高数课后习题难点11

1根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:

sin^+sin—+sin—H—sin也•+…・

6666

岳万.•冗.〃

用7¥?s=s♦in4—+,_s,in2—+sin3—+•••s,in-7C-

6666

]（2si哈崎+2si哈s吟+••,哈si喈）

2sin—

12

［（cos篇一cos卷）+（cos卷一cos居）+…+（cos2；2।万一cos2；,；?1）］

2判定下列级数的收敛性：

⑴韦+…+（T）端+…；

解这是一个等比级数，公比为q=-1,于是lq吟＜1,所以此级数收敛.

（2）'+5+!-!-----;

3693〃

解此级数是发散的，这是因为如此级数收敛，则级数

也收敛，矛盾.

⑶+专+/+…+苗…；

1-1

解因为级数的一般项〃”=/==3"flwO（”f8）,

v3

所以由级数收敛的必要条件可知，此级数发散.

⑷弓+扣（/+妥）+（导/）+…+（导专）+…•

00i001

解因为zL和zL都是收敛的等比级数，所以级数

n=\乙〃=1°

是收敛的.

3用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收

敛性：

(1)I+」±」--T—卜1+，+…•

1+1+222-+1+±3321+层十'

解因为而级数f发散，故所给级数发散.

l+〃zn+n2n窘〃

(2)——I—1--1-...-I---!------u...•

2.53-6(n+1)(〃+4)'

]

解因为lim(〃+D，+4)=lim、？口,而级数£上收敛，

72—>00]8fl“+5"+4

〃2

故所给级数收敛.

(3)sin5+sin,+sin云+・一+sin看+,一；

sin£sing,».

解因为1淞[2^=乃1加^^=乃，而级数收敛，

"T8_1_7?->00_71__〃=]2"

2^2^

故所给级数收敛.

81

(4)2丁=(。>0).

"=J+。

解因为

1[00<。<1

lim1+f”=lim」-=/=<!a=\,

72—>00]〃->81+〃”2

atl1

00|00]

而当a〉l时级数收敛，当0〈区1时级数发散,

»=i«"=W

001

所以级数X=二当©1时收敛，当0〈把1时发散.

解因为

1

lim理^=lim4=l

〃T81〃T8Nn

n

而调和级数f发散，故由比较审敛法知，级数发散.

n=\n

4.判定下列级数的收敛性:

(1)V»+1•

胡(〃+2)'

■+1

解因为lim吗@=lim&[=1,而级数£工发散,

71->00\_〃—>8〃+2“=]〃

n

故所给级数发散.

00

(2)£2"sin表；

n=\3

2,,+1sin^r)〃+1兀

王|

解因为lim------——-lim小，

52,,sin—52"—

3"3"

所以级数收敛.

解因为lim4

〃一＞8，i8Vn

所以级数发散.

(4)—-4-—卜—-H—(a>0h>0)

念+2a+hna+b9

解因为（=_4＞L_L,而级数£工发散,

na+ban喜〃

故所给级数发散.

2〃乃

⑸z871COST.

7?=12"

解因为

2〃7

HCOS

丁<n

2〃㈣舲r=典死得＜1

88ncos2z—n九

所以由根值审敛法，级数X枭收敛；由比较审敛法，级数X—万二收敛.

n=l2〃=12

⑹总曲

解因为

lim?=lim—=oo,

1〃一>8ln,un7

n

81

而调和级数发散，故由比较审敛法知，原级数发散.

n=\n

提示：lim—^―=lim-----——1=}lim=」=±;lim7^-=-^-lim-J-=oo

luJv

A-^<»inx「J.10A->OOinj10!xf81nx10!x->℃X

xx

5.判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是

条件收敛？

00

⑴K-ir-'i；

〃=1°

解京(-1尸号上£毫・

n=\Jn=l”

■+1

因为lim工=4<1,所以级数£占是收敛的，

，T8」_3M3"T

3"T

从而原级数收敛，并且绝对收敛.

(2)-----—+—----+•••;

ln2In3In4ln5

解这是交错级数£(一1)"-"=之簪=，其中“，产■p、.

MM】n(〃+1)In(〃+1)

因为u之5,并且lim%,=0,所以此级数是收敛的.

M—>00

又因为丁工^」7,而级数会」7发散，

故级数自(-l)e册上£「7、发散，从而原级数是条件收敛的.

