（全国通用）中考数学总复习 专题17 相似三角形（10个高频考点）（强化训练）（原卷版+解析）

专题17相似三角形（10个高频考点）（强化训练）【考点1比例的性质】1．（2022·辽宁抚顺·统考一模）若ab=34，且a+b=14，则A．2 B．4 C．6 D．82．（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）若ba=25，则a−bA．14 B．37 C．353．（2022·河北·模拟预测）已知a，b，c为正实数，且b+ca=a+cb=a+bcA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2022·四川内江·统考一模）已知实数x，y，z满足2x=35．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO,BO,CO，分别与对边BC,CA,AB交于D,E,F．(1)求ODAD(2)求证：1AD【考点2比例线段】6．（2022·甘肃甘南·校考一模）下列各组线段中，成比例的是（

）A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cmC．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm7．（2022·统考一模）已知线段a=5+1，b=5−1，则8．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分成了三段，若这三段长度由短到长的比为1:2:39．（2022·江苏盐城·校考一模）在比例尺为1：100000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31cm，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为______km．10．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知三条线段a，b，c满足a3=b2（1）求a，b，c的值；

（2）若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值．【考点3黄金分割】11．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（

）（结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3A．0.73m B．1.24m C．1.37m12．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足BPAP=APAB，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对13．（2022·云南玉溪·统考一模）如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是；四边形CEAF面积＝．（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．14．（2011·河北廊坊·统考中考模拟）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD各边黄金分割点．15.（2022·辽宁沈阳·沈阳市外国语学校校考一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5−15，后人把5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB=【考点4平行线分线段成比例】16．（2022春·九年级单元测试）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，则△ABC的周长为_____．17．（2022·北京·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC=18．（2022·上海·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，ADAB=DE19．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是（

）A．23 B．1 C．3220．（2022·湖南长沙·长沙市北雅中学校考模拟预测）知识拓展如图1，由DE∥BC，AD=如图2，由AB∥CD∥EF，解决问题

如图3，直线AB与坐标轴分别交于点Am，0，B0,nm＞0,n＞0，反比例函数y=m(1)若m+n=8，n(2)若SΔAOC=【考点5相似多边形】21．（2022·山东青岛·校考一模）下列结论不正确的是（

）A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正五边形都相似22.（2022·广东阳江·统考一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：1623．（2022·河北·模拟预测）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（）A． B．C． D．24.（2022·河北衡水·统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（

）．A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对25.（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是_____．【考点6相似三角形的判定与性质】26．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，直线y=34x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD=∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E(1)证明：CDDB(2)当△BDE为直角三角形时，求DE(3)点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）27．（2022·江苏淮安·统考中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′．(1)【观察发现】A′D与B′E的位置关系是______；(2)【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与(3)如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG(4)【综合运用】如图（3），当∠B=60°时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG28．（2022·宁夏·中考真题）如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象相交于点A，OB=1，tan∠OBC=2，BC(1)求反比例函数的表达式；(2)点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面积最大时，求点D29．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在直线AC上，连接BD，将DE绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．(1)求证：BC=3(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求CEAD(3)过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出30．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．(1)∠EDC的度数为；(2)连接PG，求△APG的面积的最大值；(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；(4)求CHCE【考点7网格中的相似三角形】31．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，在边长相等的正方形网格中，A、B、C为小正方形的顶点，则∠ABC=_______．32．（2022·山东济宁·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则C133．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）．(1)在图1中画出一个格点△A1B1C(2)在图2中画出一个格点△A2B2C34．（2022·吉林长春·统考一模）图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，画线段AB的中点F．(2)在图②中，画△CDE的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出△CGH与四边形DEHG的面积比．(3)在图③中，画△PQR，点R在格点上，且△PQR被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．35．（2022·湖北武汉·统考一模）如图是由边长为1的小正方形构成的6×9网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使△ACF∽△BCA；(2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．【考点8相似三角形中的动点问题】36．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10,sinB=35，点E从点B出发沿折线B−C−D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在(1)如图1，点G在AC上．求证：FA=FG．(2)若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长．(3)已知FG=8，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（包括全等）？37．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=12cm.动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F.设点P(1)当t=______s时，点P与点Q重合；(2)当t=______s时，点D在QF上；(3)当点P在Q，B两点之间(不包括Q，B两点)时，求S与t之间的函数关系式；(4)是否存在某一时刻，使得正方形APDE的面积被直线QF平分？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．38．（2022·山东青岛·校考二模）已知，如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P以每秒1个单位从点C向点B运动，同时点Q沿着AC以每秒2个单位从A向C运动，在点Q运动的同时，作QF⊥AC交AD于F，当点F移动到D时，点P和点Q停止运动．以QF和PQ为边作平行四边形PQFE，设运动时间为t秒．(1)几秒时，△AQF∽△CPQ？(2)设平行四边形PQFE的面积是S，用t表示S；(3)当PF⊥AD时，CP=PQ吗？说明理由．(4)存不存在某个时刻，使得QE∥BC？若存在，求出39．（2022·浙江绍兴·一模）如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P从点A出发，沿y轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PE∥x轴交直线AD于点(1)设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；(2)当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径；(3)在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值；(4)如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连结B′40．（2022·辽宁大连·统考三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿边AB运动，当点P与点B重合时，停止运动．过点P作AB的垂线，交射线BC于点F．设点P的运动时间为t（s），△BPF与△ABD重合部分图形面积为s（cm2(1)请直接写出AB的长；(2)求∠DAB的正切值；(3)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．【考点9相似三角形的应用】41．（2022·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（A．2cm B．3cm C．4cm 42．（2022·贵州铜仁·模拟预测）如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B=30°，斜梁AC=4m，为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC(点E在BA的延长线上)，立柱EF⊥BC，如图2所示，若EF=3m，则斜梁增加部分A．0.5m B．1m C．1.5m43．（2022·河北邯郸·校考三模）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（）A．25mm B．20mm C．15mm D．8mm44．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为_________m．（结果取整数，3≈1.745．（2022·浙江杭州·统考中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=_________m．【考点10位似变换】46．（2022·广西·中考真题）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（

