高考数学难点突破(四)

三、应用题

1.某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件。若售价降低，销售量可以增加,

且售价降低x（°〈x48）元时，每天多卖出的件数与V+X成正比。已知商品售价降低3元

时，一天可多卖出36件。

（1）试将该商品一天的销售利润表示成》的函数；

（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2.商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃

园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使

用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5%,按复利计算），公寓所收费用除

去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.

（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；

（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少

元（精确到元）.（参考数据：lgL7343=0.2391,lgl.05=0.0212,=1.4774）

3.（理）某城市2004年末粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上-年末粮食储备量

的5%,并且每年新增粮食x万吨。

（1）记2004年末的粮食储备量为al万吨，此后各年末的粮食储备量为a2万吨，a3万

吨，...，写出al,a2,a3和an（nCN*）的表示式；

（2）受条件限制，该城市的粮食储备量不能超过150万吨，那么每年新增粮食储备量不应

超过多少万吨？

20、（文）某地区预计明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f（x）（万件）与

/(x)=-^—x(x+1)(35-2x)(xeN*,且x<12)

月份x的近似关系为：150

（1）写出明年第x个月的需求量g（x）（万件）与月份x的函数关系，并求出哪个月份的需

求量最大，最大需求量是多少？

（2）如果将该商品每月都投放市场P万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保

证每月都足量供应，问P至少为多少万件？

4.7月份，有一款新服装投入某市场销售，7月1日该款服装仅销售出3件，7月2日售出6

件，7月3日售出9件，7月4日售出12件，尔后，每天售出的件数分别递增3件直到日

销售量达到最大（只有1天）后，每天销售的件数开始下降，分别递减2件，至IJ7月31日

刚好售出3件。

（1）问7月儿号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？

（2）按规律，当该商场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下

降并低于20件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行儿天？说明理由。

5.如图，某海滨浴场的岸边可近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人

求救，救生员没有直接从A处游向B处，而沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向

B处，若救生员在岸边的行速为6米/秒，在海中的行进速度为2米/秒，

⑴分析救生员的选择是否正确；

⑵在AD上找一点C,是救生员从A到B的时间为最短，并求出最短时间。

B

//300米

cD

6.某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的

优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。已知经营

该店的固定成本为6.8万元/月，该消费品的进价为16元/件，月销量q（万件）

与售价p（元/件）的关系如图.

（1）写出销量q与售价P的函数关系式；q

（2）当售价p定为多少时，月利润最多？3

（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几2

个月后还清转让费？

0162025p

7.随着我国加入WTO,某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际

市场。已知投资生产这两种产品的有关数据如下表（单位：万美元）

目年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多生产的

类另、^

件数

甲产品30a10200

乙产品50818120

其中年固定成本与生产的件数无关，a为常数，且4<aW8。令外，年销售x件乙产品时需

2

上交0.05X-万美元的特别关税。

写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润W,y2与生产相应产品的件数x（xeN）之间

的函数关系式；

分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；

如何决定投资可获最大年利润。

8,设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景

点的人数的算术平方根成正比。一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人

数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元。设每天的购票人数为X,盈利额为V。

（I）求）'与》之间的函数关系；（II）试用程序框图描述算法（要求：输入购票人数，

输出盈利额）;

（III）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每

张门票至少要多少元（取整数）？注：可选用数据：72=1.41,73=1.73,75=2.24.

9.已知如图，某海滨浴场的岸边可近似地看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有

人求救，救生员尚有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游

向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度为2米/秒.

（I）分析救生员的选择是否正确；

（II）有AD上找••点C,使救生员从A到B的时间为最短，并求出最短时间.

10.某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8

元.今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万

元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为

k

=—/==

“〃+l（k>0,k为常数，且n20）,若产品销售价保持不变，第n次投入后

的年利润为/（〃）万元.

(1)求k的值，并求出了(〃)的表达式；

(2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?

11.己知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.

现有以下两种设计，如图：

图①的过水断面为等腰4ABC,AB=BC,过水湿周L=A8+8C.图②的过水断面为

等腰梯形ABCD,AB=CD,AD〃BC,ZBAD=60°,过水湿周"="8+8C+CO.

若^ABC与梯形ABCD的面积都为S,

(1)分别求4和,2的最小值;

(2)为使流量最大，给出最佳设计方案.

