数学-第二章 相交线与平行线B卷压轴题考点训练（解析版）

第二章相交线与平行线B卷压轴题考点训练1．若a，b，c分别为三角形的三边，化简：＝_____．【答案】【详解】解：∵a，b，c分别为三角形的三边，∴，，，∴，，，∴原式，故答案为：．2．已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的底角度数为___________度．【答案】或【详解】解：分两种情况讨论：①若，如图1所示：，，，，；；②若，如图2所示：同①可得：，；

，综上所述，底角的度数为或，故答案为：或．3．ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=40°，∠CAD=30°，则∠BAC=__________．【答案】70°或10°【详解】解：分为两种情况：①如图1，∵∠BAD=40°，∠CAD=30°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝40°+30°＝70°；②如图2，∵∠BAD=40°，∠CAD=30°∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°；故答案为：70°或10°．4．图1是一张足够长的纸条，其中，点、分别在，上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕；如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕：将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕；．．．依此类推，第次折叠后，_______（用含和的代数式表示）．【答案】180°-．

【详解】解：设纸条QM所在直线为QC，第一次将纸条折叠，使与重合，得折痕；∵PR1∥QB，∴∠MAR1=∠ABM=.∠AR1B=∠R1BC=，∵AM∥R1N，∴∠MAR1+∠AR1N=180°，∴∠AR1N=180°-∠MAR1=180°-；第二次将纸条折叠，使与重合，得折痕；∵PR2∥QB，∴∠MR1R2=∠R1BC=.∠R1R2B=∠R2BC=，∵R1M∥R2N，∴∠MR1R2+∠AR2N=180°，∴∠AR2N=180°-∠MR1R2=180°-；第三次将纸条折叠，使与重合，得折痕；∵PR3∥QB，∴∠MR2R3=∠R2BC=.∠R2R3B=∠R3BC=，∵R2M∥R3N，∴∠MR2R3+∠AR3N=180°，∴∠AR3N=180°-∠MR2R3=180°-；……第n次将纸条折叠，使与重合，得折痕；∵PRn∥QB，∴∠MRn-1Rn=∠Rn-1BC=.∠Rn-1RnB=∠RnBC=，∵Rn-1M∥RnN，∴∠MRn-1Rn+∠ARnN=180°，

∴∠ARnN=180°-∠MRn-1Rn=180°-．故答案为：180°-．5．如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的等量关系为________________．【答案】∠α+∠β-∠γ=180°．【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，∴∠1+∠γ=∠β，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1+∠α=180°，∴∠α-∠γ=180°-∠β，∴∠α+∠β-∠γ=180°．6．把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠成图①，再沿HF折叠成图②，若∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C''FE，则∠C''FE＝_______．

【答案】【详解】四边形为长方形，，，，方形纸条沿折叠成图①，，，长方形沿折叠成图②，，．故答案为：．7．一副直角三角板如图放置，其中∠B＝∠D＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，将三角板CDE绕点C顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）．若DE所在直线与三角板ABC各边所在直线平行，则α的度数为___．【答案】90°，30°，45°【详解】解：①当CD∥AB时，则∠DCB=90°，即：α=90°；②当ED∥AC时，则∠DCA=90°，即：α=120°-90°=30°；③当ED∥BC时，则∠DCB=90°，即：α=90°；④当EC∥AB时，则∠ECB=90°，即：α=90°-45°=45°．故答案是：90°，30°，45°．

8．已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则=．【答案】(1)∠E=∠END﹣∠BME；(2)∠E+2∠NPM=180°；（3）【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，故答案是：∠E=∠END﹣∠BME；（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，

∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，∵∠CHB是△DFH的外角，∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=（∠ABE﹣∠CDE），②由①代入②，可得∠F=∠E，即.故答案是：．9．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起：如图2，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=ɑ（0°＜ɑ＜180°）

(1)当ɑ为________度时，.(2)在旋转过程中，若0°＜α＜90°试探究∠CAD与∠BAE之间的关系.(3)当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值.【答案】(1)15(2)当时，∠BAE-∠CAD=45°，当时，∠BAE+∠CAD=45°(3)t=3或9或21或27或30【解析】（1）当α=15°时，，如图：

