线性代数课后习题参考答案

习题1.1

1、写出下列随机试验

的样本空间.

(1)生产产品直到有4

件正品为正，记录生产产

品的总件数.

(2)在单位园中任取一

点记录其坐标.

(3)同时掷三颗骰子，

记录出现的点数之和.

解：(1)。={4,5,6,7,8…}

(2)。={(%.，)*+/<1}

(3)C={3,4,5,6,7,8,9,10,…,18}

2、同时掷两颗骰子，

x、)分别表示第一、二

两颗骰子出现的点数，设

事件A表示“两颗骰子出现

点数之和为奇数”，8表示

“点数之差为零”，C表示

“点数之积不超过20”，用

样本的集合表示事件

B-AfBC,B\JC,

*B-A={(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5).(6.6))

BC={(1.1),(2.2),(3.3),(4.4)}

BUC={(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6),(4.6),(6.4),(5.6),(6.5)}

3、设某人向靶子射击

3次，用A表示“第，次射

击击中靶子”(，=123),试

用语言描述下列事件.

(1)AU4

(2)(AU4)A

(3)4AUAA

解：(1)第1,2次都

没有中靶

(2)第三次中靶且

第L2中至少有一次中靶

(3)第二次中靶

4.设某人向一把子射击三次，用4表示“第i次射击击中靶子"(i=l，2,

3),使用符号及其运算的形式表示以下事件：

(1)“至少有一次击中靶子”可表示为;

(2)“恰有一次击中靶子”可表示为;

(3)“至少有两次击中靶子”可表示为:

(4)“三次全部击中靶子”可表示为;

(5)“三次均未击中靶子”可表示为;

(6)“只在最后一次击中靶子”可表示为.

解：(1)AUAUA3；(2)AI&AUA&AUAHA；

(3)44U44U4A3;(4)4A2A3;(5)A4A3

(6)A&4

5.证明下列各题

(1)A-B=AB(2)AU5=(A-B)U(A8)U(8—A)

证明：(1)右边=A(O—3)=A—=A且0后8}=A—8=左边

(2)右边=(A豆)0045)11(3^={43€4或℃5}=403

习题1.2

1.设A、B、C三事件，P(A)=P(5)=P(C)=!

4

F(AC)=P(BC)=-,P(AB)=0,求A、B、C至少有一个发生的概率.

8

解：vP(AB)=0P(ABQ=0

P(AU3UC).=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(A0+P(ABC)

=3°x-1---2cx—1=—1

482

2.已知p(Z)=0.5,P(印6)=0.2,P(8)=0.4,求(1)P(A8)

⑵P(A-B),(3)P(AUB),(4)P(AB).

解:(1)

,/AuB,：.AB=A

P(4B)=P(A)=0.1

(2)

■：AdB,：.A\JB=B

：.P(AU8)=P(8)=0.5

3.设P(A)=0.2尸(AUB)=0.6A.B互斥，求P(B).

解：•••A,B互斥，尸(AU8)=P(A)+P(8)

故P(B)=P(AU3)—P(A)=0.6-0.2=0.4

4.设A、B是两事件且P(A)=0.4,P(8)=0.8

(1)在什么条件下P(A5)取到最大值，最大值是多少？

(2)在什么条件下尸(AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由加法公式P(AB)=P(A)+P(B)—P(AU8)=1.2-P(AUB)

(1)由于当Au8时AUB=B，P(AU8)达到最小，即

P(AU8)=P(B)=0.8,则此时P(AB)取到最大值，最大值为0.4

(2)当P(AU8)达到最大，即P(AU8)=P(Q)=1,则此时P(AB)取到最小

值，最小值为0.2

5.设

11___is

P(A)=P(B)=P(C)=-,P(AB)=P(BC)=P(AC)=—,P(AU5UC)=二

4816

求P(AUBUC).

、....———151

解：P(ABQ=l-P(ABC)=l-P(A\JB\JC)=1——=一，

1616

P(AU5UC).=P(A)+P(B)+P(C)--P(BC)-P(AQ+P(ABC)

cIc1I7

=3x--3x—H------=—

481616

习题1.3

1.从一副扑克牌(52张)中任取3张(不重复)求取出的3张牌中至少有2

张花色相同的概率.

