考点01 二次函数的图像和性质（解析版）

考点01二次函数的图像和性质

知识框架

'二次函数的概念

二次函数y=o?*0)的图像和性质

基础知识点4二次函数y=a(x-工0)的图像和性质

二次函数y=ar2+bx+c(a/0)的图像和性质

二次函数的性质总结

.二次函数的定义

二次函数的图像与性质(顶点、对称轴、最值、比大小等)

利用二次函数的轴对称性解题

重难点题型,二次函数的平移

求二次函数的解析式

抛物线与一次函数的图象问题

利用二次函数图像确定系数的符号

基础知识点

知识点2.1二次函数的概念

1)形如y=ax2+fer+c(存0)的函数叫作二次函数。

注：①a、b、c为常数，且aWO,即二次项必须有，一次项和常数项可以没有

②二次函数为函数的一种，满足函数的所有性质。即自变量尤有且仅有唯一应变量y与之对应。

1.(2021•安徽九年级月考)以x为自变量的函数:①y=(x+2)(x-2)；②y=(x+2)2；③y=1+2光一3/；

@y=x2-x(x-l).是二次函数的有()

A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】根据二次函数的定义进行判断.

【详解】解：①y=(x+2)(x—2)=/一4,符合二次函数的定义，故①是二次函数；

②y=(x+2)2,符合二次函数的定义，故②是二次函数：

③y=l+2x—3d,符合二次函数的定义，故②是二次函数；

④_%=_%,不符合二次函数的定义，故④不是二次函数.

所以，是二次函数的有①②③，故选：C.

【点睛】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键.

2.（2021•四川成都市•成都实外九年级期末）下列关于X的函数一定为二次函数的是（）

A.y=2x+lB.y--5x2-3C.y-ax2+bx+cD.y=x'+x+l

【答案】B

【分析】根据二次函数的定义分析判断即可.

【详解】解：A、y=2x+l是一次函数，故本选项错误：

B、y=-5/—3一定是二次函数，故本选项正确；

C、y=ax2+bx+c,当a=0时，是一次函数，故本选项错误；

D、y=V+x+l是三次函数，故本选项错误；故选：B.

【点睛】本题考查二次函数的定义：形如y=a/+bx+c（a、b、c是常数，且aRO）的函数是x的二次函

数，牢记此定义是解题的关键.

3.（2021•广东九年级专题练习）若函数了=（1+〃。/八2吁1是关于》的二次函数，则机的值是（）

A.2B.-1或3C.3D.-1+72

【答案】C

【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解.

【详解】•.•函数），=（1+m）%病-2"1是关于x的二次函数，.•.m2_2m一1=2，且1+加工0,

由—2〃?—1=2得,m=3或，〃=—1，由l+。得,〃/H—1,的值是3,故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的定义、解一元一次不等式、解一元二次方程等知识，解答本题的关键是根

据二次函数的定义列出方程与不等式.

4.（2021•湖南娄底市•九年级期末）当函数y=（a—l）£"+2x+3是二次函数时，。的取值为（）

A.a=1B.6（=±1C.awlD.a——\

【答案】D

【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可.

【详解】•.•函数y=（a—l）x/7+2x+3是二次函数，

2

/.a-1/0,a+1=2,.".a#l,/=],/.a——1,故选D.

【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键.

知识点2-2二次函数产a尤2的图象和性质

1)y=a?(“wo,〃=(),c=O,即一次项和常数项皆为0)的图形如下:

②开口：67>0,开口向上；6/<0,开口向下

③顶点：原点(0,0),顶点纵坐标为函数最大值或最小值(由4的正负决定)

④对称轴：关于y轴对称，即关于40对称

⑤开口大小：|a|越大，开口越小，即上升或下降越快

⑥增减性：a>0时，当xVO时，y随x的增大而减小；当x>0时，了随x的增大而增大。

。<0时，当x<0时，)，随x的增大而增大；当x>0时，y随x的减小而减小。

注：①关于y轴对称的前提条件是：函数定义域关于y轴对称；

②抛物线图形的性质都与顶点坐标有关系，顶点坐标需要牢记，其他性质通过画草图来分析，理解记忆。

1.(2021•江苏盐城市•九年级期末)若二次函数y=的图象经过点尸(_3,9),则该图象必经过点()

A.(3,9)B.(-3,-9)C.(-9,3)D.(9,-3)

【答案】A

【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答.