）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：147．（2022·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为(

)A．（43）3 B．（43）7 C．（43）6 D．（48．（2022·广西河池·统考三模）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B①S②AB:③点A，O，A′④BCA．1 B．2 C．3 D．449．（2022·河北保定·统考模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点均在格点上，△ABC与△A′B′C′位似，点A为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点A的坐标为−3,2，则点A．−5,2 B．−1,2或−5,2 C．−5,0 D．−5,0或−1,450．（2022·广西河池·统考中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2:1，并写出点B2的坐标．专题17相似三角形（10个高频考点）（强化训练）【考点1比例的性质】1．（2022·辽宁抚顺·统考一模）若ab=34，且a+b=14，则A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由题意可得a、b的值，从而得到2a-b的值．【详解】解：由题意可得a=0.75b，代入a+b=14可得：1.75b=14，∴b=8，∴a=8×0.75=6，∴2a-b=2×6-8=4，故选B．【点睛】本题考查比例的性质与代数式求值的综合应用，熟练求解二元一次方程组是解题关键．2．（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）若ba=25，则a−bA．14 B．37 C．35【答案】B【分析】根据比例设b=2k，a=3k，然后代入比例式计算即可得解．【详解】解:∵ba=∴设b=2k,a=5k,则a−ba+b=5k−2k5k+2k故选B【点睛】本题考查比例的基本性质，解题关键是熟练掌握性质.3．（2022·河北·模拟预测）已知a，b，c为正实数，且b+ca=a+cb=a+bcA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先根据比例的性质求出k的值，然后代入y=kx+k+1【详解】∵a，b，c为正实数，∴a+b+c≠0，∴k=(b+c)+(a+b)+(a+c)a+b+c∴一次函数表达式为y=2x+3,∴它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选D.【点睛】此题考查了一次函数的性质和图象，以及比例的性质，根据等比性质求出k的值是解答本题的关键.4．（2022·四川内江·统考一模）已知实数x，y，z满足2x=3【答案】1【分析】令2x＝3y−z＝5z+x=1【详解】∵2x＝3y−z＝5z+x∴x=2k，y−z=3k，x+z=5k，∴y=6k，z=3k.∴5x−yy+2z=5×2k−6k6k+2×3k=4k12k故答案为13【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的运算法则.5．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO,BO,CO，分别与对边BC,CA,AB交于D,E,F．(1)求ODAD(2)求证：1AD【答案】(1)1(2)见解析【分析】（1）根据S△ABC（2）延长AD交⊙O于M，由于AD,BE,CF交于点O．然后由OD=R−DM,AM=2R，可以求得结论．【详解】（1）解：由于AD,BE,CF交于点O，∴ODAD=S△OBCS∴ODAD（2）证明：如图，延长AD交⊙O于M，设R为△ABC的外接圆半径，AD,BE,CF交于点O．∵ODAD同理有：OEBE=1−R代入ODAD得(1−R∴RAD∴1AD【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，分式的加减法，比例的性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心．【考点2比例线段】6．（2022·甘肃甘南·校考一模）下列各组线段中，成比例的是（

