大学知识点精讲之线性代数知识点汇总（经管类）

《线性代数（经管类）》复习资料

（课程代码：04184）

知识点汇总：

1、设A8都是可逆矩阵，则下列等式不成立的是（A+B）T=AT+5T

--2r

2、设矩阵4=,则A的特征值为T,-3

1-2_

3、设A5均是n阶方阵,则必有同=|川国

4、设A为〃阶方阵，且A?=A,则A的特征值只有0和1

5、线性方程组A"x.X=O只有零解（有唯一解）的充要条件是R（A）=〃

6、设A是可逆矩阵，则（2A）T=_LA-'

2

7、设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为

8、向量空间£=｛（尤的维数等于2。

9、向量空间V的一组基就是向量组V的一个极大线性无关组

10、二次型/（和々,占）=2X；+6X；+4X；是正定二次型

11>设%,a2,…，%为〃阶矩阵A的行（列）向量组，则向量组名,a2,­­­,%线

性相关的充分必要条件是网=0

12、若行列式。中有两行（列）元素对应相等，则。的值为0

「-10]1।

13、己知A相似与A=,则A-E=-2

_02J11

111

14>356=6。

92536

15、设A为正交阵，则网=±1

16、(AB)'=87r

17、设3阶矩阵A的行列式|A|=2,贝IJ12Al=16

18、设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一列向量都是齐次线性方程组Ax=O的

解,则|A|=Oo

1a+bc+d3

19、设,则a=2,b=l,c=2,d=-l

ca+d21

24

20、A2,8=(24),则AB=48

612

21、求下列线性方程组的通解:

%+/+3七+2%4一%5=1，

2x1+2X2+2X3+2X4-2X5=1,

5X]+5X2+%+8X4—4X5=5•

解:设A和A分别为方程组的系数矩阵和增广矩阵.对A施以初等行变换:

1132-12-1I

A2222-2-20-1

5598-4-210

I32-111132-11

00-4-20-10020-1-1

00-2011000223

于是/?缶)=??(4)=3<5,方程组有无穷多组解,且原方程组与

%1+3X3+2X4=-x2+x5+1,

2X3=x5-l,

2%——2毛+3,

同解.取々，/为自由未知量.令工2=0，/=0,则得原方程组的一个解

”，d，。

如果自由未知量（马，无5尸分别取向量（1，0尸和（0,2）"那么，得到原方程组对

应的齐次线性方程组的一个基础解系:

《=（T,1,0,0,0尸,刍=（3，0，1，一2，2）7,

从而原方程组的通解为

X=+&$+4,

其中％,

k2为任意常数.

1123013

1,计算卜AW）和彳0

22、设A002,B0-1

1-2B

12-6123-57

解：显然，网=-2,国=4,所以|禺=|⑷冏=一8,从而

|(-^7)|=(-1)>|2|^|=_(一2yx4=-16,

=|3A卜2M=331A|(-2>冏=33.(-2)31A|冏=1728

U-ZB

1110

23、求矩阵A=11+"1a的秩?

11\+aa2

1110'

110

解:当a=0时，A=1则R(A)=1；

1110

当时，通过初等行变换将A化为阶梯形

1110irFl110

12-1a-

A-0a0af0101

r3-rl1

00a011

故当awO时，H(A)=3.

11-121-1

24、已知矩阵4=0-21与3=-4b2相似，求常数a和。之值，并计算

0a3003

|B2-3E|.

解：因为A与5相似，所以A与8有相同的特征值.根据特征值的性质，得

1—2+3=2+b+3,

即匕=一3.因为网=网，所以一6-。=3(3+4),即a=0.

因为1,—2和3是A的所有特征值，所以1,一2和3也是5的所有特征值.

根据特征值的性质，一2,1和6是82—3E的所有特征值，

从而但—3q=(—2)xlx6=—12.