解：设事件A={3张中至少有2张花色相同}

则,={3张中花色各不相同}

P(A)"Ed受号«0.602

2.50只钏钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个钾钉强度太弱，每个

部件用3只钾钉，若将3只强度太弱的钾钉都装在一个部件上，则这个部件强度

就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.

解法一随机试验是从50只钏钉随机地取3个，共有种取法，而发生“某

一个部件强度太弱”这一事件只有《这一种取法'其概率为a=嬴’而1。

个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为

10101

p=£Pi=

(=1196001960

解法二样本空间的样本点的总数为C；。，而发生“一个部件强度太弱”这

一事件必须将3只强度太弱的钾钉同时取来，并都装在一个部件上，共有

种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为

CC一1

P=

C21960

3.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3

个数之积能被10整除的概率.

解法一设A表示“取出的3个数之积能被10整除”,

4表示“取出的3个数中含有数字5”,

为表示“取出的3个数中含有数字偶数”，

P（A）=P（A,A2）=1-P（A^）

=1-P（A}U工）=1-P（A）-P（Q+尸（］川）

=1--1|、+［：）=1-0.786=0.214

解法二设义为“第4次取得数字5”，纥为“第4次取得偶数"，k=1,2,3o

则A=（AlUA2U4）（4UB2UB3）

N=（A44）U（瓦瓦瓦）

P（K）=P（4KA）+p（瓦瓦瓦）一瓦瓦瓦）

由于是有放回地取数，所以各次抽取结果相互独立，并且

一一一8——一5

P（4）=P（4）=P（A）=N，P（B）=P（B）=P（B）=-

91239

----------------------4

P（AB^=P（AB）=P（AB.）=-

2239

因此P(A)=1-吨)=1一［管)+图-电1=1-0.786=0.214

4.袋内装有两个5分，三个2分，五个1分的硬币，任意取出5个，求总数

超过1角的概率.

解共10个钱币，任取5个，基本事件的总数N=CQ有利的情况，即5

个钱币总数超过一角的情形可列举6种(1)5,5,2,2,2；(2)

5,5,2,2,1;(3)5,5,2,1,1;(4)5,5,1,1,1;(5)5,2,2,2,1;(6)5,2,2,1,1.故包含

的基本事件数为

N(A)=C2++C~Cl+C\C}C[+C；C；C；

=1+3x5+3x10+10+2x5+2x3x10=126

126_1

故所求概率为尸=

5.设有N件产品，其中M件次品，今从中任取“件,

(1)求其中恰有以女件次品的概率;

(2)求其中至少有2件次品的概率.

解：(1)(2)1cM+MC'L

*心〃

6.设n个朋友随机的围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：

(1)甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边；

(2)甲、乙、丙三人坐在一起；

(3)如果n个人并列坐在一张长桌的一边，再求上述事件的概率.

解(1)n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为(〃-1)!

而事件A为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起,

看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件4发生的样本点个数为(〃-2)!

(n-2)!1

于是P(A)=

(zz-1)!n-1

(2)n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为(〃-D!,而事

件B为甲、乙、丙三人坐在一起，可将三人“捆绑”在一起，看成是“一个"人

占“一个”座位，有利于事件B发生的样本点个数为用•(〃-3)!

〒口…砥〃-

于是P(B)=」——3-)!=-----6-----

(H-1)!(〃一1)(“一2)

(3)n个人并列坐在一张长桌的一边，样本空间样本点总数为"!，

而事件A为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人''捆绑”在一起,

看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件A发生的样本点个数为(”-1)!

于是P(A)=%二更=!

〃！n

而事件8为甲、乙、丙三人坐在一起，可将三人“捆绑”在一起，看成是“一

个”人占“一个”座位，有利于事件B发生的样本点个数为3!(〃-2)!

于是p(B)=6("2)!=_6一

〃！〃(〃一1)

7.在一分钟内，一个正常信号与一个干扰信号均随机地各出现一次，设正常

信号出现后持续10秒钟，干扰信号出现后持续5秒钟，若这两个信号相遇，则

系统就受干扰了，求系统受干扰的概率.