）A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cmC．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm【答案】D【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．【详解】解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；D、∵1×15=3×5，∴选项D成比例．故选：D．【点睛】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．7．（2022·统考一模）已知线段a=5+1，b=5−1，则【答案】2【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积求解即可得出答案．【详解】解：设线段x是线段a，b的比例中项，∵a=5+1，∴ax∴x2∴x=±2．∵x>0，∴x=−2舍去，故答案为：2．【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若ax=xb，则8．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分成了三段，若这三段长度由短到长的比为1:2:3【答案】4【分析】60cm剪成三段，而且三段比为1:2:3，那么最短一段为10cm，中间一段为20cm【详解】60cm剪成三段，而且三段比为1:2:3，那么最短一段为10cm，中间一段为20cm（1）0-10cm为第一段，10−30cm为第二段，30−60cm（2）0-10cm为第一段，10−40cm为第二段，40−60cm（3）0-20cm为第一段，20−30cm为第二段，30−60cm（4）0-20cm为第一段，20−50cm为第二段，50−60cm（5）0-30cm为第一段，30−40cm为第二段，40−60cm（6）0-30cm为第一段，30−50cm为第二段，50−60cm故折痕对应的刻度可能情况有4种．【点睛】本题考查了线段的比例关系，根据情况分类讨论是关键．9．（2022·江苏盐城·校考一模）在比例尺为1：100000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31cm，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为______km．【答案】31【分析】图上的距离除以比例尺，算出实际距离，进而把厘米换算成千米即可．【详解】解：由题意得，31÷故答案为：31．【点睛】本题考查比例尺的实际应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．10．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知三条线段a，b，c满足a3=b2（1）求a，b，c的值；

（2）若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值．【答案】（1）a=6，b=4，c=7；（2）d=2【分析】（1）设a3=b2=（2）由已知线段

d

是线段

a

和

b

的比例中项，可得到d2=ab，代入计算求出d的值．【详解】（1）解：设a∴a=3k，b=2k，c+1=4k即c=4k-1∵a+b+c=17∴3k+2k+4k-1=17解之：k=2∴a=6，b=4，c=7．（2）解：∵线段

d

是线段

a

和

b

的比例中项∴d2=ab=6×4=24解之：d=26【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．【考点3黄金分割】11．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（

