5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质

高中数学必修第一册

人教A版5.4.1正弦函数、余弦函数的性质设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+

T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周

期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数

就叫做f(x)的最小正周期.注意:(1)如果T是函数f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.(2)并非所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=C(C为常数,x∈R),所有的非零实

数T都是它的周期,不存在最小正周期.(3)今后本书中涉及的周期,如果不加特殊说明,一般都是指函数的最小正周期.1|周期函数2

|正弦函数、余弦函数的性质函数y=sinxy=cosx图象

定义域R值域[-1,1]周期2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π奇偶性奇函数偶函数函数y=sinxy=cosx图象的对称轴直线x=kπ+

,k∈Z直线x=kπ,k∈Z图象的对称中心(kπ,0),k∈Z

,k∈Z单调性在

,k∈Z上单调递增,在

,k∈Z上单调递减在[2kπ-π,2kπ],k∈Z上单调递增,在[2kπ,(2k+1)π],k∈Z上单调递

减最值x=

+2kπ,k∈Z时,ymax=1;x=-

+2kπ,k∈Z时,ymin=-1x=2kπ,k∈Z时,ymax=1;x=π+2kπ,k∈Z时,ymin=-11.函数f(x)的周期可能只有一个吗?不可能.并不是每一个函数都是周期函数,但若函数具有周期性,则其周期一定不

唯一.2.已知sin

=sin

,那么

是函数y=sinx的一个周期吗?不是.因为对任意实数x,sin

与sinx并不一定相等.3.由sin

=sin

,可得函数y=sin

的一个周期为4π,这种说法对吗?不对.因为sin

=sin

=sin

,所以函数y=sin

的一个周期为12π.知识辨析能.由正弦曲线和余弦曲线知,y=sinx和y=cosx在区间(0,2π)上均单调递减时,m的

最小值为

,n的最大值为π.5.x为何值时,函数y=sinx

取得最小值?由正弦曲线知,当x=

时,y=sinx取得最小值

.4.y=sinx和y=cosx在区间(m,n)(其中0<m<n<2π)上都是减函数,你能确定m的最小

值和n的最大值吗?

1三角函数的周期性

求三角函数周期的方法(1)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x+T)=f(x)

的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数.(2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0)

的函数,可利用T=

来求周期.特别注意:y=|Asin(ωx+φ)|(A≠0,ω≠0)的最小正周期T=

.(3)图象法:可画出函数的图象,借助图象判断函数的周期.求含绝对值的函数的周

期时一般采用此法.典例求下列函数的周期.(1)y=3cos

;(2)y=|cosx|.解析

(1)函数y=3cos

的周期T=

=π.(2)作出函数y=|cosx|的图象,如图.

由y=|cosx|的图象,可知y=|cosx|的周期为π.

2与正、余弦函数有关的函数的奇偶性、对称性

判断与正、余弦函数有关的函数的奇偶性时,先判断其定义域是否关于原点

对称,有时需要运用诱导公式将函数式化简,然后验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x).函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的对称轴过其最高点或

最低点,对称中心为图象与x轴的交点,可按照求正、余弦曲线的对称轴和对称中

心的方法,把ωx+φ作为一个整体进行求解.典例

(1)判断函数f(x)=sin

的奇偶性;(2)求函数f(x)=2sin

的图象的对称中心;(3)若f(x)=sin(2x+φ)的图象的对称轴为直线x=

,且φ∈

,求φ的值.解析

(1)易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,因为f(x)=sin

=-cos

,所以f(-x)=-cos

=-cos

=f(x),所以函数f(x)=sin

是偶函数.(2)令

+

=kπ(k∈Z),解得x=-

+2kπ(k∈Z),故函数f(x)的图象的对称中心为

(k∈Z).(3)由题意得f

=sin

=±1,∴

+φ=kπ+

(k∈Z),∴φ=kπ-

(k∈Z).∵φ∈

,∴φ=-

.

3与正、余弦函数有关的函数的单调性

研究与正、余弦函数有关的函数的单调性的策略及注意点(1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.(2)求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,应采用“换元法”

整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asinz或y=Acosz的增(减)

区间得到原函数的增(减)区间.注意:当x的系数ω<0时,一般用诱导公式将x的系数转化为正数后求解;若A<0,

则单调性与A>0时相反.典例求函数y=1+sin

,x∈[-4π,4π]的单调递减区间.思路点拨先用诱导公式将x的系数化为正值,此时对应A<0,所求的单调递减区

间即为y=sin

的单调递增区间,通过整体代换求解.解析

y=1+sin

=1-sin

.令2kπ-

≤

x-

≤2kπ+

(k∈Z),解得4kπ-

≤x≤4kπ+

(k∈Z).又∵x∈[-4π,4π],∴函数y=1+sin

的单调递减区间为

,

,

.

利用单调性比较三角函数值的大小的步骤(1)依据诱导公式把三角函数化为同名函数;(2)依据诱导公式把角化到同一个单调递增(减)区间内,对于正弦函数来说,一般将

两个角转化到

或

内,对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[-π,0]或[0,π]内;(3)依据三角函数的单调性比较大小.