解

样本空间的面积S(Q)=6()2=3600

系统受干扰的面积(阴影部分面积)S(?l)=602-ix502--?-x552

22

系统受干扰的概率P(A)=9⑷=0.2326

S(Q)

8.两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设

两艘轮船停靠泊位的时间分别为lh和2h,求有一艘轮船停靠泊位时不需要等待

一段时间的概率.

习题1.4

1.一盒中有新旧两种乒乓球100只，其中新球中有40只白的和30只黄的,

旧球中有20只白的和10只黄的.现从中任取一只，则：

(1)取到一只新球的概率是;

(2)取到一只黄球的概率是；

(3)已知取到的是新球，该球是黄球的概率是；

(4)取到一只新黄球的概率是

解⑴0.7(2)0.4(3)3/7(4)0.3

2.已知P(A)=；尸=；P(A|B)=g求P(AUB)

解P(AB)=P(A)P(B\A)=：x；=A

PMB)=1H2=1

P(4忸)1/26

3.已知P(A)=().5,P(B)=0.6,P(@A)=0.8,求P(AB)RP(AB).

解P(AB)=P(A)尸(耳A)=0.5x0.8=0.4

P(AB)=P(AU5)=1-P(A)—P(B)+P(AB)=0.3

4.掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用

两种方法).

解法一设事件A为“两颗骰子点数之和为7"，事件B“一颗骰子点数为

1”，所求概率为

尸…3

P(A)

=2C©=1

2x3C：C：3

解法二点数为7的种数为3(6,1:5,2；3,4),其中一个点数为1的

种数为1,则所求概率为1、

5.已知在10只产品中有2只次品,在其中取两次，每次任取一只，作不放

回抽样，求下列事件的概率.

(1)两只都是正品，(2)两只都是次品，

(3)一只是正品，一只是次品，(4)第二次取出的是次品.

Cl28

解(1)片C^=45

1

⑵*45

16

^=T^=45

Jo^

（4）第一次取出的是正品而第二次取出的是次品的概率

„1618

小丁广石

第一次取出的是次品而第二次取出的是次品的概率

D_C；C：1_1

所以第二次取出的是次品的概率为巴=%+&=:

6.由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15,

刮风（用B表示）的概率为7/15,既刮风又下雨的概率为1/10,求玖川6）、P（4A）、

P(AUfi).

解虫）=需=毁

=0.214

漳）=需=就=0.375

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

=4/15+7/15-1/10=0.633

7.12个乒乓球中有9个新的，3个旧的，第一次比赛取出了3个，用完后放

回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.

解设A（i=0,1,2,3）表示第一次比赛时用了z•个新球，B表示第二次取到的3

个球中有2个新球的概率.

由全概率公式

P（S）=ZF（B|A）XA）=岂与袅•第二0.455

1=01=0

。12。12

8.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0,1,2只的概率分别为

0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱，顾客开箱后随机取

4只进行检查，若无次品，则购买，否则退回，求

(1)顾客买下该箱玻璃杯的概率？

(2)在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？

解设4«=0,1,2,)表示箱中有i件次品，B表示顾客买下该箱玻璃杯

(1)由全概率公式

P(B)=£H34)P(A)=0.8X1+0.1X与+01X为20.94

/=°。20。20

(2)由贝叶斯公式

3史2皿85

切P(B)

9.设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内

装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次

随机地取出两个零件(取出的零件不放回)，试求

(1)第一次取出的零件是一等品的概率；

(2)在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等

品的概率.

解设d(j=O,1,2,)表示从第i箱中取得的是一等品(取出的零件不放回)，B

表示从第一箱中取零件，豆表示从第二箱中取零件

(1)由全概率公式

P(4)=p(4忸)p⑻+p(AB)P®=^x1+l|xl=0.4

(2)由全概率公式

P(AA)=P(A4忸)P(8)+P(A,A|B)P(B)=^X^X1+11X11X1

因此有

.5IO2,I18

P(A(XX+X=0.4856

225049230

习题1.5

1.已知尸(A)=a,P(3)=0.3,P(AUB)=0.7,

⑴若事件A与B互不相容，求a；

(2)若事件A与B相互独立，求a.

