初中数学八年级下册 三角形的中位线“衡水杯”一等奖

9.5三角形的中位线复习三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。图形及符号语言：∵D,E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE﹦BC中点四边形的定义顺次连接四边形各边中点所得的四边形，称为该四边形的中点四边形1、特殊四边形的“中点四边形”（1）画图：剪下实验手册附录8最右侧一列分别画有平行四边形、矩形、菱形、正方形的透明纸片，分别画出这些特殊四边形的“中点四边形”。（2）猜想：平行四边形、矩形、菱形、正方形的“中点四边形”分别是那种特殊的四边形？（3）验证：通过折纸，验证所画的“中点四边形”与（2）中的猜想是否一致。结论四边形中点四边形平行四边形矩形菱形正方形平行四边形

菱形矩形正方形2、一般四边形的“中点四边形”（1）画图：剪下附录8中其余8张透明纸片，分别画出它们的“中点四边形”（2）猜想：（1）中所画的“中点四边形”分别是哪种特殊的四边形？（3）验证：通过折纸，验证所画的“中点四边形”与（2）中的猜想是否一致。（4）思考：借助刻度尺、量角器等工具分别度量（1）中的四边形的边、角、对角线。你有什么发现？3、计算机模拟操作中点四边形1.gsp结论：四边形中点四边形平行四边形矩形菱形正方形一般四边形对角线互相垂直对角线相等对角线相等且互相垂直证明你的结论1、已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。证明：连接AC、BD∵E、F、G、H分别是AB、AD的中点∴EH∥BD,FG∥BD∴EH∥FG同理：EF∥HG∴四边形ABCD是平行四边形思考：你还有其他的证明方法吗？连接AC、BD构造三角形中位线的基本图形2、已知：如图，在四边形ABCD中，AC=BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是菱形。证明：∵E、F、G、H分别是AB、AD的中点∴EH=AC,EF=BDFG=BD,HG=AC又∵AC=BD∴EH=EF=FG=HG∴四边形ABCD是菱形请你完成另一种证明方法。可以先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组邻边相等；也可以证明它的四条边都相等。3、已知：如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是矩形证明：∵E、F、G、H分别是AB、AD的中点∴EH∥BD,FG∥BD∴EH∥FG同理：EF∥HG∴四边形ABCD是平行四边形∵EH∥BD，HG∥AC∴∠EJI=∠AID,∠EHG=∠EJI∴∠EHG=∠AID∵AC⊥BD∴∠AID=900∴∠EHG=900∴平行四边形EFGH是矩形由上可知四边形EFGH为平行四边形，所以只需证有一个角等于900即可由题知：四边形KIHJ是四边形FBCG的中点四边形，所以四边形KIHJ的形状取决于四边形FBCG的对角线FC、BG是否相等，是否垂直。5、拓展延伸证明：连接FC、BG交于点M∵正方形ABEF、ACDG∴AB=AF,AC=AG∠FAB=∠CAG=900∴∠FAC=∠GAB∴△FAC≌△BAG∴FC=BG,∠AFC=∠ABG∵∠FAB=900∴∠BFA+∠ABF=900∴∠MFB+∠FBM=900∴∠FMB=