）（结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3A．0.73m B．1.24m C．1.37m【答案】B【分析】设雕像的下部高为xm，由黄金分割的定义得x2【详解】解：设雕像的下部高为xm，则上部长为（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m，∴x2∴x=5即该雕像的下部设计高度约是1.24m，故选：B．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．12．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足BPAP=APAB，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对【答案】A【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则BPAP【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，∴BPAP∴（20−x）2＝20x，故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．13．（2022·云南玉溪·统考一模）如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是；四边形CEAF面积＝．（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．【答案】（1）FC，4；（2）102；（3）t＝（5+1）s【分析】（1）连接CD、CB，则四边形ABCD是正方形，CD＝CB＝2，证△CDE≌△CBF（SAS），得EC＝FC，即可解决问题；（2）先由全等三角形的性质得EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，再证△ECF是等腰直角三角形，当t＝1时，DE＝1，然后由勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求解即可；（3）证∠BPC＝90°，则点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，设BC的中点为G，连接AG，当点P在AG上时，AP最短，此时，PG＝BG＝1，再求出E（0，1﹣5），t＝（5+1）s，然后由待定系数法求出CE的解析式，即可解决问题．【详解】解：（1）连接CD、CB，如图1所示：∵A（0，0）、C（2，2）、D（0，2）、B（2，0），∴CD＝CB＝AB=AD=2，∴四边形DABC是菱形又∠DAB=90°∴四边形ABCD是正方形，∵E、F两点分别从点D和点B向下和向右以每秒一个单位速度移动，∴DE＝BF，∵∠CDE＝∠CBF＝90°，∴△CDE≌△CBF（SAS），∴EC＝FC，S四边形CEAF＝S四边形CEAB+S△CBF＝S四边形CEAB+S△CDE＝S正方形ABCD＝CB•CD＝2×2＝4，故答案为：FC，4；（2）∵△CDE≌△CBF，∴EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，∵∠DCE+∠ECB＝90°，∴∠BCF+∠ECB＝90°，即∠ECF＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，当t＝1时，DE＝1，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝DE2+CD2∴EF＝2CE＝2×5＝10，∵Q为EF中点，∴CQ＝12EF＝12×（3）∵BP∥CF，∠ECF＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，设BC的中点为G，连接AG，如图2所示：当点P在AG上时，AP最短，此时，PG＝BG＝1，在Rt△ABG中，由勾股定理得AG＝AB2+BG2∴AP＝AG﹣PG＝5﹣1，∵BC∥DE，∴∠AEP＝∠GCP，∵GC＝GP，∴∠GCP＝∠GPC，∵∠GPC＝∠APE，∴∠AEP＝∠APE，∴AP＝AE＝5﹣1，∴E（0，1﹣5），∴DE＝2﹣（1﹣5）＝5+1，∴t＝（5+1）s，故答案为：（5+1）s；设CE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），将C（2，2）、E（0，1﹣5）代入解析式得：2k+b=2b=1−解得：k=5∴CE的解析式为：y＝5+12x+1﹣令y＝0，x＝3﹣5，∴K（3﹣5，0），∴BK＝2﹣（3﹣5）＝5﹣1，∴BKAB＝5∴点K是线段AB的黄金分割点．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、点的轨迹、待定系数法求直线的解析式、勾股定理、黄金分割等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键．14．（2011·河北廊坊·统考中考模拟）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD各边黄金分割点．【答案】（1）对，理由见解析（2）不可能，理由见解析；（3）理由见解析（4）见解析【分析】（1）由于S△ACD、S△BCD、S△ABC是同高，而点D为边AB的黄金分割点，则ADAB=BDAD（2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是；（3）根据平行线间的距离相等，则S△DCE=S△FEC，设直线EF与CD交于点G，则S△DGE=S△FGC．通过图形面积的转化，直线（4）画法不唯一，只需分成图形面积比相等即可．【详解】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为ℎ．则S△ADC=12AD·ℎ∴S△ADCS△ABC又∵点D为边AB的黄金分割点，∴ADAB=BD∴直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴s1=s∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，∴S△DCE设直线EF与CD交于点G．则S△DGE∴S=S四边形AFGD又∵S△ADCS△ABC∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．（4）画法不唯一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是▱ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是▱ABCD的黄金分割线．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中线性质、黄金分割、三角形的面积、平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，关键是黄金分割线的灵活运用．15.（2022·辽宁沈阳·沈阳市外国语学校校考一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5−15，后人把5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB=【答案】10-45【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH=CH=2，根据勾股定理求出AH，根据线段的“黄金分割”点的定义得到CD、BE的长，求出DE的长，最后由三角形面积公式解答即可．【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，∵AB=AC，∴BH=CH=12BC在Rt△ABH中，AH=A∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，∴CD=BE=5∴DE=BE+CD−BC=25∴.S故答案为：10-45．【点睛】本题考查的是黄金分割、等腰三角形的性质，熟记黄金比值是解题的关键．【考点4平行线分线段成比例】16．（2022春·九年级单元测试）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，则△ABC的周长为_____．【答案】5【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT//AE交BC于点T．证明AB=3AD，设AD=CD=a，证明ET=CT，设ET=CT=b，则BE=3b，求出a+b，可得结论．【详解】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT//AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM=FN，∴SΔ∴AB=3AD，设AD=DC=a，则AB=3a，∵AD=DC，DT//AE，∴ET=CT，∴BEET设ET=CT=b，则BE=3b，∵AB+BE=33∴3a+3b=33∴a+b=3∴ΔABC的周长故答案为：53【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．17．（2022·北京·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC=【答案】1【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD中，AD∥BC，∴AEBC=AF∴AE4∴AE=1，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．18．（2022·上海·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，ADAB=DE【答案】12或【分析】由题意可求出DE=12BC，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足DE1=12BC，进而可求此时AE1AC=12，然后在AC上取一点E2，使得DE1【详解】解：∵D为AB中点，∴ADAB=DE取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，DE∴AE在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则DE∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠C=60°，BC＝12∵DE1∥BC，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等边三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝12∴E1E2＝14∵AE∴AE2=综上，AEAC的值为：12或故答案为：12或1【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据DE=119．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是（

）A．23 B．1 C．32【答案】C【分析】过点A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于D、E，根据题意得AD=2DE，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．【详解】解：过点A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于D、E，根据题意得AD=2DE，∵BD∥∴ABBC又∵AB=3，∴BC=故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．20．（2022·湖南长沙·长沙市北雅中学校考模拟预测）知识拓展如图1，由DE∥BC，AD=如图2，由AB∥CD∥EF，解决问题

