考研数学公式(完美珍藏版)

考研数学公式

（完美珍藏版）

要目

第一部分高等数学公式....................................2

第二部分概率公式整理...................................14

第三部分线性代数部分...................................20

附录一内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化.............43

附录二向量空间........................................46

2010年8月

第一部分高等数学公式

导数公式:

1

(tgx\=sec2x(arcsinx),

7i^X2

(ctgx)r=-esc2x

1

(secx)r=secx^tgx(arccosx),=-7T7

(cscx)'=-cscx・cfgx

(arctgx)r

(axy=axinal+x2

1

(log“(arcctgx\

xlna1+x2

基本积分表：

dx

^tgxdx=-ln|cosx|+C=jsec2xdx=tgx+C

cos2x

^ctgxdx=ln|sinx\+C

dx=jcsc2xdx--ctgx+C

jsecxdx=ln|secx+tgx\+Csin2x

jsecx-tgxdx=secx+C

Jcscxdx=ln|cscx-+C

jcscx•ctgxdx=-escx+C

dx

-arctg-+C

a2+xaa

\axdx=—+C

dx1,\xx-aa\kJIna

22—In------+C

x-a2ax+a^shxdx=chx+C

dx

=—In叱+c\chxdx=shx+C

a2-x,,22aa-x

dx「22

arcsi•n—X+C==ln(x+ylx±a)+C

2-x2aa2

兀

22

Jsin"xdx=Jcos"xdxln-2

00n

__________2_____

^x2+a2dx=]y/x2+a2+%ln(x+yjx1+cz2)+C

1A/X2-a~dx=jVx2--lnx+yj—U~+C

2

T・x

JJ.2_.2dx：'-x+—arcsin—+C-

2a

三角函数的有理式积分：

.2〃1-w-x.2du

Sinx=--------7，COSX=--------7dx=-----

1+w1+u~l+〃27

一些初等函数:两个重要极限:

双曲正弦：机v=上—

2

双曲余弦:Mx二lim(l+-y=e=2J18281828459045...

2I00X

X

双曲正切：％方c/1=Y半p=—^©T

chxe+e

arshx=In(尤+4x2+1)

archx=±ln(x+\x~-1)

1+.¥

arthx=—In

2\-X

三角函数公式:

•诱导公式：

数

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinadgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

2700-a-cosa-sinactgatga

2700+a-cosasina-ctga-tga

3600-a-sinacosa-tga-ctga

3600+asinacosatgactga

*和差角公式：・和差化积公式：

.,•Qr•a+pa-/3

sin(a±p)=sinacos尸±cosasin0sm«+sinp=2sin-------cos------

22

cos(cr±P)=cosacos+sinasinp

sin«-sinB=2cos^^sin———

/,e、tga±tg/3

/g(a土耳)二T——22

l+tgatg/3〃ra-YBa-B

cosa+cosp~2cos-------cos--------

/,小ctga-ctgJ3+l

ct^(a±£)二」---叱~-22

ctg(3±ctga.a+力.a-P

cosa-cosp=2sm------sm-------

22

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-l=l-2sin2a=cos2a-sin2asin3a=3sino-4sin3。

八ctg2a-\cos3a=4cos3cr-3coscr

ctg2a=--------

2ctga3tga-tg3a

次3a

2tgal-3tg2a

电2a

l—g2a

•半角公式:

.aal+coscr

sin-=cos一=±

222

a,/1-cosezl-cosasinaa1+cosa_1+cosa_sina

次一=±J-------=-------=-------eg,=±

2Vl+cos6rsina1+cosal-cosasina1-cosa

•正弦定理：，一=—

L='-=2R•余弦定理：c2=a2+〃2-2abcosC

sinAsinBsinC

71兀

•反三角函数性质：arcsinx=----arccosxarctgx=--arcctgx

2

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:

o严

k=0

=“叫+〃“…M++-+…(〃一攵+九5"网+…+〃产

2!k\

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f'^)(b-a)

柯西中值定理:

F(b)-F(a)尸⑹

当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

弧微分公式：ds-sjl+y'2dx,其中V=fga

平均曲率示=也.公£：从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As："AT弧长。

As1

曲率：M点的曲率：K=lim—I=I—I=।.

|ds[7(l+y2)3

直线：K=0;

半径为a的圆：K=—.