【详解】解：•.•二次函数y=ax2的对称轴为y轴，

,若图象经过点P(-3,9),则该图象必经过点(3,9).故选：A.

【点睛】本题考查/二次函数图象上点的坐标特征，主要利用「二次函数图象的对称性，确定出函数图象

的对称轴为y轴是解题的关键.

2.(2021•江苏淮安市•九年级期末)抛物线y=-f的顶点坐标是.

4

【答案】(0,0)

【分析】由抛物线的顶点式：y=52,可得顶点坐标(0,0),从而可得答案.

【详解】解：抛物线y=的顶点坐标是：(0,0).故答案为：(0,0).

【点睛】本题考查的是抛物线y=公2(a丰0)的性质，掌握抛物线y=ax2(a^0)的顶点坐标是解题的关

键.

3.(2021•北京九年级专题练习)下列关于二次函数y=2/的说法正确的是()

A.它的图象经过点(0,2)B.它的图象的对称轴是直线x=2

C.当x<0时，y随x的增大而减小D.当户0时，y有最大值为0

【答案】C

【分析】根据二次函数的图象性质即可判断.

【详解】解：A、当x=0时，尸0幽，故此选项错误；B、它的图象的对称轴是直线x=0,故此选项错误；

C、当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大，故此选项正确；

D、当产0时，y有最小值是0,故此选项错误；故选：C.

【点睛】此题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

4.(2021•古浪县第四中学九年级月考)抛物线y=2x2,y--2x2,y=/x?的共同性质是()

A.开口向上B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x的增大而增大

【答案】B

【分析】根据二次函数的图象与性质解题.

【详解】抛物线y=2x2,y=；x2开口向上，对称轴是对称轴是y轴，有最低点，在y轴的右侧，y随x

的增大而增大，y=-2x2,开口向下，对称轴是对称轴是y轴，有最高点，在y轴的左侧，y随x的增大而

增大，故抛物线y=2x2,y=-2x2,y=；x2的共同性质是对称轴是y轴，故选：B.

【点睛】本题考查二次函数图象的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

5.(2021•浙江九年级期末)已知二次函数y=a(x-m)2(a<0)的图象经过点A(-1,〃)，5(3,幻，若P<q,

则m的值可能是()

l5

A.-2B.-J2C.0D.-

一2

【答案】D

【分析】二次函数产a(x-m)2(«<0)开口向下，对称轴为直线产"?，根据抛物线上的点与直线的距

离越小对应的y值就越大即可得到m的取值范围.

【详解】解：••♦)="2.•.抛物线开口向下，对称轴为直线

当抛物线上的点与直线广〃?的距离越小，对应的y值就越大，

A(-1,p),B(3,4),且p<4，点到直线k的距离小于A点到直线广加的距离，

m>3,或/n+l>3-/n,解得m>1,而只有一>1,故选：D.

2

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键.

6.(2021•福建龙岩市•九年级期末)已知抛物线旷="2与^=2/的形状相同，则。=.

【答案】±2

【分析】两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，据此求解即可.

【详解】解：..•抛物线y=ax2与y=2x2的形状相同，.MaH，；.a=±2.故答案为±2.

【点睛】本题考查二次函数的性质，用到的知识点：两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等.

7.(2021•吉林白山市•九年级期末)己知二次函数y=(m-3)x2的图象开口向下，则m的取值范围是一

【答案】m<3

【分析】根据图象的开口方向得到m-3<0,从而确定m的取值范围.