如图3，直线AB与坐标轴分别交于点Am，0，B0,nm＞0,n＞0，反比例函数y=m(1)若m+n=8，n(2)若SΔAOC=【答案】(1)当n=4时，Δ(2)B【分析】（1）由m+n=8得m（2）过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，根据SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD得（1）解：∵m+∴m=8−∵点Am，0，B0,∴SΔ∴n=4时，S即当n=4时，Δ（2）解：如图，∵SΔ∴BD=过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥∴DF∥∴BF=∵点B0,n∴OB=∴BF=∴点C的纵坐标为13∵点C在反比例函数y=mx∴C(∵点Am，0，B0,∴直线AB的解析式为y=−∵点C在直线AB上，∴−n解得n=∴B0,【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，知识拓展得出的结论，解第一问的关键是建立SΔABO【考点5相似多边形】21．（2022·山东青岛·校考一模）下列结论不正确的是（

）A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正五边形都相似【答案】B【分析】利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．【详解】解：A、所有的正方形都相似，故A正确，不合题意；B、菱形的内角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，故B不正确；符合题意；C、所有的等腰直角三角形都相似，故C正确，不合题意；D、所有的正五边形边都相似，故D正确，不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似，比较简单．22.（2022·广东阳江·统考一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16【答案】B【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．【详解】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为14故选：B．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．23．（2022·河北·模拟预测）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可．【详解】作AE⊥BC于E，则四边形AECD为矩形，∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，∴BE＝4，由勾股定理得，AB＝AE∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，故选：D．【点睛】此题考查相似多边形的判定定理，两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相似，此题求出多边形的剩余边长是解题的关键，利用矩形的性质定理，勾股定理求出边长.24.（2022·河北衡水·统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（

