数学-专题08几何题翻折类和最值类（填空题）（带答案）

二轮复习【中考冲刺】2023年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题08——几何题翻折类和最值类（填空题）（成都专用）1．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE=3，沿直线EF翻折，点A的对应点A'恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B'，点M为线段A【答案】12【分析】过点M作MN⊥A'E于点N，作点E关于AC的对称点G，连接MG．由勾股定理求出AD的长，根据锐角三角函数的知识可得MN=55A'E，从而可得当G，【详解】解：如图，过点M作MN⊥A'E于点N，作点E关于AC的对称点G，连接由折叠的性质可知，EF⊥AC，AE=∴∠DAC∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4∴AD=∵sin∠∴sin∠∴MN=∴EM+∴当G，M，N三点共线时GM+MN取得最小值，即∵∠DAC+∠AEF∴∠EGN∴sin∠∵sin∠DAC=∴OE=∴GE=

∴55∴EN=∴GN=即EM+55故答案为：125【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，折叠的性质，轴对称的性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．2．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）已知，如图所示，矩形ABCD，AB=8，AD=6，F是AB边上的一动点．连接CF，过D作DG⊥CF垂足为G点，交BC于E点．过A作AH⊥DE，垂足为H，连接【答案】24【分析】由∠ADC=90°，DG⊥CF，AH⊥DE，可得∠HAD=∠GDC，从而得出△AHD∽△DGC，则有DHCG=AHDG=ADDC=3【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC又∵DG⊥CF，∴∠AHD∴∠HAD∴∠HAD又∠AHD∴△AHD∴DH设AH=3

∴GH∴S=12====-6=-6(∴当a=724x时，∵在Rt△AH2+∴x把a=724得x2∴625四边形AGCH面积的最大值为：24，故答案为：24．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：对应线段成比例，勾股定理以及二次函数的最值，解题的关键是证明三角形的相似得出对应线段成比例．3．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，作直线AD∥BC，点E为直线AD上的一个动点，连接CE，在CE右侧作等腰直角△CEF，使得∠【答案】2【分析】连接BE，作点C关于AD的对称点C'连接BC'交AD于点E'，连接CE'先求得BE+EC的最小值，证明【详解】解：连接BE，作点C关于AD的对称点C'连接BC'交AD于点

∴CE当E点与E'点重合时，EC即BE+∵AD∥BC，∴CC∵AB=2∴CC∴BC∵△ABC，△∴BCAC又∠BCE∠ACF∴∠BCE∴△BCE∴ACBC∴当△ACF的周长最小时，△最小值为△BCE的周长2∵BE+EC的最小值为∴△BCE的周长最小值为BC∴△ACF的周长最小值为2故答案为：22【点睛】本题考查了轴对称求最小值，相似三角形的性质与判定，证明△BCE4．（2020秋·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）已知：如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=15，点E是边AD上一点，把△ABE沿BE翻折至△FBE，EF与DC相交于点G且DG=FG，再把△FBE绕点E顺时针旋转一定的角度α0°<α

AN的长度是________．【答案】36【分析】设AE=EF=x，根据四边形ABCD是矩形，证明可得EG=GH，DE=FH，即有DH=EF=x，DE=【详解】解：设AE=∵四边形ABCD是矩形，∴AB在△DGE和△∠D∴△DGE∴EG∴DH∴BH在Rt△∵C∴(20-∴x∴AE=12∵EM∴∠MEB∴∠∴△EAN∴AE

