数字电子技术基础课件

數字電子技術基礎

第一章數碼和碼制內容提要

本章首先介紹有關數制和碼制的一些基本概念和術語，然後給出數字電路中常用的數制和編碼。此外，還將具體講述不同數制之間的轉化方法和二進位數算術運算的原理和方法。本章內容1.1概述1.2幾種常用的數制1.3不同數制間的轉換1.4二進位算數運算1.5幾種常用的編碼數字技術是一門應用學科，它的發展可分為5個階段①產生：20世紀30年代在通訊技術（電報、電話）首先引入二進位的資訊存儲技術。而在1847年由英國科學家喬治.布爾(GeorgeBoole)創立布爾代數，並在電子電路中的得到應用，形成開關代數，並有一套完整的數字邏輯電路的分析和設計方法1.數字技術的發展過程1.1概述②初級階段：20世紀40年代電子電腦中的應用，此時以電子管（真空管）作為基本器件。另外在電話交換和數字通訊方面也有應用電子管（真空管）③第二階段：20世紀60年代電晶體的出現，使得數字技術有一個飛躍發展，除了電腦、通訊領域應用外，在其他如測量領域得到應用電晶體圖片⑤第四階段：20世紀70年代中期到80年代中期，微電子技術的發展，使得數字技術得到迅猛的發展，產生了大規模和超大規模的集成數字晶片，應用在各行各業和我們的日常生活④第三階段：20世紀70年代中期積體電路的出現，使得數字技術有了更廣泛的應用，在各行各業醫療、雷達、衛星等領域都得到應用⑥20世紀80年代中期以後，產生一些專用和通用的集成晶片，以及一些可編程的數字晶片，並且製作技術日益成熟，使得數字電路的設計模組化和可編程的特點，提高了設備的性能、適用性，並降低成本，這是數字電路今後發展的趨勢。2.脈衝信號與數字信號信號可分為模擬信號和數字信號。

模擬信號是表示模擬量的信號，模擬量是在時間和數值上都是連續的的物理量。模擬信號包括正弦波信號和脈衝信號，脈衝信號如方波、矩形波、尖脈衝鋸齒波、梯形波等。圖1-1所示的為各種模擬信號數字信號是表示數字量的信號，數字量實在時間和數值上都是離散的。實現數字信號的產生、傳輸和處理的電路稱為數字電路。數字信號包括脈衝型（歸0型）和電平型（不歸0型）。如圖0-2-2所示

數字信號是用數碼表示的，其數碼中只有“1”和“0”兩個數字，而“1”和“0”沒有數量的意義，表示事物的兩個對立面。

數碼可以表示數字信號的大小和狀態，如1001可表示數量“10”，也可以表示某個事物的代號，如運動員的編號，這時將這些數碼稱為代碼。

數碼的編寫形式是多樣的，其遵循的原則稱為碼制。碼制的編寫不受限制，但有一些通用的碼制，如十進位、二進位、八進制和十六進制等等。下麵就介紹這幾種常用的碼制。1.2幾種常用的數制數制：就是數的表示方法，把多位數碼中每一位的構成方法以及按從低位到高位的進位規則進行計數稱為進位計數制，簡稱數制

最常用的是十進位，除此之外在數字電路和電腦中常用的是二進位、八進制和十六進制一、十進位

進位規則是“逢十進一”。任意一個n位整數、m位小數的十進位可表示為其中：ki－稱為數制的係數，表示第i位的係數，十進位ki的取值為0~9十個數，i取值從（n－1）～0的所有正整數到－1～－m的所有負整數10i－表示第i位的權值，10為基數，即採用數碼的個數n、m－為正整數，n為整數部分的位數，m為小數部分的位數例如：(249.56)10＝2×102＋4×101＋9×100

+5×10–1＋2×10－2其中n＝3，m＝2若用N表示任意進制（稱為N進制）的基數，則展成十進位數的通式為如N＝10為十進位，N＝2為二進位，N＝8為八進制，N＝16為十六進制。其中N為基數，ki為第i位的係數，Ni表示第i位的權值二、二進位：其中ki－取值只有兩個數碼：0和12i－為二進位的權，基數為2n、m－為正整數如（11011.101)2=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20

+1×2－1+0×2-2+1×2－3

=（27.625)10

進位規則是“逢二進一”，任意一個n位整數、m位小數的二進位可表示為

一個數碼的進製錶示，可用下標，如（N）2表示二進位；（N）10表示十進位；（N）8表示八進制，（N）16表示十六進制

有時也用字母做下標，如（N）B表示二進位，B－Binary；（N）D表示十進位，D－Decimal；（N）O表示八進制，O－Octal；（N）H表示十六進制，H－Hexadecimal；三、八進制

進位規則是“逢八進一”，其基數為8。任意一個n位整數、m位小數的八進制可表示為ki－取值有8個數碼：0～78i－為八進制的權，基數為8n、m－為正整數如（13.74)8=1×81+3×80+7×8－1+4×8-2=（11.9375)10其中四、十六進制

進位規則是“逢十六進一”，其基數為16。任意一個n位整數、m位小數的十六進制可表示為ki－取值有16個數碼：0～9、A（10）、B

（11）、C（12）、D（13）、E（14）、

F（15）16i－為十六進制的權，基數為16n、m－為正整數如（F9.1A)16=15×161+9×160+1×16－1+10×16-2=（249.1015625)10其中目前在電腦上常用的是8位、16位和32位二進位數表示和計算，由於8位、16位和32位二進位數都可以用2位、4位和8位十六進制數表示，故在編程時用十六進制書寫非常方便DBOHDBOH000000008100010810001011910011192001002210101012A3001103311101113B4010004412110014C5010105513110115D6011006614111016E7011107715111117F表1.2.1表1.2.1為0～15個數碼的不同進製錶示。1.3不同數制間的轉換一、二進位數、八進制數和十六進制數轉換成十進位數數制轉換：不同進制的數碼之間的轉換叫做數制轉換例如：

即將二進位數、八進制數和十六進制數轉換成十進位數，方法是將二進位數、八進制數和十六進制數按下列公式進行展開即可a.十進位的整數轉換：二、十進位數轉換成二進位數：

將十進位的整數部分用基數2去除，保留餘數，再用商除2，依次下去，直到商為0為止，其餘數即為對應的二進位數的整數部分

即將十進位數轉換成二進位數，原則是“整數除2，小數乘2”b.十進位的小數轉換

將小數用基數2去乘，保留積的整數，再用積的小數繼續乘2，依次下去，直到乘積是0為或達到要求的精度，其積的整數部分即為對應的二進位數的小數部分例1.3.1將（173.39)D轉化成二進位數,要求精度為1%。a.整數部分解：其過程如下即(173)D=(10101101)Bb.小數部分由於精度要求為1％，故應該令取對數，可得取m＝7滿足精度要求，過程如下即(0.39)D=(0.0110001)B故（173.39)D