【详解】解：二次函数y=(m-3)x2的图象开口向下，，m-3<0,故答案为：m<3.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，小于零开口向下.

8.(2021•全国九年级课时练习)在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

1，1，c1，c

y=—%-,y=—x+2,y-—x~-2.

222

【答案】见解析

【分析】利用描点法可画出这三个函数的图象.

【详解】解：列表：

X202

v=—X2202

2

y=#+2424

2

V=^-X-20_20

)2

描点：见表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点;

连线：用平滑的线连接，如图所示：

【点睛】本题主要考查二次函数图象的画法，掌握基本的描点法作函数图象是解题的关键.

9.（2020•河北张家口市•九年级期中）已知函数）=（k-2）XMTR+5是关于x的二次函数，求：

（1）满足条件的火的值；（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随

x的增大而增大？（3）当《为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大

而减小？

【答案】（1）尢=1，与=3；（2）k=l,最高点为（0,0）,当x<0时，y随x的增大而增大；（3）k=3,

最小值为0,当x<0时，y随x的增大而减小.

【分析】（1）由于函数是二次函数，所以x的次数为2,且系数不为0,即可求得满足条件的k的值；

（2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于0,再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据

:次函数性质即可知函数的单调区间：（3）函数有最小值，则开口向上，然后根据二次函数性质可求得最

小值，即可知函数单调区间.

【详解】解：（1）•.•函数y=U-2）%'4%+5是关于x的二次函数,

满足廿-4左+5=2,且卜2和，.•.解得:匕=1,火2=3；

（2）；抛物线有最高点，，图象开口向下，即％-2<0,结合（1）所得，；M=1,

•••最高点为（0,0）,当x<0时;y随x的增大而增大.

（3）•••函数有最小值，.•.图象开口向上，即k-2>0,

二%=3,...最小值为0,当x<0时，y随x的增大而减小.

【点睛】本题考查了二次函数的定义、待定系数法求解析式、解一元二次方程以及二次函数图像的性质;

解决本题的关犍在于知道二次函数的表达形式，用待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数图像的性质.

知识点2-3二次函数y=a（尤-蜘+左（存0）的性质

1）二次函数T五+bx+c（存0）过配方，可得y=a（x—0）2+左（分0）的形式

②开口：a>0,开口向上；（7<0,开口向下

③顶点：（力，k）,顶点纵坐标产上为函数最值（最大值或最小值）

④对称轴：关于户/?对称

⑤开口大小：|。|越大，开口越小

⑥增减性：。>0时，当x</z时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大。

〃<0时，，当时、y随x的增大而增大；当时，y随x的减小而减小。

⑦关系：当刀=0,"0时，y=a{x—h）2+k（存0）即为丫=卬？（a/0）形式

即：通过平移），=O?Q和）可得到y=q（x—〃）2+左（在0）（形状不变，开口不变）

在图形平移过程中，可以通过特殊点（如顶点）分析平移过程：向左或右平移同，向上或下平移同。其中，

“左加右减，上加下减”。

1.（2021•江苏九年级一模）二次函数y=（x+l）2-2的图像的顶点坐标是（）

A.（1,-2）B.（1,2）C.（―1,—2）D.（—1,2）

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可.

【详解】解：•••抛物线产（x+l）2-2,.•.抛物线），=（x+l）2-2的顶点坐标为：（-1,-2）,故选:C.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的顶点式为y=a（x-左）2+〃，则抛物线的对称

轴为宜线x=Z,顶点坐标为（攵，h）.

2.（2021•浙江绍兴市♦中考真题）关于二次函数y=2（x-4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）

A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值6

【答案】D

【分析】根据二次函数y=2（x-4y+6的解析式，得到。的值为2,图象开口向上，函数有最小值，根据

定点坐标（4,6）,即可得出函数的最小值.

【详解】解：•••在二次函数y=2（x-4）2+6中，“=2>0,顶点坐标为（4,6）,

.••函数有最小值为6.故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐

标求出最值.