12.某渔业公司今年初用98万购进一艘渔船用于捕捞.第一年需各种费

用12万元，从第二年开始每年包括维修费在内，所需费用均比上一年增加4万元，该

船捕捞总收入预计每年50万元.

该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正)？

该船捕捞若干年后，处理方案有两种：

①年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；

②盈利总额达到最大时，以8万元的价格卖出.

问哪一种方案较为合算？并说明理由.

13.一个有140名职工的合资企业投资生产甲、乙两种不同产品，2000年该企业生产的甲

产品创外汇32万元，乙产品创外汇216万元，该企业以后每年所创外汇是甲产品以2.25倍

2

的速度递增，而生产乙产品的机器由于老化的原因，每年创外汇为上年的这个企业只

要年人均创外汇达3万元就可以列入国家重点企业。若以2000为第一年，问：

(I)从哪一年开始，甲产品年创外汇超过乙产品年创外汇(lg2=0.3010,lg3=0.4771)

(II)该企业哪一年所创外汇最少？该年甲、乙两种产品各创外汇多少万元?

(III)该企业到2003年能否进入国家重点企业？

14.某地区预计从2005年初的前n个月内，对某种商品的需求总量I(万件)

与月份n的近似关系为I______________I

(I)求2005年第n个月的需求量g(n)(万件)与月份n的函数关系式，并求出哪个月

份的需求量超过1.4万件。

(II)如果将该商品每月都投放市场P万件，要保持每月都满足供应，则P至少为多少

万件?

15.学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，

用煤浇开水每吨开水费为S元，用电炉烧开水每吨开水费为P元.

S=5x+0.2y+5,P=10.2y+20576-y

其中x为每吨煤的价格，y为每百度电的价格，如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费

用，则仍用原备的锅炉烧水，否则就用电炉烧水.

(1)如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；

(2)如果每百度电价不低于60元，则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少？

16.某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增

加4万元，每年捕鱼收益50万元.

(1)问第几年开始获利？

(2)若干年后，有两种处理方案：

方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船

方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.

17.如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有•个水声监测点，另

两个监测点B,C分别在A的正东方20km和54km处。某时■刻，监测点B收到发自静止目

标P的一个声波，8s后监测点A,20s后监测点C相继收到这一信号。在当时的气象条件下,

声波在水中的传播速度是1.5km/s.

(1)设A到P的距离为xkm,用x表示B,C到P的距离，并求x的值；

(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km)。

18.如图，•科学考察船从港口。出发，沿北偏东a角的射线

OZ方向航行，而在离港口。(a为正常数)海里的北偏东

12

tana=_、cos0=-j=

B角的A处共有一个供给科考船物资的小岛，其中已知3S3.现指挥部

需要紧急征调沿海岸线港口。正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考

船.该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇.经测算当两船运行的航线与海岸线0B围

成的三角形OBC的面积S最小时，这种补给最适宜.

(I)(本问6分)求S关于m的函数关系式S(m)；

(II)(本问6分)应征调m为何值处的船只，补给最适宜？

19.某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时(44V"20)从人港出发到距50海里的B港

去，然后乘汽车以匀速0千米/时(3°40410°)自B港向距300千米的C市驶去，应该在

同一天下午4时至9点到达C市.设汽车、摩托艇所需要的时间分别是x、y小时.

(1)作图表示满足上述条件的x、y范围；

(2)如果已知所要的经费P=l00+3・(5_x)+2・(8—y)(元),那么丫、。分别是多

少时走得最经济？此时需花费多少元？

20.甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在4、8两个喷雾器中分别配制成"％和6%

的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为I

千克的药瓶，他们从4、8两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入8中，

8中取得的倒入A中，这样操作进行了〃次后，A喷雾器中药水的浓度为%％,8喷雾器

A

中药水的浓度为"％.

(I)证明明+""是一个常数；

(II)求明与%T的关系式；

(III)求明的表达式.