=(10101101.0110001)B三、二進位轉換成八進制和十六進制方法：由於3位二進位數可以有8個狀態，000~111，正好是8進制，而4位二進位數可以有16個狀態，0000～1111，正好是16進制，故可以把二進位數進行分組。八進制三位分為一組，不夠補零，十六進制四位分為一組。依此類推，對於十進位轉換成其他進制，只要把基數2換成其他進制的基數即可。注：若將八進制或十六進制轉換成二進位，即按三位或四位轉成二進位數展開即可。解：（1011110.1011001)B＝（001011110.101100100)2

＝(136.544)O（1011110.1011001)B＝(01011110.10110010)2

＝(5E.B2)H例1.3.2將（1011110.1011001)2轉換成八進制和十六進制。解：例1.3.3將（703.65)O和（9F12.04A)H轉換成二進位數（703.65)O＝（111000011.110101)B（9F12.04A)H=(1001111100010010.00000100101)B例1.3.4將(87)D轉換成八進制數和十六進制數解：先將87轉化成二進位，過程如圖,則(87)D＝（1010111)B=（001010111)B

＝(01010111)B=(127)O

=(57)H

提醒：若要將十進位轉換成八進制或16進制，可先轉換成二進位，再分組，轉換成八進制或十六進制。1.4二進位的算術運算1.4.1.二進位算術運算的特點

當兩個二進位數碼表示兩個數量的大小，並且這兩個數進行數值運算，這種運算稱為算術運算。其規則是“逢二進一”、“借一當二”。算術運算包括“加減乘除”，但減、乘、除最終都可以化為帶符號的加法運算。如兩個數1001和0101的算術運算如下1.4.2反碼、補數和補數運算

在用二進位數碼表示一個數值時，其正負是怎麼區別的呢？二進位數的正負數值的表述是在二進位數碼前加一位符號位，用“0”表示正數，用“1”表示負數，這種帶符號位的二進位數碼稱為原碼。一、原碼：例如：＋17的原碼為010001，－17的原碼為110001二、反碼反碼是為了在求補數時不做減法運算。二進位的反碼求法是：正數的反碼與原碼相同，負數的原碼除了符號位外的數值部分按位取反，即“1”改為“0”，“0”改為“0”，例如＋7和－7的原碼和補數為：＋7的原碼為0111，反碼為0111－7的原碼為1111，反碼為1000注：0的反碼有兩種表示，＋0的反碼為0000，－0的反碼為1111三、補數：1.模（模數）的概念：

把一個事物的迴圈週期的長度，叫做這個事件的模或模數。

當做二進位減法時，可利用補數將減法運算轉換成加法運算。在將補數之前先介紹模（或模數）的概念如一年365天，其模數為365；鐘錶是以12為一迴圈計數的，故模數為12。十進位計數就是10個數碼0～9，的迴圈，故模為10。以表為例來介紹補數運算的原理：對於圖1.4.1所示的鐘錶

當在5點時發現表停在10點，若想撥回有兩種方法：a.逆時針撥5個格，即10－5＝5，這是做減法。b.順時針撥七個格，即10＋7＝17，由於模是12，故1相當於進位12，1溢出，故為7格，也是17－12＝5，這是做加法。

由此可見10＋7和10－5的效果是一樣的，而5＋7＝12，將故7稱為－5的補數，即補數，也可以說減法可以由補數的加法來代替2.補數的表示正數的補數和原碼相同，負數的補數是符號位為“1”，數值位按位取反加“1”，即“反碼加1”例如：[+7][-7]原碼01111111反碼01111000補數01111001注意：1.採用補數後，可以方便地將減法運算轉換成加法運算，而乘法和除法通過移位和相加也可實現，這樣可以使運算電路結構得到簡化；2.正數的補數既是它所表示的數的真值，負數的補數部分不是它所示的數的真值。3.與原碼和反碼不同，“0”的補數只有一個，即（00000000）B4.已知原碼，求補數和反碼：正數的原碼和補數、反碼相同；負數的反碼是符號位不變，數值位取反，而補數是符號位不變，數值位取反加“1”。如：原碼為10110100，其反碼為11001011，補數為1100100。5.已知補數，求原碼：正數的補數和原碼相同；負數的補數應該是數值位減“1”再取反，但對於二進位數來說，先減“1”取反和先取反再加“1”的結果是一樣的。故由負數的補數求原碼就是數值位取反加“1”。如已知某數的補數為（11101110）B，其原碼為（10010010）B6.如果二進位的位數為n，則可表示的有符號位數的範圍為（－2n～2n－1－1），如n＝8，則可表示(－128～127)，故在做加法時，注意兩個數的絕對值不要超出它所表示數的範圍。例1.4.1用二進位補數計算：75＋28、75－28、－75＋28、－75－28

（＋75）D＝（01001011）B

（＋28）D＝（00011100）B

（－75）D＝（11001011）B

（－28）D＝（10011100）B

原碼7528＋1030100101100011100＋01100111（－75）D＝（10110101）B;

（－28）D＝（11100100）B;解：先求兩個數的二進位原碼和補數（用8位代碼）補數7528－470100101111100100＋100101111－7528－－1031011010111100100＋110011001溢出－7528＋－471011010100011100＋11010001溢出補數補數表4－1為4位帶符號位二進位代碼的原碼、反碼和補數對照表十進位數原碼反碼補數十進位數原碼反碼補數＋7011101110111－1100111101111＋6011001100110－2101011011110＋5010101010101－3101111001101＋4010001000100－4110010111100＋3001100110011－5110110101011＋2001000100010－6111010011010＋1000100010001－71111100010010000000000000－81000111110001.5二進位編碼1.5.1三個術語數碼：代表一個確切的數字，如二進位數，八進制數等。代碼：特定的二進位數碼組，是不同信號的代號，不一定有數的意義編碼：n位二進位數可以組合成2n個不同的資訊，給每個資訊規定一個具體碼組，這種過程叫編碼。數字系統中常用的編碼有兩類，一類是二進位編碼，另一類是二-十進位編碼。另外無論二進位編碼還是二－十進位編碼，都可分成有權碼（每位數碼代表的權值固定）和無權碼1.5.2十進位代碼