8W

(3)£(-i)"+'A_.

n=\n-

解级数的一般项为％=(-l)〃+i221

〃！

2n2〃2n2n

因为lim\unhlim-^―=lim=lim竺2T.----------=00

8”TOO〃！H—>00〃！n—>oonn—\〃一232I'

所以级数发散.

⑷£(-1)噂;

〃=1〃

00[018[

解E?(-是o级数.故当时级数是收敛的，当於1时

n=\〃〃=1nn=\n

8]8।

级数发散.因此当夕〉1时级数£(-1)”小绝对收敛.

n=\nn=\n

81

当0<^1时，级数£(-1尸工是交错级数，且满足莱布尼茨定理的条件，因

M〃p

而收敛，这时是条件收敛的.

当质0时，由于1而(-1)，二题，所以级数£(—1)，二发散

p

M—>00〃/Mn

综上所述，级数当0>1时绝对收敛，当0</1时条件收敛，当店0

n=\〃

时发散.

/sin-^—

⑸狞T；

sin—

解因为卜1严守Kj1

J1+I，而级数收敛，故由比较审敛法知级数

n=\K

_8[sin-^—

EK-D"-^甲I收敛，从而原级数绝对收敛.

n=l

(6)£(-irin«±l;

n=\n

|(,l)qn«±l|

noci

解因为lim.....lim〃ln史^=limln(l+—)=\ne=l,而级数方上发

〃T81n—>oo"TOO

Y\nn=\n

n

散，故由比较审敛法知级数正1|发散，即原级数不是绝对收敛的.

7?=1n

另一方面，级数£(-l)”ln辿是交错级数，且满足莱布尼茨定理的条件，所

n=l〃

以该级数收敛，从而原级数条件收敛.

⑺f(T)"臀

M=1

解令丝平.因为

〃〃十I

lim收41im(〃+2)!胪+1lim生学(上7)"=lim喀一=-<1,

(〃+l)"+2(n+1)!〃T8〃+1〃+1〃foo〃+l(]+与1e

IUfJI>8

n

故由比值审敛法知级数£l(-1)"竺孚I收敛，从而原级数绝对收敛.

n=\〃

6求下列累级数的收敛域:

0012〃+1

⑴z(-ir

n=\2n+l'

丫2〃+1

解这里级数的一般项为―)"端.

因为liml殳±1『1加1月.猾J2,由比值审敛法，当/<1,即R<1时,

〃->8〃〃282〃+3x

基级数绝对收敛；当”2>1,即"|>1时，幕级数发散，故收敛半径为代1.

因为当心时，基级数成为自R焉,是收敛的；当1时,累级数成

为沙口卷也是收敛的，所以收敛域为i为

⑵f：岑”-2；

n~\,

解这里级数的一般项为册=罗/"-2缺省，不能用a

2

因为胆管券叱产⑵老亚l=1x,由比值审敛法，当3d<1,

即lxl<及时，幕级数绝对收敛；当^x2>l,即lxl>及时，毒级数发散，故收敛半

径为R=应.

因为当x=±四时，基级数成为£驾1,是发散的，所以收敛域为

77=12

(―\/2,5/2).

(3)£中

n=l

解liml如l=lim^^=l,故收敛半径为代1,即当-l<x-5<1时级数收敛,

〃->8an〃->8〃+i

当|户5|〉1时级数发散.

因为当户5=-1,即44时，幕级数成为**,是收敛的；当>5=1,即

y/n

46时，哥级数成为Z」，是发散的，所以收敛域为[4,6).

w=]vn

7利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：

00

⑴Z〃X"T；

n=\

oo

解设和函数为S(x),即S(x)=»"T,则

n=\

S(x)=[£S(x)dx]'=[££〃父-%行=固/nx'^dx]'

n=\n=\

=08X叮Yj1ThTT—1Tvxvl).

M1—X(1-x)2

,84n+l

2y-^—；

*4〃+广

解设和函数为S3,即s")4看,则

/"I

S(x)=S(O)+CSWx=£

4〃+1

算占T)dx=£(-丹・去■+/占Mx

=；ln1^+；arctanx-x(-l<x<l).

提示：由SS'(x)dx=S(x)—S(O)得S(X)=S(O)+£S'(XMX.

(3)x+3+?+…■+….