3.（2021•四川成都市•九年级二模）下列关于二次函数y=4（x—3）2-5的说法，正

确的是（）

A.对称轴是直线x=-3B.当x=3时有最小值-5

C.顶点坐标是（3,5）D.当x>3时，y随x的增大而减少

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】解：由二次函数y=4（x-3）2-5可知对称轴是直线x=3,故选项A错误，不符合题意；

由二次函数y=4（x—3）2—5可知开口向上，当％=3时有最小值-5,故选项B正确，符合题意；

由二次函数y=4（x—3『—5可知顶点坐标为（3,-5）,故选项C借误，不符合题意；

由二次函数y=4（x—3）2—5可知顶点坐标为（3,-5）,对称轴是直线x=3,当x<3时，y随x的增大而

减小，故选项。错误，不符合题意；故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性.

4.（2021•河南驻马店市•九年级一模）设A（2,y）,8（3,%），C（T,%）是抛物线y=3（x-l『+&图象上

的三点，则%，y2,%的大小关系为（）

A.%>>2>XB.y3>y,>y2c.y2>yt>y3D.%>%>%

【答案】A

【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可.

【详解】解：•••抛物线y=3（x-l『+Z的开口向上，对称轴是直线产1,.•.当x>l时，y随x的增大而增大，

.•・C（T,%）关于直线41的对称点是（6,%），：2<3<6,...%>%>%•故选A.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质.熟记二次函数的性质是解题的关键.

5.（2021•天津九年级二模）二次函数y=—（x—l）2+5,当加WxW〃且〃切<（）时，y的最小值为5m,最

大值为5n,贝心篦+几的值为（）

A.0B.-1C.-2D.-3

【答案】D

【分析】由机WxW"口.m"<0可得“<0V〃，根据题意画出函数图像，根据图像分情况讨论；当机<〃<1

时，y随x的增大而增大，可得当x=m时y有最小值，当％=〃时y有最大值，代入并验证；当

时分两种情况：当x=m时y有最小值，当X=1时y有最大值，或当X=1时y有最大值，当X=及时y有

最小值，得出符合情况的值即可得出答案.

【详解】解：如图，二次函数y=-（x-l>+5的大致图像如下：

目.〃加<0时，:.m<0<n,

①当"2<力<1时，y随x的增大而增大，

.•.当x〃时)?有最小值，即：-(m-1)2+5=5m,解得：帆=-4或，%=1(舍去)；

当％=”时y有最大值，即：—(〃—iy+5=5〃，解得：〃或〃=1(均不符合题意，舍去)；

②当〃时，当尤=加时y有最小值，即：—(?n—1)2+5-5m,解得：机=-4或加=1(舍去)；

当x=l时y有最大值，即：-(1-1)2+5=5/1,解得：〃=1,

或：当尤=1时y有最大值，即：-(1-1)2+5=5«,解得：〃=1,

当％=〃时y有最小值，BP：—(〃—1『+5=5相，将〃=1代入解得：团=5,

，...此种情形不合题意；二加=Y，n=lm+n--4+l--3；故答案选：D.

【点睛】本题考查二次函数的图像及其性质，熟练掌握二次函数的增减性，先判断在取值范围内的最大值

及最小值在何处取得，再代入求解；熟练掌握分析函数最值的方法是本题解题关键.

6.(2020•浙江九年级期中)已知抛物线y=a(x—21+1经过点A(m，x),3(加+2,%)，若点4在抛物线

对称轴的左侧，且1<X<%，则m的取值范围是()

A.0<加<1B.0<m<2C.\<m<2D.m<2

【答案】C

【分析】根据题目中的抛物线，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据题意，可知点A和点B在对称轴两

侧，从而可以得到”的取值范围，本题得以解决.