解⑴P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

=1-P(A)+P(B)-P(B)+P(AB)

=l-a=0.7

于是a=0.3

(2)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(©P(6)即

0.7=(l-。)+0.3-(1-。)乂0.3于是。=3/7

2.甲、乙两人射击，甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,两人同时

独立射击，求⑴两人都中靶的概率；(2)甲中乙不中的概率；(3)乙中甲不中

的概率.

解设A表示甲击中，B表示乙击中

(1)尸(AB)=P(A)尸(B)=0.8x0.7=0.59

(2)P(AB)=P(A)P(B)=0.8x0.3=0.24

(3)P(AB)=P(A)P(B)=0.2x0.7=0.14

3.甲、乙、丙三人独立的去破译一个密码，他们各自能破译该密码的概率分

别为±1_和」，求：(1)该密码能被他们破译的概率；(2)该密码被仅仅三人中

543

的一人破译的概率.

解设A,8,C分别表示甲、乙、丙独立的去破译出密码，

(1)该密码能被他们破译的概率为

-——4323

P(AUBUC)=1-P(A)P(B)P(C)=1--x^x-=-

(2)该密码被仅仅三人中的一人破译的概率为

P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=-X—X-----1------X—X-------1------X—X—=------

54354354330

4.某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是

0.7,现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出

决策，求作出正确决策的概率.

解作出正确决策的概率为.

C^O.75-0.34+C^0.76-O.33+C；0.77.0.32+C^0.780.3+0.79®0.901

5.某电子元件在每一次试验中发生故障的概率为0.3,当故障发生不少于3

次时，指示灯发出信号

(1)进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；

(2)进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.

解(1)进行了5次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为

或OH，0.72+^0.34-0.7+0.35«0.163

(2)进行了7次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为

1-0.77-C；0.3-0.76+^0.32-0.75»0.353

6.甲乙为交战双方，甲方一架飞机要飞过乙方的一个高炮阵地，假设该处每门

炮能够击落该飞机的概率均为0.4,若要保证以不低于95%的概率击落该飞机，

那么该阵地至少需要配置多少门这种高炮？

解设A表示击落该飞机(即至少有一门炮击中飞机)，且需要配置〃门这种高

炮

P(A)=1-P(A)=1-0.6”>0.95

lg0.05

n<

lg0.6

因此若要保证以不低于95%的概率击落该飞机，那么该阵地至少需要配置6门

这种高炮.

7.某射手射靶5次，各次射中的概率都是0.6,求下列各事件的概率：

(1)前3次中靶，后2次脱靶；

(2)第一、三、五次中靶，第二、四次脱靶；

(3)五次中恰有三次中靶；

(4)五次中至少1次中靶.

解设4(7=123,4,5)表示第i次中靶

（1）P（A,4444）=P（A）尸（4）P（A3）P（A4）P（&）

=06x0.42»0.0346

（2）P（A4&4&）=p（A）p（不）P（A）P（4）P（A）

=0.63X0.42«0.0346

（3）Cj0.63x0.42®0.3456

（4）p（aU4UA3IM4DAJ=1-P（耳）P（4）P（A）P（4）P（4）

=1-0.45ao.9898

第一章复习题（A）

1.填空题

（1）设Au8,P（A）=0.1,P（B）=0.5,则P（AB）=,

P（AUB）=,P（A\JB）=.

答案；1.（1）0.10.50.9

（2）设A,B是任意两个随机事件，则P［（^U8）（AU6）qU》）（AU历］=

答案0

（3）设A,B相互独立，P（AUB）=0.6,P（A）=0.4,则P（8）=

答案：一

3

2.选择题

（1）设P（A）=0.8,P（B）=0.7,M川3）=0.8,则下列结论正确的是.

A.事件A与事件B相互独立，B.事件A与事件B互逆，

C.D.P（AUB）=P（A）+M8）.

