数学-第2部分 专项4

第二部分专题四针对训练1．(2020·原创)数学活动课上，欧阳老师引导同学进行如下探究：如图1，有一个直径为10cm的半圆形铁制模型，在半圆弧上有一个刚好可以绕弧滑动的小铁环C，有一根绷直的橡皮筋穿过小铁环C，橡皮筋的两头固定在A，B点．图2是示意图．活动一如图2，将小铁环C沿半圆弧自A向B方向滑动，橡皮筋两段AC，BC始终保持绷直状态．数学思考(1)设AC＝xcm，BC＝ycm，AB与BC的夹角记为α，①三角形ABC是__直角__三角形，夹角α的取值范围是__0°＜α＜90°__；②符合①条件下y与x的函数关系式是y＝__eq\r(102－x2)__.自变量x的取值范围是__0≤x≤10__.活动二(2)①列表：根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格x/cm1097653210.50y/cm04.367.1428.669.549.809.959.9910②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点(x，y)．③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．数学思考(3)请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．解：(1)①由圆周角定理的推论可知△ABC是直角三角形，0°＜α＜90°；②在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即x2＋y2＝102，

∴y＝eq\r(102－x2)，0≤x≤10.(2)①当x＝6时，y＝8；当x＝0，y＝10.②点(6,8)，点(0,10)如答图所示．③函数图象如答图所示．(3)性质1：函数值y的取值范围为0≤y≤10.性质2：函数图象在第一象限，y随x的增大而减小．(其他符合的答案，参照得分)2．(2020·原创)学校课外数学兴趣探究课上，老师引导同学进行如下探究：如图(示意图)，有一个无盖长方体光学实验纸盒，AD＝BC＝12dm，AB＝CD＝6dm，在AD内侧放置了与AD等长宽的平面镜，在纸盒ABCD内底侧点B处放置了一个可调节角度的激光笔BP(一端固定在B点)．活动一将激光笔BP开启并按顺时针方向调整激光笔和AB的夹角α，激光笔射出的光束射到AD的点E处，通过AD镜面反射在BC内壁的点F处．数学思考(1)AB与激光笔的夹角表示为α，并设AE＝xdm，BE＝ydm.①为确保光束始终能够反射到BC内壁上(不包括B，C两端点)，夹角α满足的角度范围是__0°＜α＜45°__；②符合①条件下y与x的函数关系式是y＝__eq\r(36＋x2)__，自变量x的取值范围是__0≤x≤6__.活动二(2)①列表：下表的已知数据是A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm6543210.50y/dm8.497.817.216.716.336.086.02__6__

请你通过计算，补全表格；②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的点(x，y)．③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．数学思考(3)请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．解：(1)①当激光笔照射在平面镜AD的中点E时，AE＝eq\f(1,2)AD＝6，∴AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴激光笔和AB的夹角α的取值范围是0°＜α＜45°；②在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2＋AE2＝BE2，即x2＋62＝y2，∴y＝eq\r(36＋x2)，0≤x≤6.(2)①当x＝0时，y＝6；②点(0,6)如答图所示；③函数图象如答图所示．(3)性质1：函数图象有最低点，为点(0,6)．性质2：函数图象在第一象限，y随x的增大而增大．(其他符合的答案，参照得分)3．数学活动课上，兴趣小组的同学们针对一块面积为4平方分米，周长为m分米的矩形数学橡皮泥模具进行有关研究．对于m的取值范围，小晨同学已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

(1)建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x分米，y分米，由矩形的面积为4平方分米，得xy＝4，即y＝eq\f(4,x)；由周长为m分米，得2(x＋y)＝m，即y＝－x＋eq\f(m,2).满足要求的(x，y)应是两个函数图象在第__一__象限内交点的坐标．(2)画出函数图象函数y＝eq\f(4,x)(x＞0)的图象如图所示，而函数y＝－x＋eq\f(m,2)的图象可由直线y＝－x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝－x.(3)平移直线y＝－x，观察函数图象①当直线平移到与函数y＝eq\f(4,x)(x＞0)的图象有唯一交点(2,2)时，周长m分米的值为__8__；②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m分米的取值范围．(4)得出结论若能制成出面积为4平方分米的矩形模具，则周长m分米的取值范围为__m≥8__.解：(1)x，y都是边长，因此，都是正数，故点(x，y)在第一象限．(2)图象如答图所示：

(3)①把点(2,2)代入y＝－x＋eq\f(m,2)，得2＝－2＋eq\f(m,2)，解得m＝8，即：图象没有交点时，m＜8；图象有1个交点时，m＝8；图象有2个交点时，m＞8；②在直线平移过程中，交点个数有0个、1个、2个三种情况，联立y＝eq\f(4,x)和y＝－x＋eq\f(m,2)并整理，得x2－eq\f(1,2)mx＋4＝0，Δ＝eq\f(1,4)m2－4×4≥0时，两个函数图象有交点，解得m≥8；(4)由(3)得m≥8.4．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转α度(0＜α＜83°)，角的两边分别交直线AB于M，N两点，设B，M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm.图1小涛同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．(1)列表，下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画圆、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/m00.300.501.001.502.002.50eq\f(8,3)

y/m32.882.812.692.672.803.15eq\f(10,3)x/m3.003.503.683.813.903.934.10y/m3.855.246.016.717.277.448.87请你通过计算，补全表格；(2)描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(x，y)，并在图2中画出函数y关于x的图象．图2(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：__y随x增大而增大__.(4)解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是__1.33或4__cm.(保留两位小数)．解：(1)①当x＝BM＝0时，如答图1连接AD，则AD⊥BC，BD＝CD＝eq\f(1,2)BC＝4，图1cos∠ABD＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(2,3)＝cosα，则sinα＝eq\f(\r(5),3)，则y＝MN＝BN＝eq\f(\f(1,2)BD,cosα)＝3；②x＝BM＝eq\f(8,3)，在△MBD中，BD＝4，BM＝eq\f(8,3)，cosB＝eq\f(2,3)＝cosα，tanα＝eq\f(\r(5),2)，过点M作MH⊥BD于点H，如答图2，

图2则BH＝BM·cosα＝eq\f(16,9)，则MH＝eq\f(8\r(5),9)，MD2＝HD2＋MH2＝eq\f(80,9)，则BD2＝BM2＋MD2，故∠BMD＝90°，则y＝MN＝MD·tanα＝(DB·sinα)·tanα＝eq\f(10,3).(2)图象如答图所示．第4题答图3(3)从图象可以看出：当0＜x＜1.65时，y随x的增大而减小；当1.65＜x≤4.10时，y随x的增大而增大．(4)MN＝2BM，即y＝2x，在答图3中作直线y＝2x，直线与曲线交点的横坐标为1.33和4.5．(2019·北京)如图，P是eq\o\ac(AB,\s\up8(︵))与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是eq\o\ac(AB,\s\up8(︵))上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究，下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)对于点C在eq\o\ac(AB,\s\up8(︵))上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83

AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定__AD__的长度是自变量，__PC__的长度和__PD__的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题；当PC＝2PD时，AD的长度约为__2.3或4.0__cm.解：(1)根据函数的定义，PC，PD不可能为自变量，只能是AD为自变量．(2)描图象如答图所示．(3)PC＝2PD，从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求，即AD的长度为2.3或4.0cm.6．初三某班“挑战极限”学习小组根据学习函数的经验，通过研究一个未学过的函数的图象，从而探究其各方面的性质．下表是函数y与自变量x的几组对应值：x…－6－5－4－3－2－1012…y…22.434630－3－6…(1)在如图所示的