25、算一下行列式的值

(234、,,

r1257

设A=101,8=，求4夕。

012

习题汇总:

(-)

一、单项选择题

1.若A为4阶方阵，且|A|=5,则13Al=（）»

A.15

B.60

C.405

D.45

2.设A和B都是n阶矩阵，且|A+AB|=0,则有（）。

A.|A|=0

B.|E+B|=0

C.|A|=0或|E+B|=0

D.|A|=0且|E+B|=0

3.若C=AB,则（）。

A.A与B的阶数相同；

B.A与B的行数相同；

C.A与B的列数相同；

D.C与A的行数相同。

二、计算题

100a

01a0

0a10

4.计算行列式D=。001

5.计算4阶行列式

1201

1329

-1156

6.计算行列式2312

a00b

0ab0

0ba0

7.计算行列式D=b°°。。

三、填空题

31-1

若25x=2,贝无=.

8.232

9.排列36il5j84在i二__，声—时是奇排列。

I-31

05x=0

10.若一।2-2,则*=

a\\an/

a2\a22a23

11.行列式D=%%%的转置行列式D'=

12.8级排列36215784的逆序数为T(36215784)=

1-31

05x=0

13.若行列式02二,则*=

（二）

一、单项选择题

14.['列命题中正确的是（）。

A.任意n个n+1维向量线性相关;

B.任意n个n+1维向量线性无关；

C.任意n+1个n维向量线性相关；

D.任意n+1个n维向量线性无关.

15.方阵4满足才=0,则出（£-川=（）。

A.E

B.E-A

C.E+A

D.A

16.设A是sxt矩阵，B是同mXn矩阵，如果AC『B有意义，贝UC应是（）矩阵。

A.sXn

B.sXm

C.mXt

D.tXm

17.设A、B为n阶矩阵，A可逆，kWO,则运算（）正确。

人（必卜"那

-

BlA|=-|A|

CB1-A2=（B-A\B+A）

D（卬="1

18.设/为3阶方阵，且|4|=2,则%「=（）.

A.2

B.-2

I

C.5

D.~2

19.设A是mXk矩阵，B是mXn矩阵，C是sXk矩阵，D是sXn矩阵，且kHn,则下列

结论错误的是（）.

A.力是nXk矩阵

B.疑是nXk矩阵

C.皮/是mXs矩阵

D.Z/C是nXk矩阵

20.设A、B为n阶方阵，则（）。

A.|/+|=0o|/|=0或I£+81=0

B（A+Bf=^+2AB+Bt

C（AB）1=A1B1

D.AB=O时，A=0或B=0

21.设A,B均为n阶方阵，下面结论正确的是（）0

A.若A,B均可逆，则A+B可逆

B.若A,B均可逆，则AB可逆

C.若A+B可逆，则A-B可逆

D.若A+B可逆，则A,B均可逆

(a»

22.当()时，A=1°少是正交阵。

A.a=1,b=2,c=3

B.a=b=c=1

ca=1,6=0,c=±1

l)a=t>=l,c=O

23.设A为三阶方阵，且1'R,以下成立的是()o

A.A=0

B.A3=0

C.R(A)=0

D.R(A)=3

24.在下列命题中，正确的是()«

A.(闻〈ATBT

B.若A#B,则I/,叫

C.设A,B是三角矩阵，则A+B也是三角矩阵；

DA?-E2=(A-EXA+E)

25./是/的伴随矩阵，且刚A的逆矩阵下=()。

A.44"

B.

c.氤

D.A/

26.矩阵A的秩为r,则知()。

A.A中所有r阶子式不为0；

B.A中所有r+1阶子式都为0；

C.r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0；

D.r-1阶子式都为0。

27./是力的n阶伴随矩阵，且力可逆，刚|/|=()o

A.|A|；

B.1；

C.|A|n-1

D.|A|n+l

28.设A,B,C为同阶矩阵，若AB=AC,必推出B=C,则A应满足条件()。

A.|A!^O

B.A=0

C.|A|=0

D.AWO

二、计算题

-1]仅3、

A=022,8=3-6

设LT

29.解矩阵方程AX=B。

'00-1-12、

求矩阵4=14-10

A的秩。

—]—42-10

30.、28112；

(011)

31.解矩阵方程XA=B,其中1-1-3U.求X。

'321、

A=111

判断矩阵U°1J是否可逆？如可逆，求其可逆矩阵。

32.

三、填空题

‘123、

4=03-2

、06'J,当片时，R(A)=2。

33.

设A=【2\),

34.则心o

(1234、

0315

-11-21

若A二12153),则R(Q

3…5.回…

f-\0-24、

0215

-1231

37.若An2-2-53，贝ijR(A)=。

A,一是同阶可逆矩阵,则(/5尸=。

38.