a

定积分的近似计算:

矩形法：]7(x)a^^(yo+乃+…+y.T)

梯形法:J/(X)R，£[g(yo+y“)+y|+---+yn.|]

a

。b-a

抛物线法：J7(x)a——[(y0+%)+2(为+%+…+%-2)+纵%+%+…+yn-i)3

J3〃

定积分应用相关公式:

功：W=Fs

水压力：F=p-A

引力：尸=左膂,k为引力系数

厂

函数的平均值：y=----[f{x}dx

h-al

均方根:—J/2a）dr

空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：d=|M]Af2|=，（/一Xi）?+（乃一乃—+仁2-Z|J

向量在轴上的投影:Prj"而=|蔗,0$夕@是君与〃轴的夹角。

Prju（4+无）=Pr范+Prja2

ab=|a|-|^|cos^=arZ?t+ayby+a也，是一个数量，

两向量之间的夹角:cos。=。也+。也+。也

也」+%2+—.在2+始+人

ijk

c=axh=axay4_,同二同•归卜也夕例：线速度：v=wxr.

bxbyb.

axaya：

向量的混合积:[2词=（2xB）.0=/hyb.=|万x“同cosa,a为锐角时,

c

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式:A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O>其中历=

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=O

3、截距世方程:±+上+三=1

abc

平面外任意一点到该平面的距离：3=也+为0+%+。|

_/42.n2,「2

x=.%+mt

空间直线的方程:三乜=匕以==曳=»,其中8={m,〃,p}渗数方程：y=y0+而

z=z0+pt

二次曲面:

k椭球面亍方十=1

2、抛物面:三+21=z,(p,g同号)

3、双曲面:

单叶双曲面:鼻+当■-工

多元函数微分法及应用

du.du.du.

全微分：dz=—dx+—dydfu=—dx+—dy+—az

dxdydxdydz

全微分的近似计算：Az=/；(x,y)Ax+fv(x,y)Ay

多元复合函数的求导法：

z=f[u(t\v(t)]

dtdudtdvdt

&&dudzdv

z=/[w(x,y),v(x,y)]—=----1---

dxdudxdvdx

当〃=〃(x,y),v=y(x,y)时,

/du,du.dvdv

du=——dx+——aydv=—dx+—dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式：

隐函数尸(x,y)=O,与T，卓=枭等)+枭-白咚

dxF、dxdxFvdyFydx

隐函数尸(无,y,z)=O,1=一［号=_?~

dFdF

F(x,y,u,v)=04

隐函数方程组:dudv工

G(x,y,w,v)=0d(u,v)dGdG伉G,

dudv

1d(F,G)1d(F,G)

J6(x,v)Jd(ii,x)

1d(F,G)1d(F,G)

而=一7S（y,v）J8(”,y)

微分法在几何上的应用:

x=(p(t)

空间曲线｛y="（f）在点M（瓦，打〃0）处的切线方程:xfyy。Z-Zo

“(%)/&)〃0o)

z=co(t)

在点M处的法平面方程:d（%）（x-Xo）+〃'&）（y-%）+&'（%）（"Zo）=O

尸（羽内）=0则切向量了5FyFFF,

若空间曲线方程为:<.1

G（x,y,z）=0GyG「G,G「GG,

曲面广(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0),则：

1、过此点的法向量：H={Fv(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),F.(x0,y0,z0)}

2、过此点的切平面方程：4(/,y0,z0)(x-x0)+Fv(x0,%),z())(y-％)+F;(x0,y0,z0)(z-z0)=0

3、过此点的法线方程:一上也>0

FxCWo,Zo)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

方向导数与梯度:

函数z=f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向/的方向导数为:工'=geos。+gsin°

dloxdy

其中*为x轴到方向/的转角。

函数1=/0,、）在一点2。,）,）的梯度：graW（x,y）=g7+^-J

oxdy

它与方向导数的关系是:更=gradf（x,y＞。，其中e=coseG+sin夕了,为/方向上的

dl

单位向量。

更是graW（x,y）在/上的投影。

dl

多元函数的极值及其求法：

设工（/，＞0）=力（%0，＞0）=°，令:九（Xo，yo）=A，fXy（x0,y0）=B,/»（/,为）=。

A＜0,（X。,%）为极大值

AC-B2〉0时,<

A＞0,（与,%）为极小值

则:AC-炉<0时,无极值

AC-B2=0吐不确定

重积分及其应用:

jj*/(x,y)dxdy-jj/(rcos3,rsinO)rdrci0

^yp(x,y)da

D

f）

平面薄片的转动惯量：对于x轴人=JJV0（x，y）db,对于y轴4=（占y）dcr

DD

平而薄片（位于xoy平面）对渤上质点加（0,0,0,（〃>0）的引力：F=[Fx,Fy,FJ,其中:

F-j'JJp（x,y）xdbp(x,y)),db一何…)一呼

口（/+俨+/户(x2+y2+a2)2D(x2+y2+a2y

柱面坐标和球面坐标：

x=rco$6

柱面坐标:<y=『sin®,JJJj乂z)dxdydz.=J],(几6,z)rdrdOdz.,

工=工£1Q

其中：F{r,0,z)=/(rcos，,rsin8,z)

x=rsinecosJ

球面坐标同y=rsinsindv=rd(p-rs\n(p-d6-dr-r2?>\x\(pclrd(pcl0

Z=rcos。

2次冗r(3、6)

JJj/(.¥,y,z)dxdydz=JJJ尸(八sin阳汨阳9=JdPjd。/什却,9)广sin^t/r

AQnoo

重心：六卷胆神,/眇心，2//9其中Af=1=JJJW”

n

1工=JJJ(1+/)小加

转动惯量：Ix=+z~）pdv,Iy=+z）pclvt

QQa

曲线积分:

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

设f（工炉）在L上连续，L的参数方程为」“=。⑺，｛a<t</?）,贝IJ：

y=wQ）

a__________________x=t

J/(x,y)ds=⑺+d(r)4(a〈B)特殊情况:<

Lay=*(r)

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：

设L的参数方程为卜则：

心(九+Q(x,y)dy=j{⑺+0刖«)”(，)]/9)

La

两类曲线积分之间的关系:]>公+0力二J(Pcosa+Qcos£)ds,其中。和2分别为

LL

L上积分起止点处切向量的方向角。

格林公式:JJ(半'一■)dxdy=^Pdx+Qdy格林公式:J](詈^一,)dxdy=jPdx+Qdy

当P=_y、Q=x,即:^^=2时，得到0的面积：A=f\dxdy=—<Sxdy-ydx

一dxdyy21'r

平面上曲线积分与路径无关的条件：

kG是一个单连通区域』

2、尸(苣v),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且丝=竺。注意奇点,如(0,0),应

dxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

,二元函数的全微分求积：

在丝=2时，Rk+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：

dxdy.

(x.y)

M(X,y)=JP(X，y)dx+Q(x,y)dy,通常设/=y0=0。

5，即)

曲面积分：

对面积的曲面积分:jj/(x,y,z)ds=j|f,z(x,y)]Ji+z；(x,y)+z；(x,y)dxdy

s%

对坐标的曲面积分:1JP(X,>,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

I

^R(x,y,z)dxdy=±J]R[x,y,z(M.y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；

£%

z)dydz=±|jP[x(y,z),y,zldydz，取曲面的前侧时取正号；

z%

JJ。。,y,z)dzdx.=±jjQLay(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取JE号。

£%

两类曲面积分之间的美系:^Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=Jj(Pcosa+QcosjS+Rcos/)ds

E£

高斯公式:

)dv=(^Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=耳(Pcosa+Qcos°+Rcosy)ds

那筌等詈zz

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：divv=—+^+—,BP：单位体积内所产生的流体质量，若div”0,则为消失…

dxdydz

通量:JJ屋nds=JJA/S=JJ(Pcosa+Qcos/3Rcosy)ds,

zzE

因此，高斯公式又可写成:]m"八=抒4,如

nz

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

「「汰dQ、，..dPHR、，1QQSP、，7八，…

外一拓)dydz+(----------)dzdx+(----------)dxdy=dPdx+Qdy+Rdz

2

dzdxdxdyr

dydzdzdxdxdycosacos0cos/

dddd

上式左端又可写成：f[—

dxdzp£dz

pQRpQR

空间曲线积分与路径无关的条件小等心空‘丝卫

dzdxdxdy

jk

iAA

旋度：[。仪d^&

dx

。R

P

向量场,沿有向闭曲线「的环流量：，Pdx+Q力+/?以=^A-tds

r

常数项级数:

等比数歹U：l+q+/+…+/T1T

i-q

(n+1)/2

等差数歹U：l+2+3+…+〃

2

调和级数・』+;+?...+!是发散的

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法)：

P<1时，级数收敛

设：p=limii/w7,贝小夕〉1时，级数发散

71-^00V

夕=1时，不确定

2、比值审敛法：

伊<1时，级数收敛

设：0=lim以包，则夕>1时，级数发散

〃T8TJ

"夕=1时，不确定

3、定义法：

%=%+“2+…+”“；Hms”存在,则收敛；否则发散。

交错级数/-“2+“3-”4+…(或+“2-“3>0)的审敛法----莱布尼兹定理：

如果交错级数满足屋3那么级数收敛且其和sW%，其余项厂”的绝对值卜“区J。

JT—>00〃

绝对收敛与条件收敛：

(1)«1+«2+•-■+«„+…，其中〃”为任意实数；

⑵同+|〃2|+kl+…+,/+•・・

如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对收敛级数；

如果(2)发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数:z：发散，而zW收敛;

级数:Z~2收敛；

n

P<1时发散

〃级数

时收敛

事级数：

23“/忖<1时，收敛于「一

1+X+X+X+••­+X+••-(1-x

\|乖1时,发散

对于级数(3)他+4环+&/+…+%x"+…，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

/|x|<R时收敛

数轴上都收敛，则必存在R,使(|x|>R时发散，其中R称为收敛半径。

\|x|=H时不定

Ip于0时,R=—

求收敛半径的方法：设其中%，氏+1是(3)的系数，则(夕=0时，R=+x)

a\

"、/?=+oo时，R=0

函数展开成寻级数:

(，，)Uo)

函数展开成泰勒级数：/(x)=/(4)(》-/)+汇祟(》-/)2+.••+£n

(X-Xo)H----

余项:R„(x-x。严JQ)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR〃=0

(〃+1)!

广(0)、,2,,/⑷⑼、八

%=0时即为麦克劳林公式：/(x)=/(O)+/'(O)x+-------X+…H-----------X+…

2!n:

一些函数展开成幕级数:

、mim(m-l)机(/刀-1)・・・(加一〃+1)

(Z1+x)=1+tnx-\-----------x2+,,•+----------------------------Xn+…(-1<X<1)

n\

52n-\

7rA

sinx=x-----+---------+(-])"T---------------------------------1"■…(-00<X<+00)

3!5!(2/1-1)!

欧拉公式:

2^1

2

e'x=cosx+isinx或，

.e,x-ix

sinx=—

2

三角级数:

00

/Q)=4+ZA“sin(〃初+(p,J，+Z3〃cosnx+bnsinnx)

“=12〃=i

其中，劭=。4，an=Ansin^„,bn=Ancos(pn,cot=xo

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x…sinnx,cos…任意两个不同项的乘积在［-万㈤

上的积分=0。

傅立叶级数：

/(X)吟+

Zcosnx+bnsin周期二2乃

M=1

1n

%=一-(x)cosnxdx(n=0,1,2--•)

n

其中-n

]乃

bn=—^f(x)smnxdx(n=1,2,3…)

冗-7T

1

1+2+71*+最+/+…"(相力n)

1+

3252T

111兀2*+**+…=&(相减)

1-

不+0+...=24

2江

正弦级数：%=0,bn=—j/(x)sinnxdx几=1,2,3・・•/(x)=WXsin“A是奇函数

乃o

2n

〃提偶函数

余弦级数：",=0,an=—J/(x)cos〃xdxn=0,1,2--•/(x)=?+WXcos

冗o

周期为21的周期函数的傅立叶级数:

/(x)=§+£(a“cos竿+b“sin竿〉周期=2/

2”=iII

；「(竿

%=x)cosdx(〃=0,1,2…)

ITI

其中

b„=；J7(x)sin等dx(〃=1,2,3…)

微分方程的相关概念：

--阶微分方程：y'=/(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

可分离变量的微分方程：•阶微分方程可以化为g(y)dy=/(x)dx的形式，解法：

Jg(y)dy=得：G(y)=/(xHC称为隐式通解。

齐次方程：•阶微分方程可以写成电=/(x,)，)=e(x,y),即写成上的函数，解法：

axx

设“=2,则包=M+x也，U+包=9(〃),.•.由=—^—分离变量，积分后将2代替人

xaxaxaxx(p(u)—ux

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程:半+P(x)y=Q(x)