352〃一1

解设和函数为S(x),即

8r2/1-1丫3丫5r2,i-l

S(Rb+".+2n-l+

则x2n-2dx

=]；'j^-vdx=[ln户(-1<X<1).

\-xL2\-x

提示：由,S'(x)dx=S(x)—S(0)得S(x)=S(O)+,S'(x)dx.

8.将下列函数展开成x的基级数，并求展开式成立的区间:

⑴shx=空/；

解因为

oon

ex=,xw(-8,+00),

n=0川

8n

所以£—*=£(-1)〃・Y，(-00,+00),

n=0几!

18〃oon1coJ?8v2n-l

故shx=4En-c-in^=,xe(-8,+8).

2〃=o〃.〃=on,2〃=on.”=o(2〃-1).

(2)In(二x)(a>0);

解因为ln(a+x)=ln〃(l+工)=lna+ln(l+M),

aa

00Y〃+1

ln(l+x)=£(-l)M^-(-1<A<1),

"=0«+l

所以ln(a+x)=lna+(4严=lna+：；。口'一(一a<把a).

(3)a;

00

解因为=X£(-8,+8),

n=0〃!

所以ax=ex]na-ex=寸""%=寸吗).,炉,xe(一8,4-oo),

〃=on\〃=()nl

(4)sii?不

解因为sin2]=3-!cos2x,

22

8X力1

cosx=Z(T)”;^,探(一8,+8),

„=o(2n)!

所以siMx.-3£(-1)"^^=W(-D"2：C"xejoo,+oo).

22n=Q(2n)•/t=i(2〃)•

⑸(l+x)ln(l+x);

00Y〃+1

解因为ln(l+x)=\(—1)"\(-1<A<1),

n=0〃+l

00H4-l

所以(l+x)ln(l+x)=(l+x)£(—l)"rJ

n=o〃+l

ooY〃+lccY〃+200Y〃+18Y〃+l

=X(—D"J+Z(—D"J=x+Z(T)"J+E(T)"+U

n=0〃+l/i=0〃+ln=\〃+ln=\"

=X+或邛+H]-=X+£吗人(-1<A<1).

〃=i〃+ln

解因为寻谍=I+E（T）"噌孝”（一区回）,

U+X）n=\

008

Y(2D!!2的2-(2n)!Xx„+i

所以kJ=x+Z(f"=x+X(-D,!b弓)2(-1<A<1).

Vl+x2n=\(2〃)!！n=l

9.将下列函数展开成（x-1）的基级数，并求展开式成立的区间:

⑴口

解因为

(1+x)'"=l+mx+-------x2+・・♦+----------------------xn+•・•(一1<工<1).

2!n!

-3

所以Vx3=[l+(x-l)]2

(X—1)2+…+(X—1)”+…

,?!

3i(-l)G3)…(5—2〃)

即7?=]+£(X-1)+寻/%―1户+,•・+(x—1)"+…

Z2*2!2”•加

(0<x<2).

上术级数当x=0和A2时都是收敛的，所以展开式成立的区间是[0,2].

(2)1gx.

解叱器=系1叩+(-)]=忐*1尸千"1皿

即叱备*上千(0K2).

10.将函数f(x)=cosx展开成(x+令的幕级数.

解cosx=cos[(x+])-]]=cos(x+q)cosq+sin(x+])sin1

=；cos(x+^)+*sin(x+1)

n

旦勺(-D(X+令"2+l

七就号+2总(2〃+1)!

**D"[焉a+F"+磊a+p"叫(一85+孙

11将函数/(x)=L展开成(矛-3)的基级数.

X

解

x3+x—331jx—53fi=o33

丁

即鸿铲)〃(殍)"(0<x<6).

]

12将函数/。)=展开成(矛+4)的幕级数.

/+3x+2

111

解/。)=

X12+3X+2X+1X+2'

1111

而-空(告与(冷<1),

x+\-3+(x+4)3]x+43〃=0J3

3

1三(X+4)”,八

即k各k(_7<x<_l)；

-1-=____1____=_J____1___=_J_V(x+4)〃(产+4k])

x+2-2+(x+4)2]-+42岔2''2八

2

即1g(x+4)〃/(c、

]§(x+4)"q(x+4)"

因此

/(x)=2乙a〃+i乙o«+i

x+3x+2n=03〃=0/

吃(击-当Xx+4)"(-6<x<—2)-

13利用函数的幕级数展开式求下列各数的近似值：

(l)ln3(误差不超过0.0001);

解皿m=2(x+U+45+…+丁=+…)(_i<*<i),

1-x352n-\

14-1

10,211^11^,11,、

ln3=ln--=2(-+--^+--^+…+羽•尹+…).