39.设A为三阶矩阵且|A|=2,则14Al=

40.A*是A的伴随矩阵，且A可逆，则(A*)"=o

四、证明题

41.若A是可逆的对称矩阵，则A'也是对称矩阵；若A是可逆的反对称矩阵，则A'也是反

对称矩阵。

A=-(B+E),一,

42.设48为r阶矩阵，且2、'，证明：才当成立的充要条件是序引。

(三)

一、单项选择题

43

若入，72，%，%是线性方程组4丫二0的基础解系，则为+匕+73+九是4胃二°的

()="

A.解向量

B.基础解系

C.通解

D.A的行向量

44.设a。a?,as是AX=8的三个线性无关的解，其中A是秩为1的4X3矩阵，B是4维

列向量，则下列()是AX=0的基础解系。

A.a,+a2+a3

B.ai+a2—2a3

C.ai,a2,a3

D.a2—ai,a3-a2

45.如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组()。

A.相等;

B.所含向量的个数相等;

C.不相等；

D.秩相等。

T

1,a2

46.t满足()时，⑼线性无关。

A.tWl；

B.t=l；

C.two；

D.t=0.

47.设ai,a2,…，as为n维向量组，且秩R(ai,a2,…，a,)=r,则()。

A.该向量组中任意r个向量线性无关；

B.该向量组中任意r+1个向量线性相关；

C.该向量组存在唯一极大无关组；

D.该向量组有若干个极大无关组.

48.如果两个同维的向量组可以相互线性表示，则这两个向量组()。

A.相等

B.所含向量的个数相等

C.不相等

D.秩相等

49.n维向量组a1,a%…a8(3WsWn)线性无关的充要条件是ai,a2,…a,中

()o

A.任意两个向量都线性无关

B.存在一个向量不能用其余向量线性表示

C.任一个向量都不能用其余向量线性表示

D.不含零向量

二、计算题

X]—2x>+X3+3X4=2

2%+3X2+5X3-5X4=3

50.求非齐次线性方程组4占一%+7%+%=7的解，若有无穷多解时，用基础解系表示其一

般解。

（3）

-2a3=10

1一17）的一个极大无关组，并把其余向量用

51.求向量组

此极大无关组线性表示。

2Kl+x2-2X3+3与=0

<3内+2X-x+2%=0

52.求齐次线性方程组I怎+与2+437」二°的通解。

巧+4+*3+2X4=0

<2xt+3X2—三+3X4=0

53.求解线性方程组l2xi+5》2—7》3+匕=0。

三、填空题

j叫+bx2=m

54.线性方程组151+*2="的系数满足时，方程组有唯一解.

'1、‘3、'3、'200、

q-221010

L),IM,

55.设向量组<89,,则向量组a1,a2,a：；,a」线性

（填线性相关或线性无关）。

Axj+x2+x3=0

+Ax2+x3=0

56.k满足时，线性方程组再+、2+5=°只有零解。

57.单独一个零向量必线性,单独一个非零向量必线性

58.设a=(l10),8=(030),r=(l20),则3a+2£-4y=

59.设/〃九，是非齐次线性方程组AX=B的两个解，n是齐次线性方程组AX=0的解,

则/厂〃是的解，/厂人是的解.

四、证明题

60.设向量组a1,a2,a3线性无关，证明：向量组a什a幻a2+a%a3+a।线性无关。

61.如a1,a2,a3,…ai向量组线性无关，试证明：向量组a打a计aa计a2+a3,…，

a|+a2+…+a,线性无关。

（四）

一、单项选择题

62.对于两个相似矩阵，下面的结论不正确的是（）。

A.两矩阵的特征值相同；

B.两矩阵的秩相等；

C.两矩阵的特征向量相同；

D.两矩阵都是方阵。

63.设4=-3是方阵A的一个特征值，则A可逆时，A।的一个特征值是（）。

A.-3

B.3

C.-3

D,丁

64.两个n阶矩阵A与B相似的，是指（）。

A.PAP'=B

B.dAQ=B

C.Q'AQ=B

D.AB=E（Q,P,0均为〃阶可逆方阵）

2xx12

设/(%)=;x1—1

c1中含有的项的系数是（)o

2x1

65.111x

A.1

B.-l

C.2

D.-2

66.当A是正交阵时，下列结论错误的是（）o

A.Al=A"