当。(x)=0时,为齐次方程，y=

当。(x)#0时，为非齐次方程，)，=(,(视网)"团+。)/网"

2、贝努力方程:虫+P(x)y=Q(x)yn,(n*0,1)

全微分方程：

如果尸(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：

aa

du(x,>,)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中:：=P(x,y),^-=Q(x,y)

oxdy

：.u(x,y)=。应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

骁+P(x)今+Q(x)y=/(x),1/(x)三0时为齐次

/(X)NO时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:

(*)y"+py'+qy=o,其中p国为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程：(△)/+pr+q=0,其中尸，厂的系数及常数项恰好是(*)式中的系数;

2、求出(△)式的两个根外,々

3、根据小七的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

(*)式的通解

4，G的形式

两个不相等实根(/—包v

＞0)y=je"+c2e

两个相等实根l]X

(p?-4q=0)y=(q+c2x)e

一对共扼复根

(p2—4q<0)y=*(jcospx+c2sin0x)

(二a+i,，r,-a-ip

PA-jr

a一,夕一■

22

二阶常系数非齐次线性微分方程

y"+py'+gy=/(犬)，ZM为常数

/⑴二苫月式外型，2为常数；

f(x)=e^[Pi(x)cosa)x+Pri(x)sin函]型

第二部分概率公式整理

1.随机事件及其概率

A—QAc。=A

吸收律：Au0=AAc0=0

Au(AB)-AAc(AuB)=A

A-B=AB=A-(AB)

反演律：~MJB=AB~AB=AUB

nn___nn_

UA=AAHA=UA

(=1f=l/=1r=l

2.概率的定义及其计算

尸(X)=1-P(A)

若Au6nP(6—A)=P(B)—P(A)

对任意两个事件A,B,有P(B-A)=P(B)-P(AB)

加法公式：对任意两个事件A,B,有

P(AuB)=P(A)+P(B)-P(A5)

P(Au8)WP(A)+PCB)

^(UA)=Em)-ZP(A,AJ)+£P(A,&A)+…+(_1广》(44...4)

t=li=ll£i<j£n{<,i<j<k<.n

3.条件概率

产(AB)

一P(A)

乘法公式

P(AB)=P(A)P(B\A)(P(A)>0)

p(44…4)=PfA"(&|Ab•P(4144-4J

(P(A,A2•.•<,)>0)

全概率公式

P(A)=fp(AB,)=fp(g>P(4瓦)

/=!/=1

Bayes公式

p闻A)=喏2=粤比3

()(即尸(A］即

,=1

4.随机变量及其分布

分布函数计算

P(a<X<b)=P(X<h)-P(X<a)

=F(b)-F(a)

5.离散型随机变量

(1)0-1分布

p(x=A)=p*(l-p)i,k=0,1

(2)二项分布B(n,p)

若P(4)=p

P(x=k)=C：/(1一p)"Y,k=0,1,-,n

*Possion定理

limnp〃=2>0

H->00

A2

limC：A：(l-p„r=e--

ek\

火=0,l,2,・・・

⑶Poisson分布尸(4)

P(X=k)=e-A—,k=0,1,2,-

k\

6.连续型随机变量

(1)均匀分布U(a,b)

'1,

--------,a<x<b

f(x)^)b-a

.0,其他

0,

1

⑵指数分布以㈤

x〉0

其他

x<0

…二x>0

⑶正态分布N(〃，cr2)

1.

/(x)=—r=—e2a~-oo<x<+oo

J2万(j

*TV(0,1)—标准正态分布

1-

(p{x}=—f=^e2-oo<%<+oo

J2万

2At-oo<x<-H»

7.多维随机变量及其分布

二维随机变量(x,y)的分布函数

尸(x,y)=P[f(u,v)dvdu

边缘分布函数与边缘密度函数

「x(x)=(「"/(〃,

fxM=£/U,v)Jv

K()')=fff(u,v)dudv

•t-coJ-oo

A(>')=£f\u,y)du

8.连续型二维随机变量

(1)区域G上的均匀分布，U(G)

g)=[f(*"G

0,其他

(2)二维正态分布

[(X-〃1-2.(一一跖)()'一〃2)](y-M2广

/(x,y)=-------1,xe2(，V)L0」“呼

2B]/J]一"