∴12∴AN【点睛】本题考查翻折变换、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟悉相关性质是解题的关键．5．（2022春·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为_______．【答案】4【分析】延长OB至点N，使得OB=BN，连接CN，CN与圆O交于M，证明△MOD∽△NOM，得到2DM=MN，将CM+2DM的最小值转化为为CM+MN，即CN，再利用勾股定理求解即可.【详解】解：延长OB至点N，使得OB=BN，连接CN，CN与圆O交于M，∵∠AOB＝90°，OA＝6，OC＝2AC，点D是OB的中点，∴AC=2，OC=4，OD=BD=3，OB=BN=6，∵∠MOD=∠NOM，OMON∴△MOD∽△NOM，∴DM：MN=1:2，即2DM=MN，∴CM+2DM的最小值为CM+MN，即CN，在△CNO中，ON=12，OC=4，∴CN=OC故答案为：410【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形将多线段的最值转化为单线段的值.6．（2021·四川成都·成都外国语学校校考二模）如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25，点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若△EDB'

【答案】17或75【分析】先利用勾股定理可得BC=24，根据折叠的性质可得AB'=AB=25,D【详解】解：在Rt△ABC中，∴BC由折叠的性质得：AB则分以下两种情况：①如图1，当∠EDB'过点B'作AC的垂线，交AC延长线于点F则四边形CDB∴CD设DB'=∴AF在Rt△AFB'中，解得x=17或x即此时BD=17②如图2，当∠DEB'

由对顶角相等得：∠AEC∵∠ACB∴此时点E与点C重合，∴B设DB'=在Rt△CDB'中，解得y=即此时BD=综上，BD的长为17或754故答案为：17或754【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题、一元二次方程的应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．7．（2021·四川成都·成都外国语学校校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是___．【答案】6+【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，用勾股定理求出EK即可解决问题．【详解】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，又∵∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET=3a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+3a）2＝4，∴a＝6-∴EK＝2a+3a＝6+∴AF的最小值为6+故答案为6+【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．8．（2021·四川成都·成都外国语学校校考一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿AE折叠至△AHE，连接BH，延长AE，BH交于点F；BF，CD交于点G，则FG=_______．【答案】2【分析】过点H作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，通过证明△AMH∽△HNE，可得AMHN=MHNE=AHHE，进而得出MH＝2EN，HN＝1+NE2，可求NE的长，即可求BM，MH，HN【详解】解：过点H作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，∴∠BAD＝∠BMN＝90°，∠D＝∠MNC＝90°，∴四边形ADNM是矩形，∴AM＝DN，MN＝AD＝2，∵将△ADE沿AE折叠至△AHE，∴AH＝AD＝2，∠AHE＝90°，HE＝DE＝1，∴∠AHM＋∠EHN＝90°，且∠MAH＋∠AHM＝90°，

∴∠MAH＝∠EHN，且∠AMH＝∠ENH＝90°，∴△AMH∽△HNE，∴AMHN∴1+NE∴MH＝2NE，HN＝1+NE∵MH＋HN＝MN＝2，∴2NE＋1+EN2＝∴NE＝35∴MH＝65，HN＝45，AM＝∴BM＝25∴BH＝BM∵AB∥CD，∴BMNG∴NG＝415，HG＝4∴BG＝2103，EG＝∵AB∥CD，∴EGAB=∴FG＝210故答案为：210【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，添加恰当的辅助线是本题的关键．9．（2021春·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF【答案】93．

【分析】连接FC，作DM//FC，得△DEM∽△FEO，△DMN∽△CON，进一步得出DM=45FO，EO=98EN，过C作CH⊥AB于H，可求出CH=43，根据题意，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，故可得EN=CH=43【详解】解：连接FC，交EG于点O，过点D作DM//FC，交EG于点M，如图所示，∵DF∴DE∵DM//FC，∴△DEM∽△FEO，∴DMFO∵DM//FC，∴△DMN∽△CON，∴MNNO∵四边形ECGF是平行四边形，∴CO=FO，∴MNNO∴EN-∴EO=过点C作CH⊥AB于点H，在Rt△CBH，∠B=60︒，BC=8，∴CH=BCsin60︒=43，根据题意得，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，∴EN=CH=43，∴EO=98∴EG=2EO=93．故答案为：93．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．10．（2020秋·四川成都·九年级树德中学校考期中）如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，BC上，连接EF，将△BEF沿直线EF翻折得到△HEF，AB=8，BC=6，