B.不也是正交阵

C,/也是正交阵

D.A的行列式值一定为1

67.设A=-4是方阵A的一个特征值，则矩阵A—5E的一个特征值是（）。

A.1

B.-9

C.-1

D.9

二、计算题

q00、

A=010

68.设1°2J,求A的特征值及对应的特征向量。

q22、

A=212

69.设U24,求A的特征值及对应的特征向量。

<011、

求矩阵A=101的特征值和特征向量。

70.U1

'200、

A=I10

71.求矩阵I1】J的特征值和特征向量。

一、单项选择题

72.一个四元正定二次型的规范形为()。

A5+女(五)

B.弁+2父Y-yl

c.yf+2y；+yl

D.弁+/+*+4

二、计算题

73.化二次型f二x『+2x22+5x：5+2xiX2+2xiX3+8x2X3为标准型。

74.将二次型f(xi,X2,X3)=X：+4XIX2-4XIX3+2X；-4X2X3-X；化为标砧型。

75.将二次型f(xhx2f才3)二才“2w才3-3工的化为标准型。

三、填空题

76.二次型f(xhx2fX3)=X；+2X；+5X，乜必必上为如以2X3的二次型矩阵为。

77.二次型f(x,y)二寸-4xy+/的系数矩阵是。

78.当Z满足条件，使二次型f=xi^2x2+3X-3+2x1X2-2xiX3+2tX2X3是正定的。

79.二次型F应力=2/-灯-/的系数矩阵是.

参考答案

（一）

单项选择题

1.C

2.C

3.D

二、计算题

4.

i00o0

1ao

o1i0a

D1o

0aia101

00\-a2

ci0o001-a2

2-I?

-5

-1COO

5.I?5

6.

201i201

i28128

13290128-1-17

3570-1-17=43

-1156035738

-110038

23120-110

7.解:

a00b

ab000b

0ab0

Daba0bab0

0ba0

00aba0

b00a

a2(a2—b2)b2(a2-b2)(a2—b2)2

三、填空题

8.4

9.7,2

10.5

a[\a2\a3\

a\2a22a32

T=A,3

11.D023%

12.10

13.-5

（二）

一、单项选择题

14.C

15.A

16.C

17.D

18.C

19.B

20.A

21.B

22.C

23.B

24.D

25.C

26.B

27.C

28.A

二、计算题

_ii2、(5八、

—0

363^2

111

A,所以X=--0

36~32

£1__12-3

333<J

29.y

30.解:

00-1

14-1

-1-42

281

4-102\/I4-102\

01T2To01-12)

00-24\000-24

00-24/\00000/

所以A（%）=3。

1321

0=2^0A=I11

01J可

-2所以u

逆。

'321=100'jp0l；001、

("E)=11"010->11noi0

HO01)13

Jo21:1o0,

A

q01:001

-»o10；01-1

01

2>

100:-

22

->010；0

£

001:--

22

22

A'=01-1

_1i1

所以I22)

三、填空题

33.-4

~22

34.I1£

35.2

'-21、

31

36.I2-2>

37.3

Bi4T

38.

39.128

A

40.

四、证明题

41.证明：因为Ar=A,那么//二次尸二〃尸，所以万也是对称矩阵。因为Ar=-A，那么

仅“『二。”=♦4/二一小，所以下也是反对称矩阵。

42.证明：由一八"/又才二人0才一人.—所次人⑷

=+E)[B-+£)]=匆+E)；(B-E)

=^(B2-E)=O

故#/从而才当等价于后E。

（三）

一、单项选择题

43.A

44.D

45.D

46.A

47.B

48.D

49.C

二、计算题

50.增广矩阵为:

131.12

0—

~77.7

3H

0

7-7e"7

0000:0

上

"V7

311

X=k+k

.2T

1o

所以对应的齐次方程的通解为:<0

r12、

T

X。~7

0

非齐次方程的特解为:、°，

[12、"12、

"T7T

311

X=X+X=k,

0-7~7~7

100

所以原方程的通解为:W>、0>

q33、0-3、

(%,%,%)=-2210012

-1-1700J.所以一个极大无关组为

51.7(0

口令=-3q+2(z.