答案：A

（2）设4,8是任意两个随机事件，且BuA,则下列结论正确的

是.

A.尸(AU8)=P(A),B.P(AB)=P(A),

C.P(B|A)=P(8),D.P(B—A)=P(B)—P(A).

答案：A

(3)设A,B为两个互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确的

是.

A.P(qA)>0B.

C.44|劝=0D.P(A8)=P(A)P(8)

答案:C

(4)设A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”,则其对立事件Z为一.

A.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”，B.“甲种产品滞销”，

C.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”.D.“甲、乙都畅销”，

答案：A

3、设事件满足43cH①，试把下列事件表示为互不相容的事件的和:

AUBUC,ABUC,B-AC.

答案：(1)ABCUABCUABCUA8CUABCUABCUABC

(2)(AAB)UC(3)ABCUABCUABC

4.设AB为两事件，且设P(5)=0.3,P(AUB)=0.6,求尸(Ag).

解：P(AUB)=P(A)+P(B)—P(A8)

P(AB)=P(A)-P(AB)=P(AU5)-P(3)=0.6-0.3=0.3

5.在某城市中发行三种报纸C经调查，订阅A报的有45%,订阅B报的

有35%,订阅C报的有30%,同时订阅A及B报的有10%,同时订阅A及C报的

有8乐同时订阅B及C报的有5%,同时订阅报的有3%,试求下列事件的

概率：

(1)只订A报的；(2)只订A及B报的；(3)只订一种报纸

的；

(4)正好订两种报纸的；(5)至少订阅一种报纸的.

解：⑴

P(ABC)=P(AB\JC)=P(A)-P[A(B\JC)]

=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)

=0.45-0.10-0.08+0.03=0.30

(2)P(ABC)=P(AB-C)=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07

(3)P(ABC\JABC\JABC)

=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.30--B(AUC))+P(C-C(AU8))

=0.30+P(B)-P(BA)-P(BC)+P(ABC)+P(C)~P(AC)-P(BC)+P(ABC)

=0.30+0.35-0.10-0.05+0.03+0.30-0.08-0.05+0.03=0.73

(4)P(ABC\JABC\JABQ

=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(AB)-P(ABC)+P(AC)-P(ABQ+P(BC)-P(ABQ

=P(AB)+P(AC)+P(BC)-3P(ABQ

=0.10+0.08+0.05-3x0.03

=0.14

(5)P(AU8UC)=P(A)+P(8)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BQ+P(ABC)

=0.45+0.35+0.30-0.10-0.08-0.05+0.03=0.90

(6)P(ABQ=l-P(AU5UC)=l-0.90=0.10

6.从5个数字1,2,3,4,5中等可能地，有放回地连续抽取3个数字，试

求下列事件的概率：事件A"三个数字完全不同”，事件B“三个数字不含1和

5”，事件C“三个数字中5恰好出现两次”，事件。”三个数字中5至少出现一

次”.

解:(1)尸(A)=哼

(2)P(fi)=4=—

53125

(3)P(C)=C1=0.096

4

(4)P(£>)=1-

7.将〃个球随机地放入N(N2〃)个盒子中去，设盒子的容量不限，试求

(1)每个盒子至多有一只球的概率；

(2)〃个盒子中各有一球的概率.

解：(1)每个盒子至多有一只球共有勺种不同的方法，每一个球都可以放

入N个盒子中的任意一个盒子，共有N"种不同的方法，故所求概率为当

(2)〃个盒子可以有种不同的选法，对于选定的〃个盒子，每个盒子各

N'

有一个球的放法有”!种。故所求概率为—

N'\N-n)\

8.某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,

两项同时都投资的概率为0.19,

(1)已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？

(2)已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

解：记人=｛把资金投入基金｝,B=｛购买股票｝,依题意有

P(A)=0.58,P(B)=0.28,P(AB)=0.19

(1)所求概率为：P(剧4)=出丝=/

(2)所求概率为：P(A怛)=5普=普

r(£))2o

9.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8、0.7,在两批种子中任意选取一

颗，试求：(1)这两颗种子都能发芽的概率.(2)至少有一颗发芽的概率.