）．A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【答案】C【分析】根据相似多边形的对应边成比例、对应角相等进行判断即可．【详解】解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似；乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原菱形不相似．所以甲对，乙不对，故选：C．【点睛】本题考查了相似多边形的判定．此题难度不大，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．25.（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是_____．【答案】2：1．【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案.【详解】设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为x2∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴x：y＝y：x2解得x：y＝2：1．故答案为：2：1【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，正确找出对应边是解题关键.【考点6相似三角形的判定与性质】26．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，直线y=34x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD=∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E(1)证明：CDDB(2)当△BDE为直角三角形时，求DE(3)点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）【答案】(1)见解析(2)DE=(3)2【分析】（1）由条件可证得△BDC∽△EDO，根据相似三角形对应边成比例得CDOD（2）先根据函数关系式求出AO、BO的长度，然后作出对应的图2，可证明tan∠OCD=tan∠OAB，从而得到OBOA=ODCD=68=34，设OD=3m，CD=4m，结合△CDB∽△AOB【详解】（1）证明：已知射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，∴∠COE=90°，∴∠AOB=∠COE=90°，∵∠OCD=∠OAB，∠ABO=90°−∠OAB,∠CEO=90°−∠OCD∴∠ABO=∠CEO，又∵∠BDC=∠EDO，∴△BDC∽∴∴CD（2）解：直线y=34x+6，当x=0∴B(0,6)，∴OB=6，当y=0时，34∴x=−8，∴A(−8,0)，∴OA=8，如图2，∠BDE=90°，∴∠ODC=∠BDE=90°，∵∠OCD=∠OAB，∴tan∴OB∴设OD=3m，CD=4m，∵∠CDB=∠AOB=90°，∴CD∥∴△CDB∽∴CDOA=∴BD=3m，∴OB=BD+OD=3m+3m=6，∴m=1，∴BD=3，CD=4，由（1）知：CDDB∴4∴DE=（3）解：如图3，由对称得：OA=OF,则动点F在以O为圆心，以OA为半径的半圆AFA∴当F在y轴上，此时在B的正上方，BF的值最小，如图4，此时BF=OF−OB=8−6=2，即BF的最小值是2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形、一次函数与坐标轴交点问题、轴对称图形特征、圆的性质、动点中的最短距离问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定，采用数形结合，利用相似比列方程求线段长是解题关键．27．（2022·江苏淮安·统考中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′．(1)【观察发现】A′D与B′E的位置关系是______；(2)【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与(3)如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG(4)【综合运用】如图（3），当∠B=60°时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG【答案】(1)A′(2)∠DEC=∠B(3)∠DEG=90°，理由见解析；(4)DG【分析】（1）利用菱形的性质和翻折变换的性质判断即可；（2）连接B′C，BB′，由EB=EC=EB′可知点B、B′、C在以BC为直径,E（3）连接B′C，DB，DB′，延长DE至点H，求出∠DGA′=180°−2x−y，∠GB′（4）延长DG交EB′的延长线于点T，过点D作DR⊥GA′交GA′的延长线于点R，设GC=GB′=x，CD=A′【详解】（1）解：∵在菱形ABCD中，AD∥∴由翻折的性质可知，A′故答案为：A′（2）解：∠DEC=∠B理由：如图，连接B′C，∵E为BC中点，∴EB=EC=EB∴点B、B′、C在以BC为直径,E∴∠BB∴BB由翻折变换的性质可知BB∴DE∥∴∠DEC=∠B（3）解：结论：∠DEG=90°；理由：如图，连接B′C，DB，DB′，延长由翻折的性质可知∠BDE=∠B设∠BDE=∠B′DE=x∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ADB=∠CDB=∠B′D∴∠A′∴∠DGA∴∠BEB∵EC=EB′，点B、B′、C在以BC∴∠EB∵A′∴∠A∴∠GB∴∠CGA∵∠CGA∴∠GB∴GC=GB′，∵EB′=EC，∴EG⊥CB′，∵DE∥∴DE⊥EG，∴∠DEG=90°；（4）解：结论：DG理由：如图，延长DG交EB′的延长线于点T，过点D作DR⊥GA′交设GC=GB′=x∵∠B=60∴∠A=∠DA∴∠DA∴A′R=A在Rt△DGR中，则有2a+x∴x=4∴GB′=∵TB∴△B∴TB∴T∴TB∵CB∴CB∴DE=7∵∠DEG=90°，∴DG∴DG【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．28．（2022·宁夏·中考真题）如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象相交于点A，OB=1，tan∠OBC=2，BC(1)求反比例函数的表达式；(2)点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面积最大时，求点D【答案】(1)y=(2)点D的坐标为1,−【分析】（1）过点A作AF⊥x轴于点F，先证△ACF∽△BCO，根据对应边成比例得BCAC=OBAF=OCCF=12，结合已知条件推出OC=2OB=2，（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=12x−1，设点D的横坐标为t，则D(t,12t−1)，E(t,12（1）解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，∴∠AFC=∠BOC=90°，又∵∠ACF=∠BCO，∴△ACF∽△BCO，∴BCAC∵OB=1，tan∠OBC=2∴OC=2OB=2，∴AF=2，CF=4，∴OF=OC+CF=2+4=6，∴A6,2∵点A在反比例函数y=m∴m=2×6=12．∴反比例函数的表达式为：y=12（2）解：由题意可知B0,−1设直线AB的解析式为y=kx+b，将A6,2，B0,−1代入得2=6k+b−1=b解得k=1∴直线AB的解析式为：y=1设点D的横坐标为t，则D(t,12t−1)∴ED=12∴△BDE的面积为：12=−1=−1∵−1∴t=1时，△BDE面积取最大值，最大值为254将x=1代入y=12∴点D的坐标为1,−1【点睛】本题属于一次函数、反比例函数以及二次函数的综合题，考查待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，以及二次函数的最值等，解第一问的关键是求出点A的坐标，解第二问的关键是求出△BDE面积的函数表达式．