21.某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验。如图，内

陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段44,83,。6，2。关

于坐标轴或原点对称，线段用B的方程为y=x，xe[a，U,过。有一条航道。有一艘正在

M(----o,0)

海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点2处测得该船发出的汽笛声的时刻

总晚1s(设海面上声速为s〃/s)。若该船沿着当前的航线航行(不考虑轮船的体积)

(I)问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？

(II)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由。

答案

1.(1)由题意可设，每天多卖出的件数为-x2+x),.•.36=乂32+3),...k=3

又每件商品的利润为(20T2-x)元，每天卖出的商品件数为48+3。2+x)

该商品一天的销售利润为

/(x)=(8—x)[48+3(x2+x)]=-3X3+21X2-24X+384(0<x<8)

2

(2)由/<x)=-9x+42x-24=-3(x-4)(3x-2)

2

V*—___

令/'(x)=°可得3或x=4

当x变化时，/'(X)、"X)的变化情况如下表:

X0(。,|)2(|,4)48

(4,8)

3

—0+0—

/1(X)

384/极大值432X0

4

fW376-

极小值9

，当商品售价为16元时，一天销售利润最大，最大值为432元

2.依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用.

(1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000X80(元)

=800000(元)=80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元.

依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+...+(1+5%严]>500(1+5%严.

化简得62(1.05M-l)>25xl.05n+l

1.05H>1.7343

lgl.7343_0.2391

n2——11.23

两边取对数整理得怆105°O212....取『12(年).

/.到2014年底可全部还清贷款.

(2)设每生和每年的最低收费标准为x元，因到2010年底公寓共使用了8年，

依题意有(翳^T8)口+(1+5%)+(1+5%产+…+(1+5%力>500(1+5%)\

[0不一]

(O.lx-18)~->500xl.059

化简得L05—1

在仙8+就罟)=叩8+旦罂*)=10x(18+81.2)=992

(元)

故每生每年的最低收费标准为992元.

3.(理)(1)a1=100,a2=0.95xl00+x,a3=0.95a2+x=0.952xl00+0.95x+x

对n>2有：an=0.95an—l+x=0.952an—2+(x+0.95x)=#"=0.95n—lai+x(l+0.95+…+0.95n—2)

]_n

0.95"-'xl00+—•x=20x+(100-20x)•0.95,,_|

0.05

(2)当100-20x20,即xW5时

an+}<an<­­•<a2<a]=100

lim”“=lim[20x+(io。-20x)-O.95"T]=20%

当100-20x<0,即x>5时,

此时｛an｝逐项增加，可任意接近20x

依题意可知：/"15°即20x<150,；.x<7.5

...每年新增粮食储备量不应超过7.5万吨

g（l）=/⑴=与xlx2x33=F（万件）

（文）⑴

x(x+1)(35-2x)_-—(x-l)x(37-2x)

当"N2时,g(x)=f(x)-f(x-l)150

=THoxK-2/+33x+35)-(2-+39x-37)]

=-^—x(72-6x)=—%(-%+12)

15025

当x=l时，g(x)=g⑴也适合上式

g(x)=—x(-x+12)(xeN*且xK12)

g（X）max=—

等号当且仅当x=12-x即x=6时成立，即当x=6时，25（万件）

•••6月份该商品的需求量最大，最大需求量为25万件。

(2)依题意，对一切了€{1,2,…」2},有

"xNg(l)+g(2>-+g(x)=f(x)

P>-^-(x+1)(35-2x)(x=l,2,-12)

22

//(%)=—(35+33x-2X)=—[-2(%-—)+

令15015048

171

答每个月至少投入150万件可以保证每个月都足量供应。

neA^*,l<n<31)ak(k&N*,k>4)

4.（1）设7月〃日售出的服装件数为为最大。

%=3+3(k—1)

ak-2(31-%)=3

k=13,ak—39

•1•7月13日该款服装销售件数最多，最大值为39件。

(2)设S"是数列｛《｝的前〃项和，

J3〃，1<H<13

•"”一165-2〃，14</?<31(〃eN*)

3+3〃

2.〃'l<n<13

・二s〃=<

273+(51-n)-(n-13),14<n<31

兀=273>200

.•.由1W〃W13时，S,,>20°得〃N12,

由144〃431时,。"<2°得”之23,

.••从7月12日到7月22日共11天该款服装在社会上流行。

300

t=.45"=]50后

5.⑴由A直接游向B处的时间为2（秒）.