故答案为15；（2）设：∠CAD=γ，∠BAE=β，①如图，当0°＜α≤45°时，α+β=90°，α+γ=45°，故β-γ=45°；即∠BAE-∠CAD=45°②当45°＜α≤90°时，γ+β=90°，即∠BAE+∠CAD=45°（3）①当ADBC时，α=15°，t=3；

②当DEAB时，α=45°，t=9；③当DEBC时，α=105°，t=21；④当DEAC时，α=135°，t=27；⑤当AEBC时，α=150°，t=30；综上，t=3或9或21或27或30．

10．问题情境：如图1，ABCD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PEAB，通过平行线性质来求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为______度；(2)问题迁移：如图2，ABCD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．【答案】(1)110(2)∠APC=α+β，理由见解析(3)当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α【详解】（1）解：过点P作PEAB，∵ABCD，∴PEABCD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案为：110．（2）解：∠APC=α+β，理由：如图2，过P作PEAB交AC于E，

∵ABCD，∴ABPECD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；（3）解分两种情况：当P在BD延长线上时，过P作PE∥AB交AC于E，如图所示，∵ABCD，∴ABPECD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β，即∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，过P作PEAB交AC于E，如图所示，∵ABCD，∴ABPECD，

∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠CPA=∠CPE-∠CPA=β-α，即∠CPA=β-α．综上，当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α．11．如图，，为、之间一点．(1)若平分，平分求证：；(2)如图，若，，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，猜想的结果并且证明你的结论；(3)如图，若点是射线之间一动点，平分，平分，过点作于点，请猜想与的关系；并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)，见解析【详解】（1）证明：，，平分，平分，，，，，；（2）解：，证明：过点作，过点作，如图所示：

，，，，，，，，，，，平分，平分，，，，，；（3）解：，证明：，，平分，平分，，，，，．12．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．

（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）60°【详解】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．∴∠BGF+∠DHE＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，

∵射线GH是∠BGM的平分线，∴，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵，∴，∴∠FGN＝2β，过点H作HT∥GN，则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．13．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．（1）猜想直线与直线有怎样的位置关系？说明你的理由；

（2）若点为直线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．①如图2，当点在射线上运动时，若，求的度数；②当点在直线上运动时，请直接写出和的数量关系．【答案】（1）AB∥CD，理由见解析过程；（2）28°；（3）α=β或α=90°-β【详解】解：（1）结论：．理由：如图1中，平分交于点，，．，．（2）①如图2中，，，，，，，，

，．②结论：或．理由：①当点在的右侧时，可得．，，，，，，，，．②当点在的左侧时，可得．理由：，，又平分，平分，，，，

又，中，，即．14．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF＝40°，∠EDG＝50°，则∠AED＝°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED，∠EAF，∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．【答案】（1）90；（2）∠EAF=∠AED+∠EDG，理由见解析；（3）142°【详解】解：（1）延长DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠EDG=∠AHE=50°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED=∠EAF+∠AHE=40°+50°=90°．故答案为：90．（2）∠EAF=∠AED+∠EDG．

∵AB∥CD，∴∠EAF=∠EHC，∵∠EHC是△DEH的外角，∴∠EHC=∠AED+∠EDG，∴∠EAF=∠AED+∠EDG．（3）∵∠EAI：∠BAI=1：2，设∠EAI=x，则∠BAE=3x，∵∠AED-∠I=22°-20°=2°，∠DKE=∠AKI，又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，∴∠EDK=∠EAI-2°=x-2°，∵DI平分∠EDC，∴∠CDE=2∠EDK=2x-4°，∵AB∥CD，∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，即3x=22°+2x-4°，解得x=18°，∴∠EDK=18°-2°=16°，∴∠EKD=180°-16°-22°=142°．15．已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E,(1)如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；(2)如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF=∠ABE；(3)如图3，在(2)的条件下，作EG平分∠CEF交DF于点G，作ED平分∠BEF交CD于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD=180°，且∠BDE=3∠GEF，求∠BEG的度数．【答案】（1）∠DCE=90°+∠ABE；（2）见解析；（3）∠BEG=105°．【详解】解：（1）结论：∠DCE=90°