第12章-线性回归分析

第九章

线性回归分析授课教师：杨卫华博士主要内容★1一元线性回归2多元线性回归3逐步回归4虚拟解释变量问题5用SPSS处理经典回归问题6曲线回归与SPSS的应用第一节

一元线性回归什么是回归分析？

(Regression)从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式；对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著；利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度；回归分析与相关分析的区别相关分析中，变量x

变量y处于平等的地位。回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的地位；x称为自变量，用于预测因变量的变化；相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量。回归分析中，因变量y是随机变量；自变量x

可以是随机变量，也可以是确定变量；相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度。回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制；两者都可以用来寻找影响事物变化的关键因素，但方差分析的关键因素（即解释变量）需要设计为定类变量，而回归分析的关键因素可以是刻度级、定序级和定类级变量；方差分析的被解释变量是刻度级变量，而回归分析的被解释变量可以是刻度级、定序级和定类级变量；回归分析可以确定解释变量和被解释变量之间的函数关系；回归分析与方差分析的区别回归模型的类型回归分析的一般步骤重点内容一元线性回归涉及一个自变量的回归；因变量y与自变量x之间为线性关系；被预测或被解释的变量称为因变量(dependentvariable)，用y表示。用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independentvariable)，用x表示。因变量与自变量之间的关系用一条线性方程来表示；一元回归的例子人均收入是否会显著影响人均食品消费支出；贷款余额是否会影响到不良贷款；航班正点率是否对顾客投诉次数有显著影响；广告费用支出是否对销售额有显著影响；人均收入是否会显著影响人均食品消费支出先绘制散点图Y轴存放被解释变量X轴存放解释变量一元线性回归模型描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项

的方程称为回归模型一元线性回归模型可表示为

y=b0+b1x+ey是x的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化误差项

是随机变量反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性

0和

1称为模型的参数一元线性回归模型

(基本假定)

误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。对于一个给定的x值，y的期望值为

E(y)=

0+

1x对于所有的x值，ε的方差σ2都相同误差项协方差等于零，即εi和εj相互独立（i≠j）；误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即ε~N(0,σ2)回归方程

(regressionequation)描述y的平均值或期望值如何依赖于x的方程称为回归方程；一元线性回归方程的形式如下：

E(y)=

0+

1x方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程；

0是回归直线在y轴上的截距，是当x=0时y的期望值；

1是直线的斜率，称为回归系数，表示当x每变动一个单位时，y的平均变动值；估计的回归方程

(estimatedregressionequation)一元线性回归中估计的回归方程为：用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，就得到了估计的回归方程；总体回归参数和

是未知的，必需利用样本数据去估计；其中：是估计的回归直线在y

轴上的截距，是直线的斜率，它表示对于一个给定的x

的值，是y

的估计值，也表示x

每变动一个单位时，y的平均变动值。普通最小二乘法估计

（OLS：OrdinaryLeastSquare)使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得和的方法。即用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小最小二乘估计

(图示)

xy(xn

,yn)(x1,y1)

(x2,y2)(xi,yi)｝ei

=yi-yi＾最小二乘法

(

和的计算公式)

根据最小二乘法的要求，可得求解和的公式如下变差因变量

y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面：由于自变量x的取值不同造成的；除x以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响；对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差

来表示。变差的分解

(图示)

xyy{}}

回归方程统计检验的主要内容离差平方和的分解

(三个平方和的关系)

SST=SSA+SSE总平方和(SST){回归平方和(SSA)残差平方和(SSE){{离差平方和的分解

(三个平方和的意义)总平方和(SST)反映因变量的n个观察值与其均值的总离差；回归平方和(SSA)反映自变量x的变化对因变量y取值变化的影响，或者说，是由于x与y之间的线性关系引起的y的取值变化，也称为可解释的平方和；残差平方和(SSE)反映除x以外的其他因素对y取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和；判定系数R2