解：A=｛甲发芽｝,B=｛乙发芽｝

(1)P(AB)=P(A)P(3)=0.56

(2)P(A\JB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.94

10.某商场各柜台受到消费者投诉的事件数为0,1,2三种情形，其概率分别

为0.6,0.3,0.1有关部门每月抽查商场的两个柜台，规定：如果两个柜台受到投

诉的事件数之和超过1，则给商场通报批评；若一年中有三个月受到通报批评，

则该商场受挂牌处分一年，求该商场受处分的概率.

解：记人={商场某月受到通报批评}

名={第一个柜台受d=0,1,2)次投诉的事件}

G={第二个柜台受迨=0,1,2)次投诉的事件}

则P(A)=P(B2coUB<GU瓦以)

=P(B2)P(CO)+P(线)P(C2)+P(瓦)P(Q)

=O.lx0.6+0.6x0.1+0.4x0.4=0.28

以X记一年中受到通报批评的次数，则

P{X23}=1—P{X=0}—P{X=1}-P{X=2}

=1-3(0.28)°(0.72产一a、0.28(0.72)"-C；(0.28)2(0.72)1°=0.696

11.第一个盒子中有5只红球，4只白球，第二个盒子中有4只红球，5只白

球，先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任

取一球，求取到白球的概率.

解;设瓦为“从第一个盒子中取到甲=0,1,2)只白球”

A为“从第二个盒子中取到白球”

由全概率公式

P（A）=£P（BM（AB）

/1=0

5C；67C153

11Cl11C；11Cl99

12.甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7,

如果只有1人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则

飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落，求飞机被

击浇的概率.

解：设4,A?,4分别表示甲、乙、丙击中飞机，用表示有i（i=1,2,3）个人击

中飞机

「但）=P（A4A）+P（44%）+p（可44）

=P（A）p（a*（4）+P（X）P（&）P（4）+p（x）尸（4）P（A）

=0.4x0.5x0.3+0.6x0.5x0.3+0.6x0.5x0.7=0.36

P（B2）=p（444）+P（444）+尸（A4）

=P（A）p（4）P（4）+尸（4）P（4）P（A）+P（A）P（耳）P（A）

=0.4x0.5x0.3+0.6x0.5x0.3+0.4x0.5x0.7=0.41

P（B3）=P（A44）

=P（A）P（4）P（A）

=0.4x0.5x0.7=0.14

由全概率公式

P（B）=P（BJP（眠）+P（B2）P（E\B2）+P®）P卿J

=0.36x0.2+0.41x0.6+0.14xl=0.458

13.有两批产品：第一批20件，有5件特级品；第二批12件，有两件特级

品，今按下列两种方法抽样：

（1）将两种产品混在一起，从中任取2件；

（2）从第一批中任取2件混入第二批中，再从混合后的第2批中任取2件;

试分别求出两种抽样情况下所抽两件都是特级品的概率.

解：设A为“取到的两件是第一批的产品”

B为“取到的两件是第二的产品”

AB为“取到的两件，一个是第一批的，一个是第二批的“

C为“所抽两件都是特级品”

（1）解法一P（C）=2=2

Q496

解法二：P(C)=P(AC)+P(BC)+P(ABC)

―-I-----±-4——--=------

此U叱496

(2)设4为“从第一批中任取2件有9=0,1,2)件特级品”

由全概率公式

p©=p（4）p（q4）+p（A）p（c|A）+P（A）P（C|A3）

14.某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质

品率分别为0.8,0.7与0.9已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器

一定合格，如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2,如果

有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6,如果三个部件都不是优质品,

则仪器的不合格率为0.9.

(1)求仪器的不合格率；

(2)如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大.