用4位二進位代碼表示十進位的0～9個數碼，即二－十進位的編碼。4位二進位代碼可以有0000～1111十六個狀態，則表示0～9十個狀態可以有多種編碼形式，其中常用的有8421碼、餘3碼、2421碼、5211碼、餘3迴圈碼等，其中8421碼、2421碼、5211碼為有權碼，即每一位的1都代表固定的值。表1.5.1為幾種編碼形式表1.5.1返回A返回B說明：1.8421碼:又稱BCD碼，是最常用的十進位編碼。其每位的權為8、4、2、1，按公式展開，即可得對應的十進位數，如（0101）2＝1×24＋1×20＝52.餘3碼不是有權碼，由於它按二進位展開後十進位數比所表示的對應的十進位數大3。如0101表示的是2，其展開十進位數為5，故稱為餘3碼。採用餘3碼的好處是：利用餘3碼做加法時，如果所得之和為10，恰好對應二進位16，可以自動產生進位信號。如0110（3）＋1010（7）＝1111（10）；另外0和9、1和8、2和7…是互為反碼，這對於求補很方便。鏈接A3.2421碼是有權碼，其每位的權為2、4、2、1，如(1100)2=1×2＋1×4＝6，與餘3碼相同0和9、1和8、2和7…是互為反碼。另外當任何兩個這樣的編碼值相加等於9時，結果的4個二進位碼一定都是1111。4.5211碼也是有權碼，其每位的權為5、2、1、1，如(0111)2=1×2＋1×1＋1×1＝4，主要用在分頻器上5.餘3迴圈碼是無權碼，它的特點是相鄰的兩個代碼之間只有一位狀態不同。這在解碼時不會出錯（競爭－冒險）鏈接B1.5.3二進位編碼：表1.1兩種4位二進位編碼

十進位數自然二

進制碼迴圈二

進制碼十進位數自然二

進制碼迴圈二

進制碼000000000810001100100010001910011101200100011101010111130011001011101111104010001101211001010501010111131101101160110010114111010017011101001511111000它包括自然碼和迴圈碼，如表1.5.2所示返回本章的內容2.1概述2.2邏輯代數中的三種基本運算2.3邏輯代數的基本公式和常用公式2.4邏輯代數的基本定理2.5邏輯函數及其表示方法2.6邏輯函數的化簡方法2.7具有無關項的邏輯函數及其化簡2.1概述

在數字電路中，1位二進位數碼“0”和“1”不僅可以表示數量的大小，也可以表示事物的兩種不同的邏輯狀態，如電平的高低、開關的閉合和斷開、電機的起動和停止、電燈的亮和滅等。這種只有兩種對立邏輯狀態的邏輯關係，稱為二值邏輯。

當二進位數碼“0”和“1”表示二值邏輯，並按某種因果關係進行運算時，稱為邏輯運算，最基本的三種邏輯運算為“與”、“或”、“非”，它與算術運算的本質區別是“0”和“1”沒有數量的意義。故在邏輯運算中1+1=1(或運算）2.1.1二值邏輯和邏輯運算

數字電路是一種開關電路，輸入、輸出量是高、低電平，可以用二值變數（取值只能為0，l）來表示。輸入量和輸出量之間的關係是一種邏輯上的因果關係。仿效普通函數的概念，數字電路可以用邏輯函數的的數學工具來描述。2.1.2數字電路的特點及描述工具

邏輯代數是布爾代數在數字電路中二值邏輯的應用，它首先是由英國數學家喬治.布爾（GeorgeBoole）提出的，用在邏輯運算上。後來用在數字電路中，就被稱為開關代數或邏輯代數，它是邏輯函數的基礎。注意：1.邏輯代數和普通數學代數的運算相似，如有交換律、結合律、分配律，而且邏輯代數中也用字母表示變數，叫邏輯變數。2.邏輯代數和普通數學代數有本質區別，普通數學代數中的變數取值可以是正數、負數、有理數和無理數，是進行十進位（0～9）數值運算。而邏輯代數中變數的取值只有兩個：“0”和“1”。並且“0”和“1”沒有數值意義，它只是表示事物的兩種邏輯狀態。2.2邏輯代數中的三種基本運算

在二值邏輯函數中，最基本的邏輯運算有與（AND）、或（OR）、非（NOT）三種邏輯運算。2.2.1與運算

與運算也叫邏輯乘或邏輯與，即當所有的條件都滿足時，事件才會發生，即“缺一不可。

如圖2.2.1所示電路，兩個串聯的開關控制一盞燈就是與邏輯事例，只有開關A、B同時閉合時燈才會亮。

設開關閉合用“1”表示，斷開用“0”表示；燈亮用“1”表示，燈滅用“0”表示（邏輯賦值），則可得到表2.2.1所示的輸入輸出的邏輯關係，稱為真值表

從表中可知，其邏輯規律服從“有0出0，全1才出1”這種與邏輯可以寫成下麵的運算式：稱為與邏輯式，這種運算稱為與運算也可以用圖2.2.2表示與邏輯，稱為邏輯門或邏輯符號，實現與邏輯運算的門電路稱為與門。2.2.2或運算

或運算也叫邏輯加或邏輯或，即當其中一個條件滿足時，事件就會發生，即“有一即可若有n個邏輯變數做與運算，其邏輯式可表示為

如圖2.2.3所示電路，兩個並聯的開關控制一盞燈就是或邏輯事例，只要開關A、B有一個閉合時燈就會亮。

用與前面相同的邏輯賦值同樣也可得到其真值表如表2.2.2所示，其邏輯規律服從“有1出1，全0才出0”

其邏輯式為上式說明：當邏輯變數A、B有一個為1時，邏輯函數輸出Y就為1。只有A、B全為0，Y才為0。

其邏輯門符號如圖2.2.4所示，實現或邏輯運算的門電路稱為或門。若有n個邏輯變數做或運算，其邏輯式可表示為3.非邏輯運算

條件具備時，事件不發生；條件不具備時，事件發生，這種因果關係叫做邏輯非，也稱邏輯求反如圖2.2.5所示電路，一個開關控制一盞燈就是非邏輯事例，當開關A閉合時燈就會不亮。

非邏輯運算也叫邏輯非或非運算、反相運算，即輸出變數是輸入變數的相反狀態。其邏輯式為

用與前面相同的邏輯賦值同樣也可得到其真值表如表2.2.3所示注：上式也可寫成其邏輯門符號如圖2.2.6所示，實現非邏輯運算的門電路稱為非門

以上為最基本的三種邏輯運算，除此之外，還有下麵的由基本邏輯運算組合出來的邏輯運算4.與非（NAND）邏輯運算與非運算是先與運算後非運算的組合。以二變數為例，布爾代數運算式為：其真值表如表2.2.4所示其邏輯規律服從“有0出1，全1才出0”