300300…

%=-----1-----=2001—

由A经D到B的时间为62（秒），而150vl>200,

因此，救生员的选择是正确的。

300

sin

⑵设NBCD二Q,则CD=300cota,BC=«,AC=300-300cotao

于是从A经C到B的时间为

a

1-tan22-

3——一a

l+tan22-

50(1+

迎IX+卫=50-竺*+筌50(—y)1+tan2—

62sinasinasina=sinasina2

50(14-——+2tany)

3万250(1+2拒)=50+1006

]

2ctan—a=

2atan—=也tana=2痣

tan—

当且仅当2,即22时,

上式等号成立。

300二75五

此时，CD=,-(米)时，t取得最小值为50+100拒秒。

因此，点C应选在沿岸边AD,距D点75及米处，才能使救生员从A到B所用时间最短，最

短时间为50+10。收秒。

~—p+7,16<p<20;

w41

—p+6,20<p425.

6.⑴15

(2)设月利润为W(万兀)，贝ljW=(p—16)q—6.8

(--/?+7)(p-16)-6.8,16<p<20;

4

(-1p+6)(p-16)-6.8,20<p<25.

16<p<20,IV=--(p-22)2+2.2,当p=20时,叱皿=1.2;

当4

20<pW25,W=—4(p-23)2+3,当p=23时,Wmax=3

当5

...当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元

(3)设最早n个月后还清转让费，则3"258,"220,

...企业乙最早可望20个月后还清转让费

(l)y,=(10-a)x-30,0<x<200,xe^;

2

y2--0.05x+10x—50,0<x<120,xeN,

(2)y湿大=1970—200a,为最大=450。

7(3)令1970-200a=450，得。=7.6.

当4«a<7.6时，投资甲产品；当7.6<a48时，投资乙产品；当a=7.6时，投

资甲、乙两产品均可。

8.(I)根据题意，当购票人数不多于100时，可设了与x之间的函数关系为

y-30x-500-ky/x

•••人数为25时，该旅游景点收支平衡,

...30x25-500-k后=0,解得％=50.

_30x-50Vx-500(xeN*,x«100),

.)|30x-50Vx-700(xeN*,x>100).

•・

(ID框图如下：

(III)设每张门票价格提高为〃2元，根据题意，得

X20-50720-500>0

•/?:>25+5^5«36.2

••O

从而，每张门票最少要37元。

9.(I)由A直接游向B处的时间为

300

(=sin45。=]50后

2(秒)

由A经D到B的时间为

300300…

%=——+——=200

62(秒)

而150人>200,

因此，救生员的选择是正确的.

川)设ZBCD=a,则CZ)=300cota

BC=222_,AC=300-300cota

sin。

于是从A经C到B的时间为

300-300cot«300

t=------------------+--------

62sina

“50cosa150

=50----；----+

sinasin。

3

50(1+^—cosa

sinasina

1,2"

I—tan~

3---------2

l+tan2-

=50(1+-----------

2ctan—a

2

i2

1+tan—a

2

=50(1+—^—+2tan-)

2

,tan一a

2

>50(1+272)

=50+100匹

当且仅当

2tan—=―?—,即tan乌=二，tana=2四时,

2a22

2上式等号成立.

300

CD=7572

此时,tana（米）时,t取得最小值为5。+10072秒.

因此，点C应选在沿岸边AD,距D点75a米处，才能使救生员从A到C再到B所用时间最

短.最短时间为50+100匹秒.

10.(1)由+l,当n=0时，由题意，可得k=8,所以/(〃)=(100+10")

Q0

(10--J=)-100/1/(«)=(100+10H)(10---=)-100/2=1000

+1.(2)由+l—80

(广)=1000—80(Vzi+1H—「9)<1000—80x2^/9=520----

5/〃+15/〃+1当且仅当4〃+1

9

即n=8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元

S--a2sin。

11.(1)在图①中，设=AB=BC=a.则2,由于s、a、sin夕皆

”户2后

为正值，可解得"sin。.当且仅当sin6=l,即6=90°时取等号.所以

4=2"22J5?,4的最小值为2J5y.在图②中，设AB=CD=m,BC=n,由/BAD=60

1V3_25m

。可求得AD=m+n,22，解得43m2.“=2m+”=2m

_2S__/w3^2/y

十底。W十0八一7Z>.r-r-

73m273m2,4的最小值为2寸3VS.当且仅当

2S_3m机=f4£

鬲2,即丫3代时取等号.(2)由于后〉均，则4的最小值小于4的最

小值.所以在方案②中当,2取得最小值时的设计为最佳方案

12.D设〃年后盈利额为y元

n(n-\\9

y-50/2—\1n-\-------x4-98=-2〃-+40〃-98

2

令y>0,得3W/W17,

•••从第3年开始盈利.…8分

y98

2-=-2H--+40<-2+40=12

2)①平均盈利〃〃

这种情况下，盈利总额为12x7+26=110万元,

此时"=7.…12分

②>=-2("10)2+1024102,此时〃=10.