—oo<x<+co,-oo<y<+<x>

9.二维随机变量的条件分布

x0

/(x,y)=/x(x)/y[x(yk)fx()>

=fy(y)fxly(^ly)/r(y)>o

/x(x)=「/(x，y)dy=[yx\Y(x\y)fY(y)dy

A(>!)=「/(x,y)dx=「/巾(y|x)Fx(x)"x

/x|Y(小)ZjxOWxW

A(y)fY(y)

f\(x\yyf(y)

/(X，)1)xYY

fv\x(中)

/xU)fxM

10.随机变量的数字特征

数学期望

+00

E(x)=»m

k=l

E(X)=pxf(x)dx

随机变量函数的数学期望

X的k阶原点矩

E(X、

X的k阶绝对原点矩

£(1X1*)

X的k阶中心矩

£((X-£(%)/)

X的方差

E((X-£(X))2)=D(X)

x,y的k+i阶混合原点矩

E(XY)

x,y的k+i阶混合中心矩

£((x-£(x)y(r-£(y));)

x,y的二阶混合原点矩

E(xy)

x,y的二阶混合中心矩x,Y的协方差

E((X-E(X))("E(。)))

x,y的相关系数

((X-£(X))(/-£(/))"!

17w)7w)~)PxY

X的方差

£>(X)=E((X-E(X))2)

D(X)=E(X2)-E2(X)

协方差

cov(X,Y)=E((X-E(X))(y-E(r)))

=E(XY)-E(x)E(y)

=±g(o(x±Y)—o(x)—O(y))

相关系数

cov(x,r)

PXY~JD(X)JD(Y)

第三部分线性代数部分

梳理：条理化，给出•个系统的，有内在有机结构的理论体系。

沟通：突出各部分内容间的联系。

充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷

的方法。

大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不

知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。

基本运算

①A+5=B+A

②(A+B)+C=A+(B+C)

(§)c(A+8)=cA+cB(c+d)A-cA+dA

④c(dA)=(cd)A

⑤cA=0oc=0或A=0。

(A±8)，^AT±BT

(c'4)，=c(4)

(ABY=BTAT

KM"1)…21)=C：="("J

D=。2也+a22A22+'"+a2„A2„

转置值不变[A[=|A]

逆值变-|=±

1M

M=C"|A|

[a,£]+/2,7|=|a，A，?|+|a,%7|

A-(at,a2,a3),3阶矩阵

|A+B|H|A|+冏

A+5=(%+f3\,a?+[3),cCy+03)

.+却=\ax+B\'a[+/，%+阂

A*AO....

NR=*R=同网

(Jb*D

|E("(c))=l

有关乘法的基本运算

a

Cg=%力叮+%2b2jHHinb„j

线性性质(a+42)8=+

T4(；B1+8,)=^45]+AB-,

（cA）5=c（AB）=A（cB）

结合律（AB）C=A（BC）

(AB)r=BTAT

网=|A胭

AkA'=Ak+,

(Ak}=Akl

=A/不一定成立！

AE=A，EA=A

A(kE)=kA,(kE)A=kA

AB=EoBA=E

与数的乘法的不同之处

伍8丫=A'#不一定成立!

无交换律因式分解障碍是交换性

一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如

A2-2A-3E^(A-3E\A+E)

无消去律(矩阵和矩阵相乘)

当48=0时/A=0或8=0

由A/0和A8=0R6=0

由A*0时AB=AC48=C(无左消去律)

特别的设A可逆，则A有消去律。

左消去律：46=4Cn8=C。

右消去律：8A=CAn6=C。

如果A列满秩，则A有左消去律，即

①A8=0=B=0

②AB=AC=3=C

可逆矩阵的性质

i)当A可逆时，

A，也可逆，且=(4-1丫。

M也可逆，且(屋

数cwO,cA也可逆，(CA)T=，AT。

ii)A,8是两个〃阶可逆矩阵=48也可逆，且(48尸=6一4-二

推论：设A,8是两个〃阶矩阵，则AB=E=BA=E

命题：初等矩阵都可逆，且

(E(i(M=E

(E(i，/(c))L=E(i，j(-c))

命题：准对角矩阵

0A