實現與非運算用與非門電路來實現，如圖2.2.7所示5.或非（NOR）運算

或非運算是先或運算後非運算的組合。以二變數A、B為例，布爾代數運算式為：或非邏輯規律服從有“1”出“0”全“0”出“1”或非運算用或非門電路來實現，如圖2.2.8所示其真值表如表2.2.5所示

與或非運算是“先與後或再非”三種運算的組合。以四變數為例，邏輯運算式為：上式說明：當輸入變數A、B同時為1或C、D同時為1時，輸出Y才等於0。與或非運算是先或運算後非運算的組合。在工程應用中，與或非運算由與或非門電路來實現，其真值表見書P22表2.2.6所示，邏輯符號如圖2.2.9所示6.與或非運算其門電路的邏輯符號如圖2.2.10所示其布爾運算式（邏輯函數式）為7.異或運算符號“⊕”表示異或運算，即兩個輸入邏輯變數取值不同時Y=1，即不同為“1”相同為“0”，異或運算用異或門電路來實現其真值表如表2.2.6所示

異或運算的性質

1.交換律：2.結合律：3.分配律：推論：當n個變數做異或運算時，若有偶數個變數取“1”時，則函數為“0”；若奇數個變數取1時，則函數為1.4.8.同或運算：其布爾運算式為符號“⊙”表示同或運算，即兩個輸入變數值相同時Y=1，即相同為“1”不同為“0”

。同或運算用同或門電路來實現，它等價於異或門輸出加非門，其真值表如表2.2.7所示其門電路的邏輯符號如圖2.2.11所示2.3邏輯代數的基本公式和常用公式2.3.1基本公式表2.3.1為邏輯代數的基本公式，也叫布爾恒等式表2.3.1邏輯代數的基本公式返回A返回BA·0=0A+0=AA·1=AA+1=12.交換律、結合律、分配律a.交換律：AB=BAA+B=B+Ab.結合律：A（BC）=（AB）CA+（B＋C）=（A＋B）+Cc.分配律：A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)1.關於變數與常數關係的定理說明：由表中可以看出鏈接Aa.互補律：b.重疊律：A·A=AA+A=Ac.非非律：d.吸收律：A+AB=AA(A+B)=Ae.摩根定律：注：以上定律均可由真值表驗證3.邏輯函數獨有的基本定理鏈接B2.3.2若干常用公式表2.3.2為常用的一些公式表2.3.2常用公式說明：1.A＋AB＝A：在兩個乘積項相加時，如果其中一項包含另一項，則這一項是多餘的，可以刪掉；2.A＋A

B＝A＋B：在兩個乘積項相加時，如果其中一項含有另一項的取反因數，則此取反因數多餘的，可從該項中刪除；3.AB＋AB

＝A：在兩個乘積項相加時，如果它們其中的一個因數相同，而另一個因數取反，則兩項合併，保留相同因數；4.A（A＋B）＝A：在當一項和包含這一項的和項相乘時，其和項可以消掉5.AB＋A

C＋BC＝AB＋A

C：在三個乘積項相加時，如果前兩項中的一個因數互為反，那麼剩餘的因數組成的另一項則是多餘的，可以刪掉；公式AB＋A

C＋BCD＝AB＋A

C的原理和上述相同6.A（AB）

＝AB

：如果某項和包含這一項的乘積項取反相乘時，則這一項可以刪掉；7.A

（AB）

＝A

：當某個項取反和包含這一項的乘積項取反相乘時，則只保留這個取反項以上的公式比較常用，應該能熟用，為以後邏輯函數的化簡打好基礎2.4邏輯代數的基本定理2.4.1代入定理內容：任何一個含有變數A

的等式，如果將所有出現A的位置都用同一個邏輯函數G來替換，則等式仍然成立。利用代入定理可以證明一些公式，也可以將前面的兩變數常用公式推廣成多變量的公式證明：方程的左邊有A的地方代入G得：B[(A十D)十C]＝B(A十D)十BC＝BA十BD十BC方程的右邊有A的地方代入G得：B(A十D)十BC＝BA十BD十BC故B[(A十D)十C]＝B(A十D)十BC例2.4.1若B(A十C)＝BA十BC，現將所有出現A的地方都代入函數G＝A十D，則證明等式仍成立

證明：設G＝BC代入公式左右的B中同理設G＝B＋C代入式子左右的B例2.4.2試用代入規則證明摩根定律適用多變量的情況可得故：可得內容：若已知邏輯函數Y的邏輯式，則只要將Y式中所有的“.”換為“+”,“+”換為“.”,常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，所有原變數（不帶非號）變成反變數，所有反變數換成原變數，得到的新函數即為原函數Y的反函數（補函數）Y

。利用摩根定律，可以求一個邏輯函數的反函數。2.反演定理注意：1.

變換中必須保持先與後或的順序；2.對跨越兩個或兩個以上變數的“非號”要保留不變；解：由摩根定理或直接求反例2.4.3已知Y＝A（B＋C）＋CD

，求Y

解：由反演定理例2.4.4若Y＝[（A

B）

＋C＋D]

+C，求反函數或直接求反得3.對偶規則對偶式：設Y是一個邏輯函數，如果將Y中所有的“+”換成與“·”，“.”換成與“+”，“1”換成與“0”，“0”換成與“1”，而變數保持不變，則所得的新的邏輯式YD稱為Y的對偶式。如：對偶規則：如果兩個函數Y和G相等，則其對偶式YD和GD也必然相等，Viceversa。利用對偶式可以證明一些常用公式例1.1.5試利用對偶規則證明分配律A＋BC=(A+B)(A+C)式子成立證明：設Y＝A＋BC，G＝(A+B)(A+C)，則它們的對偶式為由於故Y＝G，即A＋BC=(A+B)(A+C)

證明：設則它們的對偶式為由於故Y＝G，即例1.1.6試利用對偶規則證明吸收律A＋AB＝A＋B

式子成立2.5邏輯函數的定義：其中：A1,A2…An稱為n個輸入邏輯變數，取值只能是“0”或是“1”，Y為輸出邏輯變數，取值只能是“0”或是“1”則F稱為n變數的邏輯函數

在數字電路中，輸入為二值邏輯變數，輸出也是二值變數，則表示輸入輸出的邏輯函數關係，即如Y＝A＋BC，表示輸出等於變數B取反和變數C的與，再和變數A相或。2.5.1邏輯函數一、邏輯真值表2.5.2邏輯函數的幾種表示方法

