值与真实零点的误差最大不超过（

）A． B． C． D．33．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是（

）A． B． C． D．34．（多选）下列函数图象与轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是（

）A．

B．

C．

D．

35．（多选）下列函数零点能用二分法求解的是（

）A． B．C． D．重难点7用二分法求函数的零点或方程的近似解36．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为（）A．1.4375 B．1.375C．1.25 D．1.42237．用二分法求方程在上的解时，取中点，则下一个有解区间为（）A． B．C． D．38．下表是连续函数在区间上一些点的函数值:x11.251.3751.520.6256由此可判断，方程的一个近似解为（误差不超过0.1）.39．用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为.（参考数据：，，，.）40．用二分法求方程在区间上的根的近似值（误差不超过0.01）．41．在在上恰有一个零点．试用二分法来计算这个零点的更精确的近似值（误差不超过0.001）．知识点4函数模型1．常见的函数模型：建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型,还有常见的以下函数模型：指数函数模型(且)对数函数模型：(且)．2．常见的图象对应的数学模型（1）相邻两点之间的距离变化越来越大时,如图（1）常选(且)模型．（2）相邻两点之间的距离越来越近似相等,如图（2）,常选(且)．模型．（3）点的变化趋势先升后降(或先降后升),如图（3）,常选二次函数模型．（4）相邻两点之间等距,如图（4）,常选一次函数模型．重难点8指数型模型的应用42．某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过该设备过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（，是正常数）.若经过过滤后减少了的污染物，在此之后为了使得污染物减少到原来的还需要的时长大约为（参考数据：）（

）A． B． C． D．43．推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是（

）（参考数据：，，）A．2033年 B．2034年 C．2035年 D．2036年44．已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（，为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为小时.45．科学研究发现，大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数与其游动速度（单位：）的关系式为（且为常数）.当这种鲑鱼的游动速度为时，其耗氧量为8100个单位，若这种鲑鱼的游动速度不小于，则其耗氧量至少为个单位.46．2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为.（参考数据：）47．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一定时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要多长时间（结果精确到）？重难点9对数型模型的应用48．某中学坚持“五育”并举，全面推进素质教育.为了更好地增强学生们的身体素质，校长带领同学们一起做俯卧撑锻炼.锻炼是否达到中等强度运动，简单测量方法为，其中为运动后心率（单位：次/分）与正常时心率的比值，为每个个体的体质健康系数.若介于之间，则达到了中等强度运动；若低于28，则运动不足；若高于34，则运动过量.已知某同学正常时心率为80，体质健康系数，经过俯卧撑后心率（单位：次/分）满足，为俯卧撑个数.已知俯卧撑每组12个，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的俯卧撑组数为（

）（为自然对数的底数，）A．2 B．3 C．4 D．549．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）与成正比，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速为1.5m/s．若一条鲑鱼的游速提高了1m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的（

）倍．A．4 B．8 C．9 D．2750．生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间t（年）近似满足关系式（），其中a是残留系数，则大约经过年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的.（参考数据：，答案保留一位小数）51．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.已知目前疫情在该地区发生第53天，累计确诊病例数达最大确诊病例数的一半.(1)求的值；(2)为了切实保障人民群众的基本生活需要，目前政府需要根据疫情发展部署进一步强化生活必需品市场供应保障的工作.请你根据上述Logistic模型预测：①第54天单日新增确诊病例数；（结果用含的代数式表示）②约多少天后累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%？请说明理由.参考数据：，.52．中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十五号航天员乘组与神舟十四号航天员乘组太空在轨轮换.已知火箭起飞质量（单位：）是箭体质量（单位：）和燃料质量（单位：）之和.在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和x的函数关系是，其中为常数，且当燃料质量为0时，火箭的最大速度为0.已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭最大速度为4.(1)求该火箭的最大速度与起飞质量之间的函数关系式；(2)当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到8？53．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以用函数表示，v的单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.(1)若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（结果保留到整数位，参考数据：，）(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，问雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？重难点10以图表信息为背景的函数应用题54．（多选）图，某池塘里的浮萍面积（单位：）与时间（单位：月）的关系式为（且，）.则下列说法正确的是（

）A．浮萍每月增加的面积都相等B．浮萍面积每月的增长率均为100%C．浮萍面积从蔓延到只需经过5个月D．若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则55．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数）．根据图所提供的信息，回答下列问题：

（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．56．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1所示的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2所示的抛物线表示.（注：市场售价和种植成本的单位：元，时间单位：天）

(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？为多少？57．国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下图，该函数近似模型如下：，又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，根据上述