1-2

又k,l=2[--------------------------…]

"(2〃-1>221(2n+3)-22n+3

2N।(2〃+1>22"+I।(2〃+1>22〃+\

-(2n+l)22n+1(2〃+3>22"+3(2n+5)-22,,+5

<(2n+l)22n+1(1+,?+F+…)=3-"2'

故Ink—^^0.00012,l?ck—5-^®0.00003.

53-11-2853-13-210

因而取77=6,此时

ln3=2(2+3'¥+5'¥+7^+9^+nwL0986,

14利用被积函数的幕级数展开式求下列定积分的近似值：

(I)『_二公(误差不超过0.0001);

川1+冗4

34812n4H

解「一L7dx=|0[1-X+X-X+•••+(-l)x+•••]Jx

J)1+X4J)

=(x-家+#—导口+…滞

1_1j_」j___L_L

25-259-2913-213….

因为|0,00625,0.00028,»0.000009,

所以f\bdXX2~5^+9^"04940•

(2)f5arctanxJx(误差不超过0.0001).

•0X

解arctanx=x-x3+-^x5----+(-D"—*x2/?+1+---(-l<x<l),

352〃+l

^arctanx^^-…+(-1)〃出口十…心

•ox4)352〃+l

L1

75

-+-X+100.

2549

=1_1_L+_LJ___L_L+

~2923252549,27

因为H"00139,*/=。。。13,看呆00°。2,

所以^arctanxJx=l_l1+X1«o.487.

■bx29232525

15将函数e*cosx展开成x的基级数.

解cosx-^(e'x+e~ix),

e*cosx=e*.g©x+«-")=；［*件。+/。-肉

1工”=—(l+i)"+(j)1.

2台〃！念〃！2念〃！

因为1+『=&泼，17=缶-咛，

n.HTT.n冗nn,}

所以(l+i)"+(l—。"=2印/彳+e-'7］=25(2cos等)=2,cos詈.

n

■22cos等

因止匕e*cosx=>---------(-oo<x<+oo).

M〃！

_8__8__00_

16设正项级数、>“和\>”都收敛，证明级数\>，,+匕)2与收敛.

〃=1〃=17?=1

证明因为和£vj都收敛，所以lim“”=0,lim匕,=0.

〃foo〃一>8

n=ln=l

又因为lim""+2"""=lim(〃+2匕)=0,lim—=limv=0,

n—>co%nsco匕［n—>oo

00

所以级数£（呼+加%）和级数Z叶都收敛，从而级数

7?=1n=l

000C

£觞+%3")+如=E(册+v/2

n=\n=\

也是收敛的.

17求下列级限:

⑴尾热1+铲;

解显然％（

=fli3„、一岁的前〃项部分和.

因为Iimd5(l+U'=lim4(l+%=9<1,所以由根值审敛法，级数

〃一>8V3n〃->83n3

f：（］+42收敛，从而部分和数列瓜｝收敛.

n=\3n

因此lim1y1(1+5)R=lim-5=0.

〃->8〃念3kn

1I1

(2)lim[2349.827•••(2n)37].

〃T8

11J_±l+2+J_++n_

解2349居27…(2")3"=239273"

显然j=4+_1+舄+…+9是级数的前〃项部分和.

39273〃=13

为18][

设S(x)=\〃x"T,贝[|S(x)=Usa)dx]'=[盲x吁=[±-1]，=^^.

因为翳用7蚪4TF仔从而

_L_L_L-L3

lim[23.49・8万…(2〃)踵]=lim2%=2a.

〃一>ocn—>co

18将函数

1Q<x<h

/(x)=

0h<x<7i

分别展开成正弦级数和余弦级数.

解若将函数进行奇延拓，则傅里叶系数为

<3,尸0(72=0,1,2,•••),

2(1-cos〃/Q

bn--f(x)sinnxdx~—(sin“xdx=

Y17C

因此，函数展开成正弦级数为

/(x)=2，1一c°ssin几x,xe(0,力)u(力，乃),

〃

当户力时，f(m号.