邏輯函數的表示方法很多，比較常用的如下：

邏輯真值表就是採用一種表格來表示邏輯函數的運算關係，其中輸入部分列出輸入邏輯變數的所有可能取值得組合，輸出部分根據邏輯函數得到相應的輸出邏輯變數值。

如表2.5.1表示的異或邏輯關係的函數，即YBA011101110000輸出輸入表2.5.1Y＝AB

＋AB

二、邏輯函數式

按一定邏輯規律寫成的函數形式，也是邏輯代數式。與普通函數數不同的是，邏輯函數式中的輸入輸出變數都是二值的邏輯變數。如異或關係的邏輯函數可寫成Y＝AB

＋AB

三、邏輯圖法

採用規定的圖形符號，來構成邏輯函數運算關係的網路圖形圖2.5.1表示的是異或關係的邏輯圖四波形圖法:

一種表示輸入輸出變數動態變化的圖形，反映了函數值隨時間變化的規律，也稱時序圖。如圖2.5.2表示異或邏輯關係的波形。

除上面介紹的四種邏輯函數表示方法外，還有卡諾圖法、點陣圖法及硬體描述語言等。在後面的課程中將重點介紹卡諾圖法。五、各種表示方法間的相互轉換

在設計數字電路時，有時需要進行各種表示邏輯函數方法的轉換。1.真值表與邏輯函數式的相互轉換

通過下麵的例子得出由真值表寫出邏輯函數的方法例2.5.1某邏輯函數的真值表如表2.5.2所示，寫出邏輯函數式輸入輸出ABCY10

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1表2.5.2輸出Y20

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1（1）由真值表寫邏輯函數式解：邏輯式為輸入輸出ABCY10

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1表2.5.2輸出Y20

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1總結：①找出真值表中使邏輯函數為“1”的輸入變數的組合；②對應每個輸出為“1”變數組合關係為與的關係，即乘積項，其中如圖輸入變數取值為“1”的寫成原變數，輸入變數取值為“0”的寫成反變數，如AB

C輸入輸出ABCY10

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1表2.5.2輸出Y20

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1③將這些乘積項相加，即得到輸出的邏輯式例2.5.2已知真值表如表2.5.3所示，試寫出輸出的邏輯函數輸入輸出ABCY0

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0表2.5.3解：其輸出的邏輯函數為（2）由邏輯函數式寫出真值表

將輸入變數所有取值組合，代入邏輯函數式，得出輸出的值，並以表的形式表示出來。例2.5.3寫出邏輯函數Y＝AB

＋C的真值表解：其真值表如表2.5.4所示輸入輸出ABCY0

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0表2.5.42.邏輯函數式與邏輯圖的相互轉換（1）由邏輯函數式畫出邏輯圖

用邏輯符號代替邏輯函數中的邏輯關係，即可得到所求的邏輯圖例2.5.4畫出邏輯函數Y＝[（AB+C

）＋（AC

）＋B]的邏輯電路解：其實現電路如圖2.5.3所示（2）由邏輯圖寫出邏輯函數式

已知邏輯圖，根據邏輯門的輸入輸出關係，寫出整個邏輯圖的輸入輸出關係，得出輸出的邏輯函數式例2.5.5已知邏輯電路如圖2.5.4，試寫出輸出端的邏輯函數式，並寫出真值表解：輸出的邏輯式為由邏輯式寫出真值表，如表2.5.5所示輸入輸出ABCY0

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1表2.5.5例2.5.6設計一個邏輯電路，當三個輸入A、B、C至少有兩個為低電平時，該電路輸出為高，試寫出該要求的真值表和邏輯運算式，畫出實現的邏輯圖解：由邏輯要求寫出真值表，如表2.5.6所示輸入輸出ABCY0

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0表2.5.6由真值表寫出邏輯式為輸入輸出ABCY0

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0表2.5.6其實現的邏輯圖如圖2.5.5所示3.波形圖與真值表的相互轉換（1）由波形圖得到真值表

根據所給的波形，列出各輸入變數組合所對應的輸出值例2.5.7已知邏輯函數Y的輸出波形如圖2.5.6所示，試分析其邏輯功能。解：由所給的波形寫出輸入輸出的真值表，如表2.5.7所示由真值表可知，當輸入變數A、B取值相同時，輸出Y＝1；A、B取值不同時，輸出Y＝0。故輸出和輸入是同或關係。其邏輯函數式為YBA111001010100輸出輸入表2.5.7例2.5.8已知圖2.5.7所示是某個數字邏輯電路的輸入輸出波形，試畫出該組合邏輯電路圖，並判斷其邏輯功能解:由波形得出真值表如表2.5.8所示輸入輸出ABCY0

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1表2.5.8由真值表寫出輸出的邏輯式輸入輸出ABCY0

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1表2.5.8由真值表可知，當輸出有奇數個“1”時，輸入為“1”。故此電路為“判奇電路”，其邏輯圖如圖2.5.8所示（2）由真值表畫出波形圖按照真值表的輸入取值，畫出輸入輸出的波形。例2.5.9已知邏輯函數的真值表如表2.5.9所示，試畫出輸入輸出波形和輸出端的邏輯函數式。輸入輸出ABCY0

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0表2.5.9解：由真值表畫出輸入輸出波形如圖2.5.9所示輸出端的邏輯式為輸入輸出ABCY0

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0表2.5.92.5.3邏輯函數的兩種標準型

一種輸入輸出的邏輯關係可以有多種等效的運算式表示，但可以化為標準形式。其標準型有兩種：標準與或式和標準或與式1.最小項a.定義:

在n變數的邏輯函數中，設有n個變數A1~An，而m是由所有這n個變數組成的乘積項（與項）。若m中包含的每一個變數都以Ai或A

i

的形式出現一次且僅一次，則稱m是n變數的最小項。注：n個變數構成的最小項有2n個，通常用mi表示第i個最小項，變數按A1~An排列，以原變數出現時對應的值為“1”，以反變數出現時對應的值取“0”，按二進位排列時，其十進位數即為i。一、最小項和最大項表2.5.10、表2.5.11、表2.5.12分別為二變數、三變數和四變數的最小項b.最小項的性質①對於任一個最小項，僅有一組變數取值使它的值為“1”，而其他取值均使它為“0”。或者說在輸入變數的任何取值必有一個最小項也僅有一個最小項的值為“1”。②n變數組成的全體最小項之邏輯和為“1”。即2.最大項a.定義：在n變數的邏輯函數中，設有n個變數A1~An，而M是由所有這n個變數組成的和項（或項）。若M中包含的每一個變數都以Ai或A

i的形式出現一次且僅一次，則M是n變數的最大項。注：

n個變數構成的最大項也有2n個，通常用Mi表示第i個最大項，變數按A1~An排列，以原變數出現時對應的值為“0”，以反變數出現時對應的值取“1”，按二進位排列時，其十進位數即為i。表2.5.13、表2.5.14分別為二變數、三變數的最大項，四變數最大項課下自己寫出b.最大項的性質