(coefficientofdetermination)回归平方和占总离差平方和的比例反映回归方程的拟合程度；取值范围在[0,1]之间；

R2

1，说明回归方程拟合的越好；R2

0，说明回归方程拟合的越差；一元线性回归中，判定系数等于y和x相关系数的平方，即R2＝(r)2；线性关系的检验检验所有自变量与因变量之间的线性关系是否显著；将回归均方(MSA)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著；回归均方：回归平方和SSA除以相应的自由度(自变量的个数p)；残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-p-1)。线性关系的检验

(检验的步骤)

提出假设H0：

1=0所有回归系数与零无显著差异，y与全体x的线性关系不显著计算检验统计量F确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F

作出决策：若F>F

,拒绝H0；若F<F

,不能拒绝H0线性关系的检验

(sig值检验)Sig值小于预设的显著性水平a，拒绝零假设，认为所有回归系数与零存在显著差异，被解释变量y与解释变量x的线性关系显著，可以用线性模型描述它们之间的关系；Sig值大于预设的显著性水平a，不应拒绝零假设，说明用线性模型描述x和y之间的关系是不恰当的。检验回归方程中的每个解释变量x与被解释变量y之间是否存在显著的线性关系；研究解释变量能够有效地解释被解释变量的线性变化，解释变量能否保留在线性回归方程中。回归系数的显著性检验回归系数的检验

(样本统计量的分布)

是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布；的分布具有如下性质分布形式：正态分布数学期望：标准差：由于未知，需用其估计量sy来代替得到的估计的标准差回归系数的检验

(检验步骤)

提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1

0(有线性关系)计算检验的统计量确定显著性水平，并进行决策

t>t

，拒绝H0；t<t

，不能拒绝H0Sig值小于a，拒绝H0残差

(residual)因变量的观测值与根据估计的回归方程求出的预测值之差，用ei表示反映了用估计的回归方程去预测而引起的误差；确定有关误差项

的假定是否成立；如果回归方程能较好反映被解释变量的变化规律，则残差序列中不应包含明显的规律性和趋势性。残差分析的内容分析残差是否为服从均值为0的正态分布；分析残差序列是否独立；分析残差是否为等方差的正态分布（也叫异方差分析）；探测样本中的异常值和强影响点。残差均值为0的正态性分析当x取特定值x0时，对应的残差有正有负，所以总体上服从均值为0的正态分布。残差的独立性分析残差序列应满足表示残差序列的前期和后期数值之间不存在相关关系，即不存在自相关。残差序列存在自相关会导致回归系数显著性检验的t值偏高，容易拒绝零假设，使本不应该留在回归方程中的自变量被保留下来，造成回归模型的预测偏差较大。残差独立性分析的三种方法第一，绘制残差序列图tete残差随着时间推移呈现有规律的变化，表明残差序列存在一定的自相关。残差独立性分析的三种方法第二，计算残差的自相关系数自相关系数在-1到1之间，其绝对值越大，表明自相关程度越强；第三，DW（Durbin-Watson)检验推断小样本序列是否存在一阶自相关的统计检验方法；DW取值在0~4之间。024完全正自相关完全负自相关无自相关正自相关负自相关残差序列存在自相关表明：回归方程中遗漏了一些重要的解释变量；自变量的取值具有滞后性；回归模型选择不合适，不应选用线性模型。异方差分析无论x取什么值，对应残差的方差都应相等，如果残差发生相应变化，认为出现了异方差现象；异方差现象容易使本不应保留在方程中的自变量被保留下来；异方差分析的两种方法：绘制残差图等级相关分析异方差时的残差图通过等级相关分析检验异方差现象计算残差和解释变量x之间的Spearman等级相关系数；Sig值小于显著性水平a，认为解释变量和残差之间存在显著的相关关系，出现了异方差现象。探测样本异常值和

强影响点的方法样本异常值和强影响点是指那些远离均值的样本点；对回归方程的参数估计有较大影响；应尽量找出并剔除。常用的探测异常值和强影响点的方法：标准化残差；学生化残差；剔除残差；杠杆值；库克距离。对y中异常值的探测方法对x中异常值的探测方法标准化残差