52.解:

「21-2p1

A=32-1270-1

J11-ijI。」

.二■=＞基础解系％

所以

其中Ki,七为任意常数

’1112、104

23—1301—3

、25—71J经初等变换化为（°00

解：秩R=2,

X—3K4

xx=-43

XX+*4所以嵇础角星系为71=10A〃2=l1人”

{2=33

53.故方程组的通解为：左2为任意常数。

三、填空题

54.ad#bc

55.线性相关

56.kW—2且kWl

57.相关，无关

58.(-110)

59.AX=B,AX=0

四、证明题

证明：设勺（q+。2）+42（。2+?）+《（％+%）=。，

即（占+ky）«]+g+k2）a2+（k2+&）4=0

"1+%3=0

因为四，%，火线性无关，则,勺+%2=0

42+%3=0

101

所以110=2/0,即给h，勺有唯一零解

011

60.故4+%，%+%，4+/线性无关.

61.证明：假设向量组。|+。2,…，。|+。2+…+Q|线性相关，那么存在不全为0的数

人,左2,…kt,使得:

A1。1+无（a1+Q2）+…+4（ai+a2+•••+at）=0,

所以：左。i+〃2ai+LQ2+…+%a】+Aa2+…+4*=0;

即：（%+走+…+4）Qi+（人+…+左）a2+......+Z。t=0o

因为向量组。i,Q2,a3,…at线性无关，所以：

ki+kz+・*，+kt=0,

kA…+kt=0,

kt=0,

所以女产攵产…二儿二。矛盾。故向量组ai,ai+a2,…，Q1+a2+…+at线性无关。

（四）

一、单项选择题

62.C

63.C

64.C

65.C

66.D

67.B

二、计算题

2-100

|2£-J|=02-10=(2-l)3=0

-2

68.0"I特征值人产入2=入3=1.对于L=l,

'00o'Qe'

\E-A=000匕0+40

、。-2(J,<oj

特征向量为

69.解:

入一1一2—2

|入EA|=—2A—1—2

-2—2入-1

=(A—5)(入+I)2=0

=

特征值入1=5,X2X3=-1.

对于入1=5,

，4-1、T

平-/=-240-1k1

-2-24)(000特征向量为b

对于入2=-1,

‘-2-2-2](\1〕'-1、-r

^E-A=-2-2-2fo001+k20

-2)10

-2-20特征向量为

70.

-1-1

|2E-^|=-1-1二(2-2)(2+1)2=0

解：由-1-1A

得A的特征值为：4=2,

当4=2时，齐次方程组为（2E-⑷X=0,

-1-f‘10-1、

2-1->01-1

由J、°°”,解得基础解系为

-12,

所以A的属于特征值4=2的全部特征向量为初收二0）

当4=4=1时，齐次方程组为（-E-4X=0,

由

—=T_1-1f°0°%JL,Jo

「1-1-i)loooj；解得基础解系为loJ1.1J所以A的属

于特征值2=47的全部特征向量为桃+&祖贴福时为”

X-200

|2F-^|=-1A-10=(/l-2X2-l)J=0

71.解：由H-1启1，得A的特征值为：4=2,々"「I.

当4=2时，齐次方程组为（2EY）X=0,

解得基础解系为

工

2I

12,k

1

I）,所以A的属于特征值4=2的全部特征向量为<,

当心=4=1时,齐次方程组为（K=o,

/°〕，0'

x

2OkX2=0,Aw0

解得基础解系为〔V所以A的属于特征值冬=%=1的全部特征向量为

（五）

一、单项选择题

72.D

二、计算题

f=(x；+2X|X+2XX)+2X2+5X；+&rx=(x,+x+J^)2+6rx+4x；

73.解2]323223

22

=(玉+x2+x3)+(x2+3X3)-5X；

作变换

必=x+x+x

123玉=yt-y2+2%

y2=X2+3X3•*2=力-3%

即卜3=%

y3二与

则/变为

/=♦+货一54

为其标准形.