①對於任一個最大項，僅有一組變數取值使它的值為“0”，而其他取值均使它為“1”。或者說在輸入變數的任何取值必有一個最大項也僅有一個最大項的值為“0”。②n變數組成的全體最大項之邏輯積為“0”。即二、邏輯函數的標準與或式型－最小項之和標準型如與或型特點：1.式子為乘積和的形式；

2.不一定包含所有的最小項，但每一項必須為最小項標準與或式的寫法：

在n變數的邏輯函數中，若某一乘積項由於缺少一個變數不是最小項，則在這項中添加此變數與這個變數的反變數之和這一項，使之稱為最小項，即利用公式A＋A

＝1例2.5.10將邏輯函數Y＝A＋BC寫成標準與或式解：注意：變數的排列順序。三、邏輯函數的標準或與式型－最大項之積標準型如與或型特點：1.式子為和積的形式；

2.邏輯函數不一定包含所有的最大項，但每一項必須為最大項標準或與式的寫法：

在n變數的邏輯函數中，若某一和項由於缺少一個變數不是最大項，則在這項中加上此變數與這個變數的反變數之積這一項，即利用公式AA

＝0，然後利用公式A＋BC＝（A＋B）（A＋C）使之稱為最大項例2.5.11將邏輯函數Y＝AC＋BC寫成或與式解：四、最小項與最大項的關係設有三變數A、B、C的最小項，如m5

＝ABC，對其求反得由此可知對於n變數中任意一對最小項mi和最大項Mi

，都是互補的，即五、標準與或式和或與式之間的關係若某函數寫成最小項之和的形式為則此函數的反函數必為如表2.5.15中上式或寫成利用反演定理可得六、邏輯函數的兩種標準形式：

有時需要把任意邏輯函數變換為兩種標準形式：與或式（最小項之和）和或與式（最大項之積）。實現這種變換方法很多，可以利用添項、真值表、卡諾圖等實現，這裏介紹利用添項和真值表將邏輯函數變換成標準型。1.利用真值表

首先寫出邏輯函數的真值表，由真值表寫出最小項和最大項。標準與或式寫法

：由真值表確定邏輯函數為“1”的項作為函數的最小項(乘積項）。若輸入變數取“1”，則寫成原變數；若輸入變數取值為“0”，則寫成反變數。不同的輸出“1”為和的關係。標準或與式寫法：由真值表確定邏輯函數為“0”的項作為函數的最大項（和項）。若輸入變數取“1”，則寫成反變數；若輸入變數取值為“0”，則寫成原變數。不同的輸出“0”為積的關係。例2.5.12試將下列函數利用真值表轉化成兩種標準形式

解：其真值表如表2.5.16所示邏輯函數的標準或與型為則邏輯函數的標準與或型為標準或與式的寫法：在邏輯函數中，先將邏輯函數化為和積式。若某一和項由於缺少一個變數不是最大項，則在這項中添加此變數與這個變數的反變數之積這一項，再利用A＝A＋BB

＝（A＋B）（A＋B）使之稱為最大項2.利用公式A＋A

＝1及A·A

＝0將邏輯函數變換為與或式和或與式標準與或式寫法

：在邏輯函數中，先將函數化成與或式（不一定是最小項），則在與項中利用公式A＋A

＝1添加所缺的邏輯變數，寫成最小項的形式例2.5.13試利用添加項的方法將下麵邏輯函數轉化成與或標準式解：標準與或式為

例2.5.14試用添加項方法將下麵邏輯函數轉化成或與標準式解:a.在將一個n變數的邏輯函數寫成與或式（最小項之和）後，若要寫成或與式（最大項之和）時，其最大項的編號是除了最小項編號外的號碼，最小項與最大項的總個數為2n；b.由i個最小項構成的與或式（最小項之和）邏輯函數，其反函數可以用i個最大項的或與式（最大項之和）表示，其編號與最小項編號相同。總結：例1.2.5將下麵邏輯函數轉化成兩種標準式，並求其反函數

解：標準與或式為標準或與式為（注：反函數的最大項編碼與原函數最小項編碼相同）反函數為2.5.4邏輯函數形式的變換

除了上述標準與或式和標準或與式的外，還需要將邏輯函數變換成其他形式。假如給出的是一般與或式，要用與非門實現，就需要將其變成與非－與非式。

一、與或式化為與非－與非式－－利用反演定理

例2.5.10將下式Y=AC+BC

用與非門實現，並畫出邏輯圖。

解：用二次求反，將第一級非號用摩根定理拆開，第二級保持不變。

如果本身有反變數輸入，則用二級與非門就可實現該函數，其邏輯電路如圖2.5.10所示。如果只有原變數輸入，另外要用與非門實現反相C

，其邏輯電路如圖2.5.11所示二、將與非式化為與或非式例2.5.11將Y=AC+BC

用與或非門實現，畫出邏輯圖。

解：先用反演定理求函數Y的反函數Y

，並整理成與或式，再將左邊的反號移到等式右邊，即兩邊同時求反。這就可用與或門實現。其電路如圖2.5.12所示多餘項三、將與或式化為或非－或非式

解：先將函數Y化為與或非形式，再用反演定理求Y

，並用摩根定理展開，再求Y，就可得到或非－或非式。

例2.5.11將下式Y=AC+BC

用或非門實現。其實現電路如圖2.5.13所示或者先寫成最大項之積形式，再兩次取反，利用反演定理得到或非式2.6邏輯函數的化簡方法

一個邏輯函數有多種不同形式的邏輯運算式，雖然描述的邏輯功能相同，但電路實現的複雜性和成本是不同的。邏輯運算式越簡單，實現的電路越簡單可靠，且低成本。因此在設計電路時必須將邏輯函數進行簡化。注：隨著積體電路的發展，集成晶片的種類越來越多。邏輯函數是否“最簡”已無太大意義。但作為設計思路，特別對於中小規模積體電路，邏輯函數的簡化是不能忽視的邏輯函數的簡化方法很多，主要有邏輯代數簡化法（公式法）和卡諾圖法2.6.1公式化簡法