4

利用单调性比较三角函数值的大小典例利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.(1)sin196°与cos156°;(2)cos

与cos

.解析

(1)sin196°=sin(180°+16°)=-sin16°,cos156°=cos(90°+66°)=-sin66°,∵0°<16°<66°<90°,且函数y=sinx在

上单调递增,∴sin16°<sin66°,从而-sin16°>-sin66°,即sin196°>cos156°.(2)cos

=cos

=cos

=-cos

,cos

=-cos

,∵函数y=cosx在

上单调递减,且0<

<

<

,∴cos

>cos

,∴-cos

<-cos

,∴cos

<cos

.

5与正、余弦函数有关的函数的值域或最值

常见的求与正、余弦函数有关的函数的值域(最值)的类型及解法(1)形如y=asinx(或y=acosx)的函数,可利用正弦函数、余弦函数的有界性求解,要

注意对a的正负的讨论.(2)形如y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B)的函数,可先由定义域求得ωx+φ的

范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值).(3)形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)的函数,可利用换元思想,设t=sinx,转化为二次函

数y=at2+bt+c求值域(最值).注意t的范围需要根据定义域来确定.(4)形如y=

(ac≠0)的函数的值域(最值),可以用分离常量法求解,也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.典例求下列函数的值域:(1)f(x)=

cos

,x∈

;(2)y=cos2x+2sinx-2,x∈R.思路点拨

(1)将2x+

看成一个整体,利用余弦函数的单调性求解.(2)先把原函数转化为只含sinx的式子,再把sinx看成一个整体,将问题转化为求二次函数的值

域.解析

(1)∵-

≤x≤0,∴-

≤2x+

≤

,∴-

≤cos

≤1,∴-1≤

cos

≤

,即f(x)的值域是[-1,

].(2)y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2.令sinx=t,则y=-(t-1)2,t∈[-1,1],∴y∈[-4,0],∴函数y=cos2x+2sinx-2,x∈R的值域为[-4,0].必备知识清单破知识点正切函数的图象与性质函数y=tanx图象

定义域

周期性最小正周期是π奇偶性奇函数单调性在每一个区间

(k∈Z)上都单调递增值域R图象的对称性正切曲线是中心对称图形,对称中心的坐标为

(k∈Z),没有对称轴知识辨析1.正切函数在其定义域内是增函数,这种说法是否正确?不正确.正切函数在整个定义域内不具备单调性.2.正切函数的图象与x轴有无数个交点,交点的坐标为(kπ,0)(k∈Z),所以正切函数

的图象的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),这种说法正确吗?不正确.正切函数的图象不仅关于点(kπ,0)(k∈Z)对称,还关于点

(k∈Z)对称,因此正切函数y=tanx的图象的对称中心为

(k∈Z).3.观察正切曲线,满足tanx<0的x的取值集合是什么?tanx>0呢?

x

kπ<x<kπ+

,k∈Z

.关键能力定点破定点1与正切函数有关的函数的定义域、对称性、奇偶性、周期性

1.定义域、对称性研究函数的性质时,首先要确定函数的定义域,求与正切函数有关的函数的

定义域时,除了满足函数定义域的一般要求外,还要注意y=tanx有意义时,x≠

+kπ,k∈Z.对于正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域、对称性问题,解题时一

般将“ωx+φ”视为一个整体.令ωx+φ≠kπ+

,k∈Z,求解x即可得其定义域;令ωx+φ=

,k∈Z,求解x即可得其图象的对称中心.2.奇偶性

y=tanx是奇函数,其图象关于原点对称.若y=tan(ωx+φ)是奇函数,则φ=

(k∈Z).3.周期性函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的最小正周期为T=

,常常利用此公式来求与正切函数有关的函数的周期.解与正切函数有关的三角不等式时,先确定在一个周

期

内使不等式成立的ωx+φ的范围,再根据正切函数的周期性,得出ωx+φ满足的不等式并求解.典例设函数f(x)=tan

.(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期以及图象的对称中心;(2)求不等式-1≤f(x)≤

的解集.解析

(1)由

-

≠

+kπ(k∈Z),得x≠

+2kπ(k∈Z).所以f(x)的定义域是

.因为ω=

,所以最小正周期T=

=

=2π.令

-

=

(k∈Z),得x=kπ+

(k∈Z),故f(x)图象的对称中心是

,k∈Z.(2)由-1≤tan

≤

,得-

+kπ≤

-

≤

+kπ(k∈Z),解得

+2kπ≤x≤

+2kπ(k∈Z).所以不等式-1≤f(x)≤

的解集是

.定点2正切函数的单调性及应用

1.正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,φ是常数)的单调区间的求法(1)若ω>0,由于y=tanx在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思

想,令kπ-

<ωx+φ<kπ+

,k∈Z,解得x的取值范围,即得原函数的增区间.(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-

φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的