74.解：

/（X1,2,%）=x；+4X,X2-4X|XJ+2xj--x,

222

=&+2X2-2x｝）-2（X2-X｝）-3X3

y,=x,+2x2-2x｝

令，y2=X2-X3

*=三

所以标准型为：/=必2-2%13/2

为=%-%

,*2=乂+必

75.解：由于/中无平方项，故令I%=%，代入二次型，得

/（占,工2后）=（乂-%）（乂+%）+（M-%）%-3（必+必）％

=/-齿-2，必-4%为

=3-2乂%+只）-父-4y2y「y；

2

=（yl-y｝）-（y2+2yJ+3及

令.z2=y2+2y3

z

,3=y｝

乂=Z|+Z,

即《y2=Z2-2Z3

73=Z3

222

所以标准型为：/=Z1-Z2+3Z3

三、填空题

’1ir

123

76.U35）

78—1—A/2<t<—1+>/2

---1

79.I2；

（六）

第一大题：单项选择题

瓦的%匕I+C]

1、设行列式做=1&2G=2,则。2与+。2=D)

•A.-3

•B.11

•C.1

•D.3

2、

设A为3阶方阵，且已知|-2A|=2,则|A|=(B)

•A.—1

•B.

1

•C.4

•D.1

3、设矩阵A,B,C为同阶方阵，则/3U]T=_B_

・A.

•B.。却'H

,C.却

・D./丁。却・

f1]

4、设A为2阶可逆矩阵，且已知(24尸=I，少，则八=(D)

5、设A为mXn矩阵，则齐次线性方程组成*=0仅有零解的充分必要条件是(A)

・.AA的列向量组线性无关

•B.A的列向量组线性相关

・.CA的行向量组线性无关

・.DA的行向量组线性相关

6、已知乃是非齐次线性方程组儿》=b的两个不同的解，叫,铀是其导出组盘T=0的一

个基础解系，Ci,二为为任意常数，则方程组Ar=b的通解可以表为(A)

+%）+01%+。2（，+&2）

・A,2

:（A-%）+0件1+02@+戊2）

・B.2

.C,加

.*,)+”式…)

7、设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2,2,3则那一"=(A)

1

・A.12

1

.B.7

•C.7

•D.12

8、设A为3阶矩阵，且己知|3A+2E|=0,则A必有一个特征值为(A)

_3

•A.2

_2

•B,3

2

・c.1

3

・D.亍

/(r,x,x)=rf+rj+rj+Nx/2+44X3

9、二次型123的矩阵为(C

q24、

210

d0I

ri24、

010

0

12、

110

301,

10、

112

、o2I

l3ATAl=

10、设A为三阶方阵且|A|=-2,则I1(D)

•A.—108

•B.—12

•C.12

•D.108

x

f3x1+kc2~3=0

\4r2-r3=0

144+婀=0有非零解则k=(B

11、如果方程组)

•A.-2

•B.—1

•C.1

•D.2

12、设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是(D)

•A.AB=BA

.B.(A+BL=A-1+B-】

,c.1A+B卜囤+同

TTT

.D(A+B)=A+B

A'=

13、设A为四阶矩阵，且|A|=2则(C)

•A.2

•B.4

•C.8

•D.12

14、设户可由向量=(1,0,0)叼=(0,0,1)线性表示，则下列向量中。只能是(B)

A.(2,1,1)

B.(—3,0,2)

・C.（h1,0）

・D.（0,—1,0）

15、向量组al，，…，as的秩不为s（^>2）的充分必要条件是（C）

・.Aal,口2,…，as全是非零向量

.B.al，S，…，as全是零向量

•C.al，a?，•“，as中至少有一个向量可以由其它向量线性表出

・.Dal，a?，…，as中至少有一个零向量

16、设A为始装於矩阵，方程显奢=0仅有零解的充分必要条件是（C）

・A.的行向量组线性无关

•B.A的行向量组线性相关

・.CA的列向量组线性无关

・.DA的列向量组线性相关

17、设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（D）

・A.|A|=|B|

・B.秩(A)=秩(B)

・C.存在可逆阵P,使P—1AP=B

・D.%E-A=%E-B

'10O'

010

18、与矩阵A=10°4相似的是(A)

-10O-

020

001

A.—

*11O-

010

002

B.J一

.10O-

110

002

C.J

j0r