公式法化簡就是利用邏輯代數的一些定理、公式和運算規則，將邏輯函數進行簡化。實現電路的器件不同，最終要得到的邏函數的形式不同，其最簡的定義也不同。

對於要小規模集成門電路實現的電路，常用的門為與非門、或非門、與或非門等。由上一節可知，其最終都可以由與或式、或與式轉換而成。故最常用的是最簡與或式和最簡或與式。最簡與或式：最簡的與或式所含乘積項最少，且每個乘積項中的因數也最少。最簡或與式：最簡的或與式所含和項最少，且每個和項中的相加的項也最少。1.與或式的簡化(1)與或式：就是先與後或式（乘積和），最簡的與或式是所含與項最少，且每個與項的邏輯變數最少，則這個與或式是最簡的。下麵討論公式法常用的化簡方法。上式Y1和Y2實現同樣的邏輯功能，但Y1中不僅所含變數多，而且乘積項也多了一項，要用3個與門（不含非門）和一個或門實現，而Y2的變數有3個，兩個乘積項，用2個與門、1個或門實現即可，這樣即節省元件，也減少佈線和功耗。2.6.1公式化簡法(2)與或式的簡化方法a.合併項法：利用AB＋AB＝B消去一個變數；b.消除法：利用A＋AB＝A＋B消去多餘變數；c.配項法：利用A＋A

＝1

增加一些項，再進行簡化說明：一般化簡需要各種方法綜合起來。化簡需要技巧和經驗，需多練習。另外最後的結果是否為最簡，難以判斷。2.6.1公式化簡法例2.6.1將下式化為最簡與或式配項ABC解法一：配項法2.6.1公式化簡法解法二：用吸收法和消去法二種方法結果一致，但過程繁簡不同。儘量選擇最佳方法，使化簡過程簡單2.6.1公式化簡法例2.6.2試將下麵的邏輯函數簡化為最簡與或式解：注：從原式看，很難看出是不是最簡，而且用代數法簡化邏輯函數，不僅要熟悉邏輯代數公式，而且要靈活運用，而且不能保證最後結果最簡。2.6.1公式化簡法例2.6.3試將下麵邏輯函數簡化成最簡與或式解：多餘項反演定理2.6.1公式化簡法練習：試將下麵邏輯函數簡化成最簡與或式2.6.1公式化簡法2.或與式的簡化a.利用公式A（A＋B）＝A及A（A

+B)=A化簡解：例2.6.4試將下麵的邏輯函數簡化為最簡或與式2.6.1公式化簡法b.利用兩次求對偶式進行簡化再求對偶式如例2.6.4的邏輯函數：其對偶式為2.6.1公式化簡法2.6.2卡諾圖化簡法

公式法簡化邏輯函數不直觀，且要熟練掌握邏輯代數的公式以及簡化技巧，而卡諾圖法能克服公式法的不足，可以直觀地給出簡化的結果。一.卡諾圖a.定義：將邏輯函數的真值表圖形化，把真值表中的變數分成兩組分別排列在行和列的方格中，就構成二維圖表，即為卡諾圖，它是由卡諾（Karnaugh）和範奇（Veich）提出的。b.卡諾圖的構成：將最小項按相鄰性排列成矩陣，就構成卡諾圖實質是將邏輯函數的最小項之和的以圖形的方式表示出來。最小項的相鄰性就是它們中變數只有一個是不同的。下麵表2.6.1是二變數的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法表2.6.2為三變數的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法表2.6.3為4變數的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法從上面卡諾圖可以看出

任意兩個相鄰的最小項在圖上是相鄰的，並且圖中最左列的最小項與左右列相應最小項也是相鄰的（如m0和m2，m9和m10)。位於最上面和最下麵的相應最小項也是相鄰的（m0和m9,m2和m10)，所以四變數的最小項有四個相鄰最小項。可以證明n變數的卡諾圖中的最小項有n個相鄰最小項2.6.2卡諾圖化簡法n變數的卡諾圖可有n－1變數的卡諾圖採用折疊法構成,如五變數的卡諾圖可由四變數的卡諾圖折疊得到，如表2.6.42.6.2卡諾圖化簡法二.邏輯函數的卡諾圖表示法

如果畫出邏輯函數的卡諾圖，首先將邏輯函數化成標準與或型（最小項和），在相應的最小項位置填“1”，其方法如下a.利用真值表：將邏輯函數的真值表做出，將表中對應“1”項的最小項填到卡諾圖中2.6.2卡諾圖化簡法例2.6.5畫出下麵函數的卡諾圖解：其真值表如表2.6.5所示,其卡諾圖如表2.6.6所示輸入輸出ABCY0

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0

10

0

1

1

0

0

0

1表2.6.52.6.2卡諾圖化簡法b.化為標準與或型例2.6.6畫出下麵邏輯函數的卡諾圖解：2.6.2卡諾圖化簡法卡諾圖如表2.6.62.6.2卡諾圖化簡法(3)觀察法

採用觀察法不需要前兩種方法需要將邏輯函數轉換成最小項，而是採用觀察邏輯函數，將應為“1”的項填到卡諾圖中例2.6.7用卡諾圖表示下麵的邏輯函數解：其卡諾圖如表2.6.7所示2.6.2卡諾圖化簡法AA