【答案】32【分析】连接AC，作EM⊥AC于点M，利用△AME∽△ABC得到AEAC=EMBC【详解】如图，连接AC，作EM⊥AC于点在Rt△AC=∵AE：EB∴EB∵∠EAM=∴△AME∴AE即：6∴EM∵S四边形AHCD∴当△ACH的面积最小时，四边形∵当EH与EM重合时，点H到直线AC的距离最小，最小值为：185∴S△ACH最小值为：∴四边形AHCD的面积最小值为：故答案为：32．【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用分割法表示四边形的面积是解题的关键．11．（2019秋·四川成都·九年级树德中学校考阶段练习）如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A＝60°，AD＝4，AB＝8，则AE的长为__．

【答案】28【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB（ASA），从而可知D′F＝EB，CF＝CE，设AE＝x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．【详解】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，在▱ABCD中，∠D＝∠EBC，AD＝BC，∠A＝∠DCB，由于▱ABCD沿EF对折，∴∠D′＝∠D＝∠EBC，∠D′CE＝∠A＝∠DCB，D′C＝AD＝BC，∴∠D′CF+∠FCE＝∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF＝∠ECB，且∠D'＝∠EBC，D'C＝BC∴△D′CF≌△ECB（ASA）∴D′F＝EB，CF＝CE，∵DF＝D′F，∴DF＝EB，AE＝CF设AE＝x，则EB＝8﹣x，CF＝x，∵BC＝4，∠CBG＝60°，∴BG＝12BC＝2在Rt△BCG中，由勾股定理可知：CG＝BC∴EG＝EB+BG＝8﹣x+2＝10﹣x在Rt△CEG中，由勾股定理可知：（10﹣x）2+（23）2＝x2，∴x＝28∴AE＝28故答案为：28【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，解题的关键是证明△D′CF≌△ECB，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．12．（2021秋·四川成都·九年级石室中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，BD＝22，BC＝3，则ABAC的最小值为【答案】1【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．作BH⊥AB于点B，CH⊥BC于点C，CH和BH交于点H，取BH中点G，连接AG、CG．由所作辅助线可知△BDF为等腰直角三角形，即可求出DF=BF=2

，故可设AB=2x，则BH=3x．由直角三角形斜边中线的性质可知BG=GH=CG=【详解】如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．作BH⊥AB于点B，CH⊥BC于点C，CH和BH交于点H，取∵∠DBC=45°，BD∴DF=∵AD//BC∴AE=∵∠ABH∴∠ABE∴∠HBC∴△HBC∴BHAB设AB=2x，则∵G为BH中点，∠BCH∴BG=∴在Rt△ABG中，∴ABAC故答案为：12【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形三边关系．作出辅助线是解题的关键，本题较难．13．（2018秋·四川成都·九年级石室中学校考阶段练习）如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB＝4，则BE的最小值为_____．【答案】23+2【分析】将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC,作直线FE交OM于H,则∠BCF=90°，

BC=FC，证△BCP≌△FCE(SAS)，得∠BHF=90°，故点E在直线FH上，即点E的轨迹为直线FH，当点E与点H重合时，BE=BH最短，根据直角三角形性质得CP,正方形CPHE中，PH=CP=2，BH=BH+PH.【详解】如图所示，将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC,作直线FE交OM于H,则∠BCF=90°，BC=FC，∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得CE，∴∠PCE=90°，PC=EC，∴∠BCP=∠FCE，在△BCP和△FCE中，BC=FC，∠BCP=∠FCE，PC=EC，∴△BCP≌△FCE(SAS)，∴∠CBP=∠CFE，又∵∠BCF=90°，∴∠BHF=90°，∴点E在直线FH上，即点E的轨迹为直线FH，∵BH⊥EF，∴当点E与点H重合时，BE=BH最短，∵当CP⊥OM时，Rt△BCP中，∠CBP=30°，∴CP=12BC=2，BP=3CP=23又∵∠PCE=∠CPH=∠PHE=90°，CP=CE，∴正方形CPHE中，PH=CP=2，∴BH=BH+PH=23+2，即BE的最小值为23+2，故答案为23+2.【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行判断.14．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，小实同学先将正方形纸片ABCD沿EF对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平，然后折出上方矩形EFCD的对角线DF，再把AD边沿DG折叠，使得A点落在DF上的H点处，若AD=2，则GB=