【详解】解：：y=a(x—2y+l,必>X>1，，抛物线开口向下，有最小值1，对称轴为直线产2,

.•.在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大,

VA（m,yt）,B（〃?+2,%），，点A在点8左侧，

加+（+2）

•.•点A在对称轴左侧，且；•点8在对称轴右侧，.*---------------^>2,A2w+2>4,

2

TA在对称轴左侧，.♦.,〃<2,<加<2.故选C.

【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二

次函数的性质解答.

7.（2020•浙江九年级期中）已知点4（1,%）,3（3,%）在二次函数y=a（x—w）2+A（a<0）的图象上，当

%.见时，则，”的取值范围是（）

A.in,.1B.2C.m.AD.m..2

【答案】B

【分析】根据函数表达式可得开口方向和对称轴，再根据y2y2,可得关于〃?的不等式，解之即可.

【详解】解：:y=。（％-m）2+攵（。〈0）,・••图像开口向下，对称轴为直线％=加，

:X»M，二A比B更接近对称轴，，|1一机|V|3-时，

**•fn2—2m+1<zn2—6m+9，**-w<2,故选B.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称轴公式，需熟记.

知识点2・4二次函数丁=尔+云+°（"0）（〃邦）的性质

1））=加+加:+。（存0）利用配方法，化简得：y=a（x+—）24-^aC,

2a4a

故以顶点式的形式来看：h=-—,k=^-^-

2a4a

①形状：抛物线形状

②开口方向：a>0,开口向上；a<0,开口向下

③顶点：（-2,±上心］,顶点纵坐标产竺叱为最值（最大值或最小值）

12a4al4a

④对称轴：关于x=-2对称

⑤开口大小：|。|越大，开口越小

⑥增减性：。>0时，当XV-2时，），随X的增大而减小；当x>-2时，），随X的增大而增大。

2a2a

。<0时，，当xV—B't,y随尢的增大而增大；当-■■时，y随R的减小而减小。

2a2a

注：建议学会配方法，若实在无法掌握，则需记住•般式的顶点坐标，在解题过程中直接使用结论即可。

1.（2020•江苏苏州星海实验中学初三零模）对于二次函数〃=那-魏，下列说法正确的是（）

A.当x>0,y随x的增大而增大B.当x=2时，y有最大值一3

C.图像的顶点坐标为（-2,-7）D.图像与x轴有两个交点

【答案】B

1,1,

【解析】二次函数丁=——/+*―4=——（x—2）2—3,

44

所以二次函数的开口向下，当x<2,y随x的增大而增大，选项A错误；

当x=2时，取得最大值，最大值为一3,选项B正确；顶点坐标为（2,-3）,选项C错误；

顶点坐标为（2,-3）,抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，故答案选B.

考点：二次函数的性质.

2.（2021•广东阳江市•九年级二模）将抛物线y=3/向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，

所得到的抛物线的顶点坐标为（）

A.（4,-5）B.（4,5）C.（y5）D.（-4,-5）

【答案】B

【分析】先求出原抛物线顶点坐标，再根据平移得出新抛物线顶点坐标即可.

【详解】解：抛物线y=3丁的顶点坐标为（0,0）,将抛物线y=3/向右平移4个单位长度后，再向上平移

5个单位长度，顶点也如此平移，其顶点坐标为（4,5）,故选：B.

【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题关键是熟练运用抛物线平移规律，确定顶点坐标.

3.（2021•赣州市赣县区教育教学研究室九年级一模）己知一个二次函数图象经过5（2,%），

4（3,%），4（4,”）四点，若%<%<”，则％,%，为，”的最值情况是（）

A.>3最小，弘最大B.%最小，>4最大C.M最小，%最大D.无法确定

【答案】A

【分析】根据题意判定抛物线开口方向向上，对称轴在2.5和3之间，再根据距离抛物线对称轴的距离大小

判断即可；

【详解】•••二次函数图象经过［（1,%）,6（2,%），6（3,%），6（4,%）四点，且为<%<”，

，抛物线开口方向向上，对称轴在2.5和3之间，

6（1，凶）离对称轴的距离最大，6（3,%）离对称轴的距离最小，.•.月最小，必最大；故选A.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键.