这种情况下盈利额为102+8=110.

两种情况的盈利额一-样，但方案①的时间短，故方案①合算.

13.(I)设第n年甲产品创外汇an万元，乙产品创外汇bn万元

n2,,2n

则%=32x2.25''=32x(|)-,bn=216x(1)''

、八32x(-)2"-2>216x(-)z,-'(-)5-3n<-

若%>%则23即23

/.5-3/2<log3一,3〃>5+-------——=7.72「.n>2.57neN、：.n=3

23坨「32

第3年开始即2002年甲产品创外汇就可以超过乙产品创外汇

(II)设该企业第n年创外汇得万元

贝俨=%+2

22

=32x(|产-2+216X(!)«-'=32X(|)"-+108x(|)「"+108xg)〜

>3332x(-)2'-2x108x(-)'-108x=216108x(-)'-=32x(-)2--2

、222当且仅当2，*

即n=2时,取“=”号，即第2年，2001年创外汇最少为216万元,这年甲产品创外汇72

万元，乙产品创外汇144万元

(III)2003年即第4年，设该企业创外汇为y

64

y=a.+h4=32x(-)+(-)-'x216=428.5>3x140=420

则23

.•.2003年该企业能进入国家重点企业。

即6月份的需求量超过1.4万件

(II)要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数P(万件)应满足

15.(1)由题意，得5x+0.2y+5=10.2y+20/76一.丫

nx=2y+4y]76-y-1(0<y<76)

r

(2)由SWP,得XW-2(76—y)+4,76-y+151=-2(^76-y-+153

...60<y<76...0<776-y<4

...当"6-y=1时,"max=153,此时y=75.

答：每吨煤的最高价为153元.

16.(1)由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列.

设纯收入与年数n的关系为f(n),则

/(〃)=50〃-[12+16+...+(8+4〃)]—98=—2/+40/1-98

由题知获利即为f(n)>0,由一2/+4°〃-98>°,得10-同<〃<10+西

2.1<n<17.1.lfl]n^N,故n=3,4,5,—,17.

当n=3时，即第3年开始获利.

=犯=4。-2(〃+竺)

(2)方案一：年平均收入〃〃.

49cri914

几T----->2Jn——=14

由于〃V〃，当且仅当n=7时取“=”号.

^^<40-2x14=12

，n(万元).

即第7年平均收益最大，总收益为12X7+26=110(万元).

方案二：f(n)=-2"2+40n-98=-2(〃—l°)2+102.

当n=10时，f(n)取最大值102,总收益为102+8=110(万元).

比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n=7,故选方案一.

17.(1)依题意,WPA-PB=1.5X8=12(km).PC-PB=1.5X20=30(km)

PB=(x-12)(km),

PC=30+(x-12)=(18+x)(km).

在aPAB中，AB=20km

cosNPAB=

「2+2()2一(x-12)2_3x+32

2x-205x

cosZPAC

同理，3x

・・cosNPAB=cosNPAC,

3x+3272—x

5x3x

132

x=—(bn)

解之，得7

(2)作PD,a于0，在ZkADP中，

132

々Sr4-”523x—7+32

PD=PAcosZAPD=x-=——-----»17.7l(hn).

5x5

答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km

18.(I)以。点为原点，指北的方向为y轴建立直角坐标系，则直线0Z的方程为y=3x,

设点A(xO,yO),则xO="^asinB=3a,y0=acosP=2a,即A(3a,2a),

2a.、

------(x-m)

又B(m,0),则直线AB的方程是y=3〃一机,

(2am6am)

山此得到C点坐标为3ma'3m-la,

13am27

5(/n)=-IOBIxIy1=-------(m>-a)

20c3m-7a3

749a2J4]、s处+与9

S(m)=a[(m--a)+-----1----Q[2.