【答案】3-5##【分析】设BG=x，则可得AG=2-x=HG．连接GF，即可构造Rt△GFH和Rt△GBF【详解】解∶如图所示，连接GF，在Rt△CDF中，∴DF=又∵DH=∴FH=设BG=x，则由折叠可得，∠GHD∴∠GHF在Rt△GFH和GH2+解得x=3-∴BG=3-故答案为∶3-5【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及翻折变换(折叠问题)以及勾股定理，折叠的本质属于轴对称变换，关键是抓住折叠前后的对应边和对应角相等．15．（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，【答案】6【分析】将△APC绕点C顺时针旋转60°得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，将PA+PB+PC转化为FD+BP+PF，此时当B、P、【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转60°得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE

⊥BA，交BA的延长线于点E；∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=60°，PC=FC，AC=CD，∴△PCF、△ACD是等边三角形，∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=60°∴PA+∴当B、P、F、D四点共线时，PA+PB+∵∠CAB=90°，∠CAD=∴∠EAD=30°，∴DE=∴AE=∴BE=1+∴BD=∴PA+PB+故答案为：6+【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC绕点C顺时针旋转60°得△DFC，将三条线段的长转化到一条直线上．16．（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是___．【答案】6【分析】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明ΔAED≅ΔGFE(AAS)，确定F点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF=45°，从而确定C'点在AB的延长线上；当D、F、C【详解】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点

∵EF∴∠AED+∠∵∠AED+∠∴∠EDA=∠FEG，在△AED和△GFE中，∠∴ΔAED∴FG∴F点在BF作点C关于BF的对称点C'∵EG=DA∴AE∴BG∴∠FBG∴∠CBF∴C'点在当D、F、C'三点共线时，DF在RtΔADC'中，AD∴D∴DF+CF故答案为：65【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径．能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．17．（2020秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E是AD的中点，点F是AB上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A落在A'处，则CA'的最小值是【答案】410﹣4【分析】根据勾股定理求出CE，利用折叠的性质EA=EA【详解】解：如图，连接CE，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝12，AD＝BC＝8，∵E是AD的中点，∴AE＝DE＝EA'＝∴CE＝DE2+C∵C∴C故答案为：410﹣4．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．18．（2021·四川成都·成都实外校考一模）在菱形ABCD中，∠D=60°,CD=4，以A为圆心2半径作⊙A，交对角线AC于点E，点F为⊙A上一动点，连结CF，点G为CF中点，连结BG，取BG中点H，连结【答案】2【分析】连接FA，GE，BE，取BE中点P，连接HP和PA，由圆的性质和菱形的性质可求出AE的长，利用中位线的性质求出HP的值，再分析出HP的运动轨迹，利用三角形三边长的性质可得到AHmax=【详解】连接FA，GE，BE，取BE中点P，连接HP和PA，如图所示：

∵四边形ABCD为菱形，∠∴BC∵⊙A半径为2，与AC交于∴AE=2，E为CA∴BE⊥CA∵G，E分别为CF，CA中点∴GE=1∴GE∵H，P分别为BG，BE中点∴PH=1∴PH∵P为定点，△∴H在以P为圆心，以12∴PA∴AH∵在Rt△PEA中，PE∴PAA故答案为：2【点睛】本题为几何综合题，主要考查了菱形的性质，中位线的性质，圆的性质，三角形的定义，勾股定理