4.（2021•湖南中考真题）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：

X-2-101234

y11a323611

由此判断，表中。=.

【答案】6

【分析】根据表格得出二次函数的对称轴为直线％=1,由此即可得.

【详解】解：由表格可知，x=0和x=2时的函数值相等，则二次函数的对•称轴为直线x=°土2=1，

2

因此，x=—1和x=3的函数值相等，即a=6,故答案为：6.

【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

5.（2021•浙江杭州市•九年级期末）若二次函数），=V+2x+Z的图象经过点（l,yj,（-2,%），则X与力的

大小关系为（）

A.弘>必B.，|=必C.>|<必D.不能确定

【答案】A

【分析】分别把户1和户-2代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小.

【详解】解：当x=l时，yi=x2+2x+k=k+3；

当户-2时，）2=/+2%+依k,k+3>k,/.yi>yi.故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

6.（2021•湖北襄阳市•中考真题）一次函数丁=改+。的图象如图所示，则二次函数^=口？+版的图象可

能是（）

【答案】D

【分析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：a<0,心0,由此可知二次函数开口方

向，坐标轴情况，依此判断即可.

【详解】解：观察一次函数图像可知。<0,尻X）,.••二次函数开口向下，

b

对称轴x=--->0,故选：D.

2a

【点睛】本题主要考查•次函数的图像以及二次函数的图像，根据•次函数图像经过的象限以及与坐标轴

的交点情况判断〃、。的正负是解题的关键.

7.（2021•黑龙江佳木斯市•九年级二模）二次函数丁=奴2+必+。3羊（））的图象如图所示，对称轴为％=一1,

【答案】D

【分析】根据二次函数的图象与性质得到。、氏c的符号，再逐一进行判断.

【详解】解：由图知，二次函数的图象开口向上，即a>0，与y轴交于正半轴，即c>0.

对称轴尤=一~—=-1：.h=2ah同号，即人>0.,.a6c>0,故A正确；

2a

由图知，当x=-l时，y<0,:.a-b+c<0,故B正确；

由图知，二次函数图象与轴有两个不同的交点，即〃一4衣>0,故C正确；

无法判断a—c<0,故D错误，故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

8.（2021•西安市•陕西师大附中九年级其他模拟）已知抛物线y=2依+1（。<0）,当一时,

y的最大值为2,则当-1WXW2时，y的最小值为（）

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】D

【分析】根据抛物线的解析式可得其对称轴为直线x=l,从而当x=l时，），有最大值2,此时可求得a的值，

再根据抛物线的增减的性质求得y在所给范围内的最小值.

—2a

【详解】=-----=1,即抛物线的对称轴为直线X=l

2a

.•.当41时，y有最大值，且1在一1WXW2范围内

...a-2a+l=2解得：a=-\BPy=—x1+2x+\

当一1«x<1时，函数值y随x的增大而增大,此时函数在x=-l处取得最小值，且最小值为y=-l-2+l=-2

当l<x42时,函数值y随x的增大而减小，此时函数在x=2处取得最小值,且最小值为y=T—2x2+l=l

..当-1WXW2时，y的最小值为-2故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的增减性质、求函数解析式，关键是确定抛物线的对称轴，根据对称轴的位

置便可确定函数的增减的范围，解答函数在某个自变量的范围的最值问题时，最好借助图象，利用数形结

合的思想能帮助解决问题.

9.（2021•山东威海市•九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2—2x+）t+l=0的两个实数根是玉,x2,

那么一X]—W-的最大值是-

【答案】-2

【分析】根据根与系数的关系求出王和玉+Z的值，代入一百一Z—（玉工2『，然后根据二次函数的性质

求解即可.

【详解】解：；一元二次方程2%+攵+1=0的两个实数根是芭/2，

112

芭•x2-k+1,玉+々=2，一百一X2-（玉々7=-2-/+>

...当:-1时，一百一为2—（玉龙2）2取得最大值-2.故答案为：-2.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握各知识点是解答本题

的关键.

