初中数学八年级上册 数序活动 探寻“勾股数”省赛一等奖

数序活动探寻“勾股数”勾股数:像(3)(4)中能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股(弦)数.

判断由线段a，b，c组成的△ABC是不是直角三角形：（1）a＝2，b＝3，c＝4；（2）a＝3，b＝10，c＝13；（3）a＝3，b＝4，c＝5；（4）a＝12，b＝5，c＝13.一、情境创设:你知道哪些勾股数?勾股数满足什么规律？我们把勾股数组3、4、5记为（3、4、5），类似地，还可以得到下列勾股数组

（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第五组勾股数。（2）第n个勾股数组为（2n+1,x,y)，用n表示x,y。（3）请证明你所发现的规律。（3、4、5），（5、12、13），（7、24、25），（9、40、41）…

等等，这些数组也叫毕达哥拉斯数组。

二、探索活动1：毕达哥拉斯数组:(2n+1,2n²+2n,2n²+2n+1)毕达哥拉斯数组:(2n+1,2n²+2n,2n²+2n+1)二、探索活动1：结论：任意一个大于1的奇数n,存在着勾股数:(n,m,m+1)观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：1．直角三角形较短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。2．直角三角形的较短直角边的平方等于另两边的和。nabc1345251213372425…………n⑴请你观察a,b,c与n之间的关系：

a=______,b=______,c=_______.⑵猜想：以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形？并说明你的猜想。练习：2n+12n²+2n2n²+2n+1我们把勾股数组3、4、5记为（3、4、5），类似地，还可以得到下列勾股数组:

（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第五组勾股数。（3）请证明你所发现的规律。（6、8、10），（8、15、17），（10、24、26），（12、35、37）…

等等，这些数组也叫柏拉图数组。

三、探索活动2：（2）第n个勾股数组为（2n,x,y)，用n表示x,y。柏拉图数组:(2n,n²-1,n²+1)三、探索活动2：柏拉图数组:(2n,n²-1,n²+1)结论：任意一个大于4的偶数n,存在着勾股数:

(n,m,m+2)nabc368104815175102426…………n⑴请你观察a,b,c与n之间的关系：

a=______,b=______,c=_______.⑵猜想：以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形？并说明你的猜想。练习：2nn²-1n²+1(1)已知(a，b，c)是勾股数，试说明：当k为正整数时，(ka，kb，kc)也是勾股数。四、探索活动3：(2)如果△ABC的三边长分别为a,b,c且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数）则△ABC是直角三角形吗？

解：∵a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数）∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2∴△ABC是直角三角形。

被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图在研究二次不定方程时，对勾股数作了一番探讨。他发现不论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子，都没能给出全部勾股数组，于是他给出了全部解的公式。四、探索活动3：如图1，已知四边形ABCD是长方形,AC为对角线，则有AB²十BC²=AC²，即AB、BC、AC满足勾股定理。如图2，ABCD-A1B1C1D1是长方体。图1中的线段AB、BC、AC分别对应图2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1。若长方体的面ABB1A1、面BCC1B1，、面ACC1A1

的面积分别用α、β、γ表示，则是否有α²+β²=γ²仍然成立？请说明理由。五、活动创新：（2）是否存在这样的3个整数a、b、c满足a³+b³=c³？你能进行一番探索吗？试一试。

从代数的角度看勾股数,就是考察方程：x²+y²=z²的正整数解,古代中国人发现了”勾三股四弦五”,古希腊人找到了这个方程的全部整数解.17世纪,法国数学家费马提出猜想:当n≥３时，方程

xn+yn=zn

无正整数解，围绕着这个看似简单的费马大定理，一批杰出的数学家，如欧拉，柯西，伽罗华，还有维尔斯，他们前赴后继用了整整358年才最后完成这项证明．

费马大定理被人比作数论中的“喜马拉雅山的顶峰”。

五、活动创新：六、课堂小结：(1)已知(a，b，c)是勾股数，当k为正整数时，

(ka，kb，kc)也是勾股数。(2)毕达哥拉斯数组：(2n+1,2n²+2n,2n²+2n+1)

（2n+1）²+（2n²+2n）²=（2n²+2n+1）²(3)柏拉图数组：(2n,n²-1,n²+1)

（2n）²+（n²-1）²=（n²+1）²(3)丢番图数组：（m²-n²,b=2mn,c=m²+n²）（m²-n²）²+（2mn）²=（m²+n²）²本节课你有哪些收获？体会了哪些思想方法？勾股数有趣的性质1.勾股数中的三个数不能全是奇数.2.勾股数里的三个数要么全是偶数，要么只有一个偶数.3.