解：设B为“仪器不合格”

A,为“仪器上有z(z=0,1,2,3)个部件不是优质品”

P(耳&)=0,尸(耳4)=0.2,尸(四4)=0.6,P(44)=0.9

P(A))=o.8x0.7X0.9=0.504

P(A,)=0.2x0.7x0.9+().8x().3x0.9+0.8x0.7x0.1=0.398

P(A3)=0.2X0.3x0.1=0.006

P(A2)=1-P(4)-尸(4)一P(4)=0.092

(1)由全概率公式，有

P(B)=£p(a)P(HA,)

=0.504x（）+0.398x0.2+0.092x0.6+0.006x0.9=0.1402

(2)由贝叶斯公式，有

P(4忸)=0

P(4)P(B|4)=796

P(B)—1402

31P(B)1402

由此可知，一台不合格仪器中有一个部件不是优质品的概率最大.

第一章复习题(B)

1.填空题

(1)设事件A、B、C相互独立，且ABC=①，P(A)=P(B)=P(C)<0.5,

9

P(AUBUC)=—,则P(A)=.

产(AU8UC)=尸(A)+P(B)+P(C)

-P(AB)-P(BQ-P(AC)+P(ABQ

P(A)—3[P(A)r=

解方程得

尸⑷」或a

由题意P(A)<0.5

故P(A)=-

4

(2)设事件A,B相互独立，且A和8都不发生的概率为:，A发生8不发

生的概率与8发生A不发生的概率相等，则尸(A尸.

解：根据题意设有

P(7UB)=1-P(AUB)=-

9

P(AS)=P(两

注意到A=AB+AB,B=BA+BA

P(A)=P(A§)+P(AB),P(B)=P(BA)+P(BA)

由P(丽)=P(BA)有P(A)-P(AB)=P(B)-P(BA)

于是P(A)=P(8),由事件的独立性及P(AUB)=1—P(AUB)=,得

l-P(A)—P(8)+P(A)P(B)

=P2(A)-2P(A)+1

=(P(A)-l)2=-

9

解方程得

94

P(A)=—或—(舍去)

33

故P(A)=2

3

(3)设事件A、B、C,且万)=09P(^U5U0=O.97,则

P(AB-C)=_.

解：

P(AB-C)=P(AB)-P(ABC)=[1-P(AB)]-[1-P(ABC)]

=[1-P(AUB)]-[1-P(AU5UC)]

=(1—0.9)—(1—0.970)=0.07

2.选择题

(1)设当事件A与B同时发生时C也发生，则.

A.P(C)=P(ADB),B.P(C)<P(A)+P(8)-1,

C.P(C)=P(AUB),D.P(C)2P(A)+P(6)-1.

解：已知45uC

P(C)>P(AB)=1-P(AB)

=1-P«U历

^l-P(A)-P(B)+P(AB)

=P(A)+P(B)-1+P(AB)

>P(A)+P(B)-1

故选(D)

解法二：已知ABuC,P(AB)<P(C)

1NP(4U8)=P(A)+P(B)-P(AB)

NP(4)+P(8)—P(C)

于是，P(C)NP(A)+P(8)—1,选(D)

(2)设O<P(B)<1,P((4UA2)|B)=P(A]|B)+P(A2IB),则下列结论正

确的是—.

A.P((AU4)I0=P(A国+P(41历，

B.P(43U4B)=P(4B)+P(43),

c.P(4U4)=P(4|B)+P(4iB),

D.P(B)=P(A)P(B|4)+P(4)P(B|4).

解：依题意设O<P(B)<1

P(AB)

P(A|6)=

P(B)

P((AuA2)|B)=P(A|B)+P(4IB)

日nP(4BUA,B)P(A,B)

P(B)P(B)P(B)

从而P(AtB\jA2B)=P(46)+P(45)

故选B

(3)设事件4、B、C两两相互独立，则A、B、C相互独立的充要条件

A.A与BC独立.B.A3与AUC独立.

C.AB与AC独立.D.AUB与AUC独立.

解：应该选择A,证明如下：

必要性：设A、8、C相互独立的事件

则有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(B。

故事件A与BC独立，从而必要性成立。

充分性：设A、8、C两两相互独立，且A与独立.

于是有

P(AB)=P(4)P(B)

P(BC)=P(B)P(C)

P(AC)=P(A)P(C)

P(ABC)=P(A)P(BQ=P(A)P(B)P(C)

由定义知A、B、C相互独立，从而充分性成立。

3.设A、3独立，ABuD,ABczD,证明：P(AD)>P(A)P(£>).