10.（2021•浙江金华市•九年级一模）如图，二次函数y=4℃的图象与X轴交于O,A两点.

（1）求点A的坐标和此二次函数的对称轴.

（2）若尸，。在抛物线上且P（，几%）,Q（〃,y°）.当=5时，力>“.求用的取值范围.

【答案】（1）A（4,0）,1=2；（2）m>一一.

2

【分析】（1）先计算二次函数的对称轴，再利用抛物线的对称性解题即可；

1

（2）把P（m,yp）,Q（n,"）分别代入二次函数y=av?-4or中，由力>“得到a席一4am>an-Aan.

再结合图象知。<0,整理得（〃—m）（4—相―〃）<0,结合已知条件〃一机=5,代入解题即可.

h—4/7

【详解】解：（1）二次函数图象的对称轴为：x=——=——-=2

2a2a

二次函数y=62—46的图象与x轴交于。，A两点,由对称性可知4（4,0）；

（2）把P（巾,力）,Q（凡）分别代入二次函数y=加一4or中得，

12

yP=anr-4am,yQ=an-4an-/yP>yQairr-4am>an-4an

整理得，a（m2-4m）>a（n2-4n）由抛物线开口向下得a<0

m2-4m<rr-4nm2-4m-n2+4n<0,（加+〃）（加一〃）+4（〃-加）<0-m）（4-m-n）<0

vn-m=5.\4—m—n<0\-n=5+m.*.4—m—5—m<01―・m>一■-.

2

【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、一元一次不等式的解法、整体思想等知识，是重要考点，难度

一般，掌握相关知识是解题关键.

知识点2-5二次函数性质总结

二次函数的图像及性质

一般式顶点式交点式

22

函数表达式y=ax++cy=a(x—h)+ky=a(x-x{)(x-x2)

开口方向：当。＞0时，开口向」一，当。＜0时，开口向下.

开口

开口大小：时越大，开口越小；1越小，开口越大。

b

对称轴x=---x=h厂.+.

2a2

(b4ac-b2}f-y,+x伞

顶点坐标(/?,k)2

[2a4a)2'4

\/

当a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而j亶

大，函数有最小值丝匕乏；

增减性4a

及最值

当。＜0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大,在对称轴的右侧，y随x的增大而减

小，函数有最大值处世.

4a

补充：表格中：交点式中出现的XI,X2是指二次函数与x轴的交点的横坐标.

对称性点性质：若4（和其）与8（心力）是抛物线上的点，且关于对称轴广〃对称，则

反之，若与3（々,力）是抛物线上的点，且满足y=%，则抛物线的对称轴为产土产。

1.（2021•陕西中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数），的几组对应值：

X-2013

y6-4-6-4

下列各选项中，正确的是

A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点

C.这个函数的最小值小于-6D.当x＞l时，y的值随x值的增大而增大

【答案】C

【分析】利用表中的数据，求二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断.

【详解】解：设二次函数的解析式为丁=奴2+"+以

4。一2。+c=6a=1

3?25

依题意得：c=-4,解得：<b=-3,.•.二次函数的解析式为y=f—3x—4=x——-----

24

a+b+c=-6c=-4

・・・〃=1>0,・・・这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；

A=Z?2-4ac=（-3）2-4xlx（-4）=25>0.

•••这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故8选项不符合题意：

325

•••。=1>0，.•.当x=一时，这个函数有最小值——<-6,故C选项符合题意：

24

325

•.•这个函数的图象的顶点坐标为（一，一一），

24

3

.•.当x>5时，y的值随x值的增大而增大，故。选项不符合题意；故选：C.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答

是解题关键.

