数学-专项3.4 乘法公式（知识解读）（带答案）

专题3.4乘法公式（知识解读）【学习目标】1.掌握平方差公式、完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2.学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差公式和完全平方公式的逆运算解决问题【知识点梳理】知识点1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：①位置变化，xyyxx2y2②符号变化，xyxyx2y2x2y2③指数变化，x2y2x2y2x4y4④系数变化，2ab2ab4a2b2⑤换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2

知识点3：完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点4：拓展、补充公式；；；.【典例分析】【考点1：平方差公式】【典例1】用平方差公式计算：（1）（1+x）（1﹣x）；（2）（a+3b）（a﹣3b）；（3）（3+2a）（3﹣2a）；（4）（x﹣2y）（﹣x﹣2y）．【解答】解：（1）原式＝1﹣x2；（2）原式＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2；（3）原式＝32﹣（2a）2＝9﹣4a2；（4）原式＝＝．【变式1-1】计算：（a﹣b）（a+b）．【解答】解：原式＝a2﹣b2．【变式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．【解答】解：（2m+n）（2m﹣n）＝4m2﹣n2．

【变式1-3】（2022秋•唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（）A．（﹣x+y）（x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（x+2）（2+x） D．（2x+3）（3x﹣2）【答案】A【解答】解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；∴选项A符合题意；∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，∴选项B不符合题意；∵（x+2）（2+x）＝（x+2）2，∴选项C不符合题意；∵（2x+3）（3x﹣2）不是（a+b）（a﹣b）的形式，∴选项D不符合题意，故选：A．【典例2】用简便方法计算下列各题：（1）992；（2）1022﹣101×103．【解答】解：（1）原式＝（100﹣1）2＝1002﹣2×100×1+1＝10000﹣200+1＝9801；（2）原式＝1022﹣（102﹣1）（102+1）＝1022﹣1022+1＝1．【变式2-1】计算20212﹣2020×2022的结果是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2×20212﹣1【答案】A【解答】解：原式＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1

＝1．故选：A．【变式2-2】简便计算：（1）20222﹣2020×2024；（2）1882﹣376×88+882．【解答】（1）20222﹣2020×2024＝20222﹣（2022﹣2）（2022+2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．（2）1882﹣376×88+882＝1882﹣2×188×88+882＝（188﹣88）2＝1002＝10000．【考点2：平方差公式的几何背景】【典例3】（2022秋•邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；

（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【解答】解：（1）根据题意，由图1可得，阴影部分的面积为：a2﹣b2，由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，∵x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）＝＝＝．【变式3-1】（2022秋•离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【答案】B【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：B．

【变式3-2】乘法公式的探究及应用．（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是；如图2，阴影部分的面积是；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式；（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：①103×97；②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．【解答】解：（1）由拼图可知，图形1的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，由图形1，图形2的面积相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32＝10000﹣9＝9991；②原式＝（2x+y﹣3）[2x﹣（y﹣3）]＝（2x）2﹣（y﹣3）2＝4x2﹣（y2﹣6y+9）＝4x2﹣y2+6y﹣9．【变式3-3】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是．（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：

．【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）⋯（1﹣）（1+）＝××××⋯××＝．【考点3：完全平方公式】【典例4】（2021春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：（1）（3a+b）2（2）（x﹣2y）2（3）（﹣x﹣y）2（4）1992．【解答】解：（1）（3a+b）2＝9a2+6ab+b2；（2）（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2；（3）（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；（4）1992＝（200﹣1）2＝40000﹣400+1＝39601．【变式4-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）（﹣4x﹣）2．【解答】解：原式＝（4x+）2＝16x2+4xy+y2．【变式4-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）（3a﹣b）2．【解答】解：（3a﹣b）2＝（3a）2﹣2×3a×b+b2

＝9a2﹣6ab+b2．【变式4-3】（2019秋•静安区校级月考）（a+b﹣c）2．【解答】解：原式＝[（a+b）﹣c]2＝（a+b）2﹣2（a+b）c+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2．【典例5】（2022秋•丰宁县校级期末）若x2+mx+81是完全平方式，则m的值是（）A．±18 B．±9 C．9 D．18【答案】A【解答】解：∵x2+mx+81是一个完全平方式，∴mx＝±2•x•9，解得：m＝±18．故选：A．【变式5-1】（2022秋•新会区校级期末）已知x2﹣ax+16可以写成一个完全平方式，则a可为（）A．4 B．±4 C．8 D．±8【答案】D【解答】解：若x2﹣ax+16＝（x﹣4）2时，此时a＝8，若x2﹣ax+16＝（x+4）2时，此时a＝﹣8，所以a＝±8，故选：D．【变式5-2】（2022秋•沙坪坝区期末）若x2+（k+1）x+1是一个完全平方式，则k的值是（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．±2【答案】C【解答】解：∵（x±1）2＝x2±2x+1，∴k+1＝±2，∴k＝﹣3或1，故选：C

【考点4：完全平方公式的几何背景】【典例6】（2022秋•西岗区校级期末）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的正方形的边长是；（用含a、b的式子表示）（2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系；（3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值．【解答】解：（1）由拼图可知，阴影部分是边长为a﹣b的正方形，故答案为：a﹣b；（2）图2整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，图2各个部分的面积和为（a﹣b）2+4ab，所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，答：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）∵m+n＝8，mn＝12，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝64﹣48＝16，∴m﹣n＝±4．【变式6-1】（2022秋•南关区校级期末）如图1，三种纸片A、B、C分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和宽与长分别为a与b的长方形．

（1）数学课上，老师用图1中的一张纸片A，一张纸片B和两张纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是；（2）若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+b）的大长方形，需要A、B、C三种纸片分别张．【解答】解：（1）由题意知，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）∵（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，∴需要A、B、C三种纸片分别2张，1张，3张，故答案为：2，1，3．【变式6-2】（2022秋•黄石港区期末）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（）A．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y） B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 C．（x+y）2＝x2+2xy+y2 D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2【答案】C【解答】解：首先看四个等式都是成立的，但是却并未都正确反映图示内容．图中大正方形的边长为：x+y，其面积可以表示为：（x+y）2分部分来看：左下角正方形面积为x2，右上角正方形面积为y2，其余两个长方形的面积均为xy，各部分面积相加得：x2+2xy+y2，

∴（x+y）2＝x2+2xy+y2故选：C．【变式6-3】（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．【解答】解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝26，∴xy＝13．（2）①令a＝4﹣x，b＝x，则a+b＝4，ab＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\，∴（4﹣x）2+x2＝6，故答案为：6．②令a＝4﹣x，b＝5﹣x，则a﹣b＝﹣1，ab＝8，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17，

∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17，故答案为：17．（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200，令a＝25﹣x，b＝15﹣x，则：a﹣b＝10，ab＝200，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500，∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500