(standardizedresidual)残差除以它的标准差后得到的数值。计算公式为

Sei是第i个残差的标准差，其计算公式为

绝对值大于3的Zei对应的样本值为异常值学生化残差学生化残差hi是第i个样本的杠杆值SREi绝对值大于3时，对应的y的观察值为异常值。剔除残差在计算第i个样本残差时，用剔除该样本后剩余的n-1个样本拟合回归方程；然后用该方程计算第i个样本的预测值和相应的残差；该残差和第i个样本y的取值无关，称为剔除残差；剔除学生化残差的绝对值大于3对应的y的观察值为异常值。杠杆值第i个样本的杠杆值：杠杆值hi较高说明对应的xi远离均值，会强烈影响回归方程，是一个强影响点；库克距离库克距离p为解释变量的个数库克距离大于1，认为对应的x为强影响点。利用回归方程进行估计和预测根据自变量x

的取值估计或预测因变量y的取值估计或预测的类型点估计y的平均值的点估计y的个别值的点估计区间估计y的平均值的置信区间估计y的个别值的预测区间估计第二节

多元线性回归多元回归模型

(multipleregressionmodel)一个因变量与两个及两个以上自变量的回归；描述因变量y如何依赖于自变量x1

，x2

，…，

xp

和误差项

的方程，称为多元回归模型；涉及p个自变量的多元回归模型可表示为

b0

，b1，b2

，，bp是参数

是被称为误差项的随机变量

y是x1,，x2

，

，xp

的线性函数加上误差项

包含在y里面但不能被p个自变量的线性关系所解释的变异性多元回归模型

(基本假定)

误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(

)=0；对于自变量x1，x2，…，xp的所有值，

的方差

2都相同；误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，即ε~N(0,

2)，且相互独立；多元回归方程

(multipleregressionequation)描述因变量y的平均值或期望值如何依赖于自变量x1，x2

，…，xp的方程多元线性回归方程的形式为

E(y)=

0+

1x1

+

2x2

+…+

pxp

b1，b2，，bp称为偏回归系数

bi

表示假定其他变量不变，当xi

每变动一个单位时，y的平均变动值二元回归方程的直观解释二元线性回归模型(观察到的y)回归面

0

ix1yx2(x1,x2)}参数的最小二乘法求解各回归参数的标准方程如下使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得

。即修正多重判定系数

(adjustedmultiplecoefficientofdetermination)

用样本容量n和自变量的个数p去修正R2得到计算公式为避免增加自变量而高估R2意义与R2类似数值小于R2估计标准误差Sy对误差项

的标准差

的一个估计值衡量多元回归方程的拟合优度计算公式为线性关系检验提出假设H0：

1

2

p=0线性关系不显著H1：

1，

2，，

p至少有一个不等于0计算检验统计量F确定显著性水平和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出临界值F

作出决策：若F>F

，拒绝H0回归系数的检验

(步骤)提出假设H0：bi=0(自变量xi与

因变量y没有线性关系)H1：bi

0(自变量xi与

因变量y有线性关系)计算检验的统计量t确定显著性水平，并进行决策

t>t

，拒绝H0；t<t

，不能拒绝H0多元回归分析中的其他问题变量的筛选问题回归方程中到底引入多少解释变量x；变量的筛选策略向前筛选策略（Forward）；向后筛选策略（Backward）；逐步筛选策略（Stepwise）。向前筛选策略（Forward）解释变量x不断进入回归方程的过程；首先，选择与y具有最高线性相关系数的变量进入方程，进行回归方程的各种检验；然后，在剩余变量中寻找与当前解释变量偏相关系数最高且通过检验的变量进入方程；该过程一直重复，直到用尽所有的自变量。向后筛选策略（Backward）变量不断剔除出回归方程的过程；首先，所有自变量全部引入回归方程，对回归方程进行检验；然后，在回归系数显著性不高的变量中，剔除t检验值最小的自变量，重新检验新的回归方程；如果新建回归方程中所有变量的回归系数检验都显著，则回归方程建立结束。否则重复第二步，直到再没有可剔除的变量。逐步筛选策略（Stepwise）也叫逐步回归在向前筛选策略的基础上，结合向后筛选策略，在每个变量进入方程后再次判断是否存在应该剔除出方程的变量。多重共线性