933

(II)

749a2147

m——a-------——，即/n=-a(m>—a)

3c/733

9(m—a)

・・・当且仅当3时等号成立,

14

ITl=----Cl

征调3海里处的船只时，补给最适宜.

50300

19.(1)依题意得y,X,4v0,30<(y<100,所以3W10,

5/,25

—\y-----

2一.一2……①.由于汽车、摩托艇所需要的时间和x+>应在9至14时之间，即

9<x+j<14……②.因此，满足①、②的点(X,y)的存在范围是图中阴影部分(包括

边界).

2)p=100+3*(5—x)+2•(8—y)3x+2y=131—p设131—p=k那么当k

_3

最大时，p最小.在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为5的直线版+2）'="

中，使k值最大的直线必通过点（10,4）.即当x=l0,>=4时，p最小.此时，丫=12.5,

69=30,p的最小值为93元

20.（1）开始时，A中含有iox12%=1.2千克的农药，8中含有]_0X6%=0.6千克的农药,

〃次操作后，A中含有千克的农药，8中含有iox2%=o.i或千克的农

药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而有=12+06,所以%+bn

=18（常数）

（2）第〃次操作后，A中io千克药水中农药的重量具有关系式：+lx%T=l（fa“，

°_4^+2

由⑴知2-产18-a,I,代入化简得""5"-1》①

、4

%+4=—（%一1+4）

⑶令5,利用待定系数法可求出之=一9

94（9）4

所以"5a,可知数列"，一处是以4-9为首项，二为公比的等比数列，一io分

%=巳。+2=。2+2后=11.4

0

由①,55555

山等比数列的通项公式知:

%_9=(/_9)g严=2.4(：产=3(令"所以*=3(1)«+9

21.设轮船所在的位置为P,由题意可得।PM\~\PN\=aa<\MN\t

故点P的轨迹是以“，N为焦点的双曲线的右支。

/V1

------—1■—

设点P的轨迹方程为加2]（m>0/>0）则2

，兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是4/一）’2=6（X〉O）

（II）这艘船能由海上安全驶入内陆海湾。

设直线’的方程为y=y°。

当°,打,。时，设/与双曲线右支、直线x=a分别交于点0，S1,

则以口靖+合，）'。）,sg0）

,/—JyJ+a2<—V«2+a2<a

2、°2

•••点2在点a的左侧，，船不可能进入暗礁区。

当凡2"时，设/与双曲线右支、直线V=*分别交于点。2，§2,

则。2（W；+/y。）,S2（y0,y。）

•.•；（媪+/）_y2=_3汽a<0

44

一#。2+a<）。在点$2的右侧，.•.船不可能进入暗礁区。

综上，在X轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能山海上安全驶入内陆海湾。

w.w.w.k,s.5.u.c.o.m

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四、圆锥曲线

12

y=­x

1.已知椭圆C的焦点在X轴上，它的一个顶点恰好是抛物线4的焦点，离心率为

275

5ow.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)求椭圆C的方程；

(2)设A、B为椭圆上的两个动点，次砺=°,过原点。作直线AB的垂线0D,垂足为

D,求点D的轨迹方程.

2.设直线/：y="X+l与双曲线0：3-->2=1相交于AR两点，0为坐标原点

(I)。为何值时，以AB为直径的圆过原点.

(II)是否存在实数“，使W卜网且。A+03=4(2,1),若存在，求a的值，若不存在,

说明理由.

72

二-匕=1

22

3.(理)设双曲线C：«b(a>o,b>0)的离心率为e,若准线I与两条渐近线

相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形.

(1)求双曲线C的离心率e的值；

b2e2

(2)若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为«求双曲线c的方程.

(文)在aABC中，A点的坐标为(3,0),BC边长为2,且BC在y轴上的区间[-3,3]

上滑动.

(1)求^ABC外心的轨迹方程；

(2)设直线l：y=3x+b与(1)的轨迹交于E,F两点，原点到直线I的距离为d,求

45

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IEFI

d的最大值.并求出此时b的值.

V2,1—*—

2

X-J_=lON=—(0A+0B)

4.已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线2于A、B两点，且2

(1)求直线AB的方程；

(2)若过N的直线I交双曲线于C、D两点，且℃,AB=0,那么人、B、C、D四点是

否共圆？为什么？

/(外=^-,