19

2.（2020•南京玄武外国语学校初三期末）对于抛物线），=-2（1+1）-+3,下列结论：①抛物线的开口向

下；②对称轴是过（1,0）且平行于y轴的直线；③顶点坐标为（一1,3）；④XW-2时，y随X的增大而增大，

其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据二次函数图象的性质逐个判定即可.

【解析】①-L<0则抛物线的开口向下，正确；②抛物线的对称轴为x=—l,所以对称轴是过（一1,0）且

2

平行于y轴的直线，错误；③因顶点在对称轴上，即顶点的横坐标为-1，代入函数解析式得纵坐标为3,

即顶点坐标为（—1,3）,正确：④当尤<一1时，y随x的增大而增大，因此xW—2时，y随x的增大而增大，

正确；综上，正确的有3个；故答案为：C.

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟记二次函数图象的性质是解题关键.

3.（2020•江苏扬州初三期末）抛物线y=/+2x+3与），轴的交点为（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（0,3）D.（3,0）

【答案】C

【分析】令x=0,则y=3,抛物线与y轴的交点为（0,3）.

【解析】解：令x=0,则y=3,.•.抛物线与y轴的交点为（0,3）,故选：C.

4.（2020•河南省初三月考）已知某二次函数的图象与X轴相交于A，8两点.若该二次函数图象的对称轴

是直线x=3,且点4的坐标是（8,0）,则A8的长为（）

A.5B.8C.10D.11

【答案】C

【分析】根据抛物线关于对称轴轴对称可知A，B两点关于对称轴直线x=3对称，据此可求出AB的氏.

【解析】♦.•二次函数的图象与X轴相交于A，B两点，对称轴是直线龙=3,

A，5两点关于对称轴直线x=3对称，

•••4的坐标是（8,0）,...3的坐标是（一2,0）,.・.48=8-（—2）=1（）.故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图像与x轴交点的坐标问题，注意抛物线的对称性是解题的关键.

5.（2020•河北省初三期末）小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函数y=/-4x+5的值的情况，他们

作了如下分工：小明负责找函数值为1时的x值，小亮负责找函数值为0时的x值，小梅负责找最小值，小

花负责找最大值.几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（）

A.小明认为只有当x=2时，函数值为1；B.小亮认为找不到实数x,使函数值为0；

C.小花发现当x取大于2的实数时，函数值>随x的增大而增大，因此认为没有最大值；

D.小梅发现函数值y随x的变化而变化，因此认为没有最小值

【答案】D

【分析】根据二次函数的最值及图象上点的坐标特点回答即可.

【解析】因为该抛物线的顶点是（2,1）,所以正确；根据二次函数的顶点坐标，知它的最小值是1,所以正

确；根据图象，知对称轴的右侧，即％>2时，y随x的增大而增大，所以正确；

因为二次项系数1>0,有最小值，所以错误；故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与最值问题，准确分析是解题的关键.

6.（2020•江苏省中考真题）下列关于二次函数y=—（x—加了+加2+1（〃?为常数）的结论，①该函数的

图象与函数y=的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0,1）；③当x>0时，y随x的增大而减

小；④该函数的图象的顶点在函数y=f+l的图像上，其中所有正确的结论序号是.

【答案】①②④

【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当x=0时，y

的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数y=-(x-/n)2+机2+1的顶点坐标，再

代入函数y=/+l进行验证即可得.

【解析】•.•当相＞0时，将二次函数y=-f的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移机2+1个单位

长度即可得到二次函数y=—(x—加了+加2+1的图象；当相＜0时，将二次函数＞=一一的图象先向左平

移一加个单位长度，再向上平移机2+1个单位长度即可得到二次函数y=_(x-m)2+加2+1的图象

...该函数的图象与函数y=的图象形状相同，结论①正确

对于y=-(x-加y+机2+1当x=0时，y--(0-m)2+m2+1=1

即该函数的图象定经过点(0,1),结论②正确

由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当X〉机时，y随x的增大而减小

则结论③错误

y=-(x-/w)2+m2+1的顶点坐标为(a,，”？+1)对于二次函数y=