(multicollinearity)回归模型中两个或两个以上的自变量彼此相关的现象。多重共线性带来的问题有回归系数估计值的不稳定性增强；回归系数假设检验的结果不显著等。多重共线性检验的主要方法容忍度方差膨胀因子（VIF）容忍度容忍度Ri是解释变量xi与方程中其他解释变量间的复相关系数；容忍度在0~1之间，越接近于0，表示多重共线性越强，越接近于1，表示多重共线性越弱。方差膨胀因子方差膨胀因子是容忍度的倒数VIFi越大，特别是大于等于10，说明解释变量xi与方程中其他解释变量之间有严重的多重共线性；VIFi越接近1，表明解释变量xi和其他解释变量之间的多重共线性越弱。第四节

虚拟解释变量问题虚拟自变量

(dummyvariable)也叫“哑变量”，是指测度级别为名义级和序次级的自变量。虚拟自变量可有不同的水平只有两个水平的虚拟自变量比如，性别(男，女)有两个以上水平的虚拟自变量贷款企业的类型(家电，医药，其他)只有两个水平的虚拟自变量虚拟变量的取值为0，1是二值名义级变量虚拟变量X2从0变为1时，在其他自变量不变的情况下X2对Y的边际贡献。有两个以上水平的虚拟自变量若虚拟变量具有s个水平，则需要设置s-1个二值虚拟变量；例如如果X2取值是a，b，c三种激励方案，则虚拟变量设置为：X2从c变为a的边际贡献即从所有虚拟变量为0的状态，变为该虚拟变量为1时的边际贡献虚拟变量是定序级变量可以把该定序级变量当作刻度级变量，前提是在定序级变量的各个等级上的区间跨度大致是相同的（例如Likert量表）；可以把该定序级变量当作定类变量，前提是在定序级变量的各个等级上的区间跨度相差很大。收入（千元）0~22~44~66~88~1010~1212以上等级1234567可以当作刻度级变量做回归分析收入（千元）0~11~33~66~1010~1212~1616以上等级1234567不适宜当作刻度级变量做回归分析第五节

用SPSS处理经典回归问题一元回归：自变量强行

进入的回归使用SPSS的“Analyze→Regression→linear”模块分析数据文件：CH9回归人均食品支出.sav回归方程因变量被解释变量Y自变量解释变量X解释变量的筛选策略Enter所选变量强行进入回归方程；Remove从回归方程中剔除所选变量；Stepwise逐步回归策略；Backward向后筛选策略；Forward向前筛选策略；回归分析的各种统计量输出回归系数、回归系数标准误差、标准化回归系数、回归系数显著性检验输出判定系数、修正的判定系数输出每个非标准化回归系数的95%的置信区间多重共线性检验残差分析回归方程的拟合优度检验一元回归只需要看此项即可模型的总体拟合情况良好DW值为2.773，残差不具有自相关回归方程的显著性检验SSTSSESSASig值小于显著性水平，拒绝回归方程显著性检验的零假设，认为各回归系数不同时为零。回归系数及显著性检验非标准化的回归系数回归系数的标准误差标准化回归系数常数项“Constant”的sig值大于显著性水平a，表明常数项与零没有显著差异；解释变量“人均收入”的sig值小于显著性水平a，表明该解释变量的回归系数与零有显著差异；回归方程：多元回归：自变量全部强行

进入的回归使用SPSS的“Analyze→Regression→linear”模块分析数据文件：CH9回归人均食品支出.sav多元回归分析回归统计检验、多重共线性检验、残差分析等多重共线性检验大于3倍标准差为异常值输出所有观察残差输出残差分析的图形DEPENDENT表示被解释变量；ZPRED表示Y的标准化预测值；；ZRESID表示标准化残差；DRESID表示剔除残差；ADJPRED表示调整的预测值；SRESID表示学生化残差；SDRESID表示剔除学生化残差；绘制标准化残差序列的直方图绘制标准化残差序列的正态分布累计概率图X轴Y轴将回归分析的结果以SPSS变量的形式保存在数据编辑窗口中。库克距离杠杆值被解释变量的各种预测值各种残差的值进入模型的变量说明回归方程的拟合优度检验