29．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在直线AC上，连接BD，将DE绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．(1)求证：BC=3(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求CEAD(3)过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出【答案】(1)证明见解析；(2)3(3)5719或【分析】（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝32AB，BC＝2BH（2）证明△ABD∽△CBE，进而得出结果；（3）当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，同样方法求得结果．（1）证明：如图1，作AH⊥BC于H，∵AB＝AB，∴∠BAH＝∠CAH＝12∠BAC＝12×120°＝60°，BC＝2∴sin60°＝BHAB∴BH＝32AB∴BC＝2BH＝3AB；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝180°−∠BAC2由（1）得，BCAB同理可得，∠DBE＝30°，BEBD∴∠ABC＝∠DBE，BCAB∴∠ABC−∠DBC＝∠DBE−∠DBC，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴CEAD（3）：如图2，当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，由（1）得，CE=3在Rt△ABF中，∠BAF＝180°−∠BAC＝60°，AB＝3a，∴AF＝3a•cos60°＝32a，BF＝3a•sin60°＝在Rt△BDF中，DF＝AD＋AF＝2a+3BD＝∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，∴△DAG∽△DBF，∴AGBF∴AG3∴AG=3∵AN∥DE，∴∠AND＝∠BDE＝120°，∴∠ANG＝60°，∴AN＝∴ANCE如图3，当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，由（1）得，CE＝3AD=4作BR⊥CA，交CA的延长线于R，作AQ⊥BD于Q，同理可得，AR＝a，BR＝3a∴BD=3∴AQ3∴AQ=2∴AN=2∴ANCE综上所述：ANCE的值为5719或【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．30．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．(1)∠EDC的度数为；(2)连接PG，求△APG的面积的最大值；(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；(4)求CHCE【答案】(1)45°(2)9(3)PE=DG，理由见解析(4)2【分析】（1）先说明∠B=45°，再说明DE是△CBP的中位线可得DE∥BP，然后由平行线的性质即可解答；（2）先说明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF=22DE、GF=CF=22CG；设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE，然后通过三角形中位线、勾股定理、线段的和差用（3）先证明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，进而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，进而得到∠GHE=∠CFE=90°，即可说明DG、PE的位置关系；（4）先说明△CEF∽△CDH得到CECD=CFCH，进而得到CHCE=CF⋅CD【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12∴∠B=∠ACB=45°∵，D、E分别为BC、PC的中点∴DE∥BP，DE=12∴∠EDC=∠B=45°．（2）解：如图：连接PG∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形∴DF=EF=22DE，GF=CF=设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE∴DE=12−x2，EF=12−x∵Rt△APC，∴PC=AP∴CE=12∵Rt△EFC∴FC=FG=CE∴CG=2CF=12+x∴AG=12-CG=12-12+x2=∴S△APG=12所以当x=6时，S△APG有最大值9．（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF∴△GFD≌△CFE(SAS)∴DG=CE∵E是PC的中点∴PE=CE∴PE=DG；∵△GFD≌△CFE∴∠ECF=∠DGF∵∠CEF=∠PEG∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．（4）解：∵△GFD≌△CFE∴∠CEF=∠CDH又∵∠ECF=∠DCH∴△CEF∽△CDH∴CECD=CF∴CH∵FC=12+x22，CE=12x2∴CHCE=≤∴CHCE的最大值为2【点睛】本题主要考查了三角形中位线、平行线的性质、二次函数求最值、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．【考点7网格中的相似三角形】31．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，在边长相等的正方形网格中，A、B、C为小正方形的顶点，则∠ABC=_______．【答案】135°．【分析】由题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，求出各边的边长，然后利用全等三角形的判定和性质，即可求出答案．【详解】解：根据题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，如图：由勾股定理，则BE=2，DE=5，BD=1，AB=5，BC=∴ABBD=51=∴ABBD∴△ABC∽△DBE，∴∠ABC=∠DBE=90°+45°=135°．故答案为：135°．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是正确的确定格点，利用全等三角形的性质进行解题．32．（2022·山东济宁·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则C1【答案】2【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．【详解】解：∵DEABEFBCDFAC∴DEAB∴△ABC∽△DEF，∴C1故答案为：22【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．33．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）．(1)在图1中画出一个格点△A1B1C(2)在图2中画出一个格点△A2B2C【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据相似三角形的性质，把△ABC的边长扩大2倍即可．（2）根据相似三角形的性质，把△ABC的边长扩大2倍即可．【详解】（1）解：如图，△A（2）如图，△A【点睛】本题考查作图﹣相似变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．