11111111例2.6.8畫出下列函數的卡諾圖解:Y的卡諾圖如表2.6.8所示2.6.2卡諾圖化簡法1111111111例2.6.9畫出下列函數的卡諾圖解:Y的卡諾圖如表2.6.9所示2.6.2卡諾圖化簡法111111111練習：畫出下列函數的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法三、利用卡諾圖簡化邏輯函數①卡諾圖的性質a.卡諾圖上任何2（21)個標“1”的相鄰最小項，可以合併成一項，並消去1個取值不同的變數例如表2.6.10中，有消去變數D2.6.2卡諾圖化簡法b.卡諾圖上任何4（22)個標“1”的相鄰最小項，可以合併成一項，並消去2個取值不同的變數例如表2.6.11中，有消去變數AC2.6.2卡諾圖化簡法2.6.2卡諾圖化簡法c.卡諾圖上任何8（23)個標“1”的相鄰最小項，可以合併成一項，並消去3個取值不同的變數例如表2.6.12中，有消去變數ABC2.6.2卡諾圖化簡法或者下麵的圈“1”法2.6.2卡諾圖化簡法②卡諾圖簡化邏輯函數為與或式的步驟a.將邏輯函數化為最小項（可略去）；b.畫出表示該邏輯函數的卡諾圖；c.找出可以合併的最小項,即1的項（必須是2n個1)，進行圈“1”，圈“1”的規則為：2.6.2卡諾圖化簡法*圈內的“1”必須是2n個；*“1”可以重複圈，但每圈一次必須包含沒圈過的“1”；*每個圈包含“1”的個數盡可能多，但必須相鄰，必須為2n個；圈“1”的規則為2.6.2卡諾圖化簡法*圈數盡可能的少；*要圈完卡諾圖上所有的“1”。d.圈好“1”後寫出每個圈的乘積項，然後相加，即為簡化後的邏輯函數。注：卡諾圖化簡不是唯一，不同的圈法得到的簡化結果不同，但實現的邏輯功能相同的。解：其卡諾圖如表2.6.13所示圈法如圖，則例2.6.10用卡諾圖簡化下麵邏輯函數2.6.2卡諾圖化簡法111111或者圈法如表2.6.14所示，則故卡諾圖簡化不是唯一的2.6.2卡諾圖化簡法與第一種圈法相比例2.6.11用卡諾圖簡化下麵邏輯函數解：其卡諾圖如表2.6.15所示則簡化後的邏輯函數為12.6.2卡諾圖化簡法11111111111注：以上是通過合併卡諾圖中的“1”項來簡化邏輯函數的，有時也通過合併“0”項先求F的反函數，再求反得Y例如上面的例題,圈“0”情況如表2.6.15所示，可得1111111111112.6.2卡諾圖化簡法例2.6.12用卡諾圖簡化下麵邏輯函數解:卡諾圖如表2.6.16可得2.6.2卡諾圖化簡法11111111111練習：③利用卡諾圖簡化邏輯函數為或與式

在卡諾圖上圈“0”的最小項，其規則與化成與或式相同，但寫最簡或與式時，消去取值不同的變數，保留取值相同的變數。寫相同變數時，取值為“0”寫成原變數，取值為“1”寫成反變數，每個圈寫這些相同變數的和，不同的圈為乘積的關係。2.6.2卡諾圖化簡法例2.6.13用卡諾圖將下麵邏輯函數簡化成最簡與或式和或與式解：其卡諾圖如表2.6.17所示對於與或式，圈“1”，則注：Y的最簡與或式不是唯一的2.6.2卡諾圖化簡法11111111000000001對於與或式，圈“0”，則由表2.6.17的卡諾圖可得故2.6.2卡諾圖化簡法例2.6.14試將下麵邏輯函數化成最簡與或式和或與式。解：卡諾圖如表2.6.18所示圈“1”化成最簡與或式，則可得2.6.2卡諾圖化簡法0111111000000000圈“0”化成最簡或與式為2.6.2卡諾圖化簡法例2.6.15試將下麵邏輯函數化成最簡與或式和或與式解：由於最大項對應輸入函數取值為“0”，如M6＝A＋B

＋C

＋D，當ABCD＝0110時，M6=0，故在相應最大項的位置上填“0”即可得邏輯函數的卡諾圖。則Y的卡諾圖如表2.6.19所示則最簡與或式為2.6.2卡諾圖化簡法0000000111111111圈“0”可得最簡的或與式為2.6.2卡諾圖化簡法練習：將下列函數簡化成最簡與或式和或與式2.6.2卡諾圖化簡法*2.6.3奎恩－麥克拉斯基化簡法（Q－M法）（自學）2.7具有無關項的邏輯函數及其化簡2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項1.定義：a.約束項：在邏輯函數中，輸入變數的取值不是任意的，受到限制。對輸入變數取值所加的限制稱為約束，被約束的項叫做約束項。例如有三個邏輯變數A、B、C分別表示一臺電動機的正轉、反轉和停止。若A＝1表示電動機正轉，B＝1表示電動機反轉，C＝1表示電動機停止，則其ABC的只能是100、010、001，而其他的狀態如000、011、101、110、111是不能出現的狀態，故ABC為具有約束的變數，恒為0。可寫成這些恒等於“0”的最小項稱為約束項b.任意項：輸入變數的某些取值對電路的功能沒影響，這些項稱為任意項

。例如8421BCD碼取值為0000~1001十個狀態，而1010~1111這六個狀態不可能出現，故對應的函數取“0”或取“1”對函數沒有影響，這些項就是任意項項。c.無關項：將約束項和任意項統稱為無關項。即把這些最小項是否寫入卡諾圖對邏輯函數無影響2.含有無關項的邏輯函數的表示方法最小項的運算式為其中∑d為無關項也可以寫成2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項③化簡時，根據需要無關項可以作為“1”也可作“0”處理，以得到相鄰最小項矩形組合最大（包含“1”的個數最多）為原則。3.無關項在化簡邏輯函數中的應用利用無關項可以使得函數進一步簡化步驟：①將給定的邏輯函數的卡諾圖畫出來;②將無關項中的最小項在卡諾圖相應位置用“×”表示出來；2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項例2.6.1用卡諾圖簡化下列邏輯函數，並寫成最簡與或式和或與式解：Y的卡諾圖如表2.6.1所示則最簡與或式為2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項111111××××××××還有另一種圈法，如圖2.6.2所示簡化後的邏輯函數為2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項此種圈法圈數少，變數少，比上一種簡單寫成或與式為2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項例1.4.13試簡化下列邏輯函數，寫最簡成與或式和或與式解：約束條件為則Y的卡諾圖如表2.6.4所示最簡與或式為（即AB取值不能相同）2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項11111××××××××圈“0”則最簡或與式為2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項練習：將下列函數簡化成最簡與或式和或與式2.7.1約束項、任意項和邏輯函數式中的無關項*2.7卡諾圖的其他應用卡諾圖除了簡化邏輯函數，還可以有下麵的一些應用2.7.1.判明函數關係和進行函數的運算1判明函數關係

利用卡諾圖可以判明函數是否相等、互補。若兩個函數的卡諾圖相同，則這兩個函數一定相等。即若函數Y和G的卡諾圖相同，則Y＝G。若兩個函數的卡諾圖中“0”和“1”對調，則這兩個函數為互補。例如它們的卡諾圖如表2.7.1所示，則Y＝G2.7.1.判明函數關係和進行函數的運算再例如它們的卡諾圖如表2.7.2和2.7.3所示則2.7.1.判明函數關係和進行函數的運算2.函數運算若已知函數Y1和Y2，則可利用卡諾圖做邏輯運算。例2.7.1若Y1＝AB＋AC

，Y2＝A＋BC試利用卡諾圖求Y1＋Y2、Y1＋Y2及Y1⊙Y2解：Y1和Y2的卡諾圖如表2.7.4及2.7.5所示2.7.1.判明函數關係和進行函數的運算則兩個函數的與為=2.7.1.判明函數關係和進行函