若将函数进行偶延拓，则傅里叶系数为

的="/(》)心哼，

a.,=—Tf(x)cosnxdx=—^'cosnxdx=(z?=l,2,•••),

71*071ri7T

力尸0(〃=l,2,•••),

因此，函数展开成余弦级数为

/(x)=—+—V----cosnx,XE[0,A)o(4乃),

乃乃勺〃

当足力时，

19将下列函数f(x)展开成傅里叶级数:

/(x)=2siny(一位左方;

解将“X)拓广为周期函数4X),则尸(不)在(-不力中连续，在壮士M旬断，且

Ja—%一)+尸(一万+)卜/(一万)，/F(G+F(I+)]W/3),

故尸(X)的傅里口卜级数在(-石㈤中收敛于f{x},而在x=士兀处Rx)的傅里叶级数

不收敛于f{x}.

计算傅氏系数如下：

因为2sin玄(-衣x<»)是奇函数，所以30(片0,1,2,•••),

bn=—『2sin^sinnxdx=—「[cos(^-n)x-cos+n)x]dx

=(-1)«+118^.(/2=1,2,•­.),

n9nz-l

所以/(幻=应1个(_1严逛用匹{-71<X<7T).

兀台9/一1

20设周期函数/'(x)的周期为2%证明f(x)的傅里口卜系数为

T

cirl=—[~/(x)cosnxJx(z?=0,1,2,••

bn=—f(x)smnxdx(/2=1,2,•••).

71、

证明我们知道，若f(x)是以/为周期的连续函数，则

^+lf(x)dx的值与a无关，且f{x)dx=^f(x)dx,

因为F(x),cosnx.sin均为以2杪周期的函数，所以f{x)cosnx.f^x)sinnx

均为以2办周期的函数，从而

an=—「f(x)cosnxdx=-f(x)cosnxdx

冗L冗冗L冗

1&7T(、

--f(x)cosnxdx(/2=1,2,•••).

7T1)

同理b--^f{x}s,\nnxdx(/2=1,2,•••).

n7tQ

21设周期函数/'(x)的周期为2%证明

⑴如果f(a力=-/1(*),则f(x)的傅里叶系数软Qa2A=0,坛=0(A=l,2,••

•)；

解因为

«o=-rf(x)dx1,

"4笈乃714)

所以5()=0.

因为

<t7rx

a2k=—「f(x)cos2kxdx~^Xf(t-7r)cos2k(t-7i}dx

兀工冗71

1fi.7t

=——f(t)cos2ktdt--a2k,

71山

所以a2A=0.

同理题=0(任1,2,・•・).

(2)如果Ax—㈤=〃才)，则F(x)的傅里叶系数旗+尸0,公+尸0(任1,2,・•・).

解因为

。2A+1='「f(x)cos(2k+V)xdx

71L冗

令7=乃+11?乃

----------f(t-7r)cos(2k+V)(t-7T)dx

71山

1@71

=一一、/(f)cos(2&+1)/力=一。2&+1,

714)

所以且2*+产0(A=l,2,•••).

同理易+尸0(4=1,2,•••).

22将函数/(x)=cos^(-於胜力展开成傅里叶级数:

解因为/(x)=cos机为偶函数，故8,尸0(41,2,••而

俨"俨'

a,=—1cosx—cosnxdx=2—Icosx—cosnxJx

〃乃b27TJ)2

=—「[cos(；-〃)x-cos(T+〃)x]dx

,,+l

=(-l)--T4-r(ml,2,•••).

7i4n2-l

由于/(x)=cos^■在[-4，%]上连续，所以

COS^=—+—V(-1)"+1―I—COSHX(一於三力.

271万占4n2-l

23求下列界级数的和函数：

⑴在Rt)；

n=l'

解设某级数的和函数为S(x),则

-Q01x>2

S(x)=[])¥S(x)d灯啤犷"寸=[含匠)

rA._J_r2+x2%i

=2i(2=-x2)24(<n%

即S(x)(-V2<X<y/2).

(2-x)

PC(-1尸

⑵z/〃T;

”=12n-l

解设事级数的和函数为s(x),则

5(x)=£S\x)dx=g£(-1)“712〃-2二P-Urt/x=arctanx(x2<1).

n=lb1+x2

因为当后±1时，惠级数收敛，所以有

S(x)=arctanx(-1<^<1).

〃二1