证明：因为ABuO,ABczD,DcAUB

AD^AB+DB

P(AD)=P(AB)+P(。初而P(A8)=P(A)P(8)NP(A)P(OB)

P(DB)>P(A)P(£)Z)

=P(AD)=P(AB)+P(DB)

=P(A)P(6)+P(DB)

>P(A)P(DB)+P(A)P(DB)

=P(A)[P(DB)+P(DB)]

=P(A)P(。)

于是P(AD)>P(A)P(D)

4.从5双不同的鞋子中任取4只，求取得的4只鞋子中至少有2只配成一双

的概率.

解法一设A表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”

X表示“4只鞋子均不成双”

样本点的总数为片"

Z的样本点为10x8x6x4(因为第一只鞋子是从5双中选一只有10种选法,

第二只鞋子是从4双中选一只有8种选法，第三只鞋子是从3双中选一只有

6种选法，第四只鞋子是从2双中选一只有4种选法)

解法二样本点的总数为G3

入的样本点为C；X24(因为从5双中任选4双，再从每双中任意取一只)

_c4x2413

P(A)=1-P(A)=1-5.=—

品21

5.4张卡片标着1到4,面朝下放在桌子上，一个自称有透视能力的人将用

他超感觉的能力说出卡上的号码，如果他是冒充者而只是随机地猜一下，他至少

猜中一个的概率P是多少？

解：A表示“至少猜中一个‘

印表示“4个全部猜错”

P(A)=1-P(A)=l-3x3xl=-

4:8

6.一袋中装有N-1只黑球1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入

一只黑球，这样继续下去，问第女次摸球时，摸到黑球的概率是多少？

解：设A表示“第女次摸球时，摸到黑球”

可表示第％次摸球时，摸到白球”

因为袋中只有一只白球，而每次摸到白球时换入一只黑球放入，故为了第k

次摸到白球，则前左-1次一定摸到的是黑球

故P(A)=

于是所求概率为P（A）=1-P（a=1-（

7.设8、C分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求方程

X2+BX+C=0有实根的概率p和有重根的概率q.

解：一枚骰子接连掷两次，样本点总数为36,方程组有实数根的充分必要条

R2

件为8224c即。<幺

4

注意到

B123456

02012466

使CK幺的样本点个数

4

»2010100

使。=幺的样本点个数

4

由此可见，方程/+以+。=0有实根的概率°=一

36

方程/+8x+c=o有重根的概率为夕='

8.随机地向半圆0<y<J2ax-犬（。为正常数）内扔一个点，点落在半圆内

任何区域内的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于

工的概率.

4

解：以D表示半圆0<y<12ax—d,由题设，点（用力应该落在如图的阴影部

分G,G的面积为（在极坐标系中计算）

S（G）=fW必=网，产小

=2cJ『cos?。/。=a2£4（1+cos2^）^=I+2P2

（或G的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上l个圆的面积）

4

S(G)11

故P(A)==—I--

5(D)271

9.设0<P(A)<LO<P(B)<1,证明:A、5独立oP(A|B)+P(M历=1.

证明：P(A|B)+P(卬豆)=1oP(A|B)=1-P(A|~B)=口小历

0P(AB)=P(AB)0_p(B)p(AB)=P(B)P(AB)

P(B)1-P(B)

OP(AB)=P(B)[P(AB)+P(AB)]=P(B)P(A)OA、8独立

10.设第一只盒子中装有3只兰球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有

2只兰球，3只绿球，4只白球，独立地分别在两只盒子中各取一只球.

⑴求至少有一只兰球的概率；

⑵球有一只兰球一只白球的概率；

(3)已知至少有一只兰球，求有一只半求一只白球的概率.

解：设片=｛从第i只盒子中取得一只白球｝i=l,2

B,=｛从第，・只盒子中取得一只蓝球｝i=1,2

由题设在不同盒子则取球是相互独立的

(1)所求的概率为

尸(4U斗)=尸(4)+尸(为)-

P(BiB2)

=P(B”P(BJ-P(BJP(B2)

32325

=--