34．（2022·吉林长春·统考一模）图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，画线段AB的中点F．(2)在图②中，画△CDE的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出△CGH与四边形DEHG的面积比．(3)在图③中，画△PQR，点R在格点上，且△PQR被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．【答案】(1)见解析(2)见解析，面积比为1：3(3)见解析【分析】（1）根据网格的特点，找到A,B之间单元网格的对角线，交AB于点F，则点F即为所求；（2）根据（1）的方法找到CD,CE的中点G,H，连接GH，根据相似三角形的性质即可求出△CGH与四边形DEHG的面积比；（3）根据（2）的结论，可知，只要MN经过△PQR的中位线，根据R在网格上，找到符合题意的点R即可求解．【详解】（1）如图①：（2）如图②：∵GH∥DE∴∴△CGH与四边形DEHG的面积比为1：3．（3）如图③，画出一种即可．【点睛】本题考查了网格与相似三角形，相似三角形的性质，三角形中位线的性质，根据网格的特点找到线段的中点是解题的关键．35．（2022·湖北武汉·统考一模）如图是由边长为1的小正方形构成的6×9网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使△ACF∽△BCA；(2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据格点特点画出AC的平行线即可；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知，O为MC的中点，连接AO，则AO平分∠MAC，即∠OAC=45°，因此延长AO，与BC交于一点，即为点F；（2）连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．(1)解：根据格点特点连接GD，则GD∥AC，GD与AB的交点即为E点；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知：O为MC的中点，连接AO，∵AM=AC，∴AO平分∠MAC，∴∠OAC=12∴延长AO，与BC交于一点，即为点F，∵∠ABC=∠FAC=45°，∠ACB=∠∴△ACF∽△BCA．(2)连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；∵AC=DC，O为AD的中点，∴CM平分∠ACD，∴点M到AC，CD的距离相等，∴△MDC与△MAC的面积相等；连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一；∵在△PBG和△QCG中{∠PBG=∠QCG=90°∴△PBG≌△QCG，∴BG=CG，∴CG=12∵AH∥GC，∴∠HAN=∠GCN,∠AHN=∠CGN，∴△GCN∽△HAN，设△GCN边CG上的高为h1，△HAN边AH上的高为h2，则ℎ1∵ℎ1∴ℎ1∴S△DCN∵S△ABC∴S△DCN【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，角平分线的性质，是解题的关键．【考点8相似三角形中的动点问题】36．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10,sinB=35，点E从点B出发沿折线B−C−D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在(1)如图1，点G在AC上．求证：FA=FG．(2)若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长．(3)已知FG=8，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（包括全等）？【答案】(1)见解析(2)AG=7或5(3)s=1或s=3225或s=【分析】（1）证明△AFG是等腰三角形即可得到答案；（2）记AC中点为点O．分点E在BC上和点E在CD上两种情况进行求解即可；（3）过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N．分点E在线段BM上时，点E在线段MC上时，点E在线段CN上，点E在线段ND上，共四钟情况分别求解即可．【详解】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA．∵FG∥BC，∴∠FGA=∠BCA，∴∠BAC=∠FGA，∴△AFG是等腰三角形，∴FA=FG．（2）解：记AC中点为点O．①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，∵在Rt△ABM中，AM=3∴BM=A∴FG=EF=AM=6,CM=BC−BM=2，∵OA=OC,OE∥AM，∴CE=ME=1∴AF=ME=1，∴AG=AF+FG=1+6=7．②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N．同理，FG=EF=AN=6,CN=2，AF=NE=1∴AG=FG−AF=6−1=5．∴AG=7或5．（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N．①当点E在线段BM上时，0<s≤8．设EF=3x，则BE=4x,GH=EF=3x，ⅰ）若点H在点C的左侧，s+8≤10，即0<s≤2，如图4，CH=BC−BH=10−(4x+8)=2−4x．∵△GHC∽△FEB，∴GHEF∴GHCH∴3x2−4x解得x=1经检验，x=1∴s=4x=1．∵△GHC∽△BEF，∴GHBE∴GHCH∴3x2−4x解得x=8经检验，x=8∴s=4x=32ⅱ）若点H在点C的右侧，s+8>10，即2<s≤8，如图5，CH=BH−BC=(4x+8)−10=4x−2．∵△GHC∽△FEB，∴GHEF∴GHCH∴3x4x−2此方程无解．∵△GHC∽△BEF，∴GHBE∴GHCH∴3x4x−2解得x=8经检验，x=8∴s=4x=32②当点E在线段MC上时，8<s≤10，如图6，EF=6,EH=8,BE=s．∴BH=BE+EH=s+8,CH=BH−BC=s−2．∵△GHC∽△FEB，∴GHEF∴GHCH∴6s−2此方程无解．∵△GHC∽△BEF，∴GHBE∴GHCH∴6s−2解得s=1±37经检验，s=1±37∵8<s≤10，∴s=1±37③当点E在线段CN上时，10≤s≤12，如图7，过点C作CJ⊥AB于点J，在Rt△BJC中，BC=10,CJ=6,BJ=8．EH=BJ=8,JF=CE，∴BJ+JF=EH+CE，∴CH=BF，∵GH=EF,∠GHC=∠EFB=90°，∴△GHC≌△EFB，符合题意，此时，10≤s≤12．④当点E在线段ND上时，12<s<20，∵∠EFB>90°，∴△GHC与△BEF不相似．综上所述，s满足的条件为：s=1或s=3225或s=32【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键．37．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=12cm.动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F.设点P(1)当t=______s时，点P与点Q重合；(2)当t=______s时，点D在QF上；(3)当点P在Q，B两点之间(不包括Q，B两点)时，求S与t之间的函数关系式；(4)是否存在某一时刻，使得正方形APDE的面积被直线QF平分？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3(2)12(3)S=(4)存在，t=3【分析】（1）当点P与点Q重合时，此时AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=6，由此列一元一次方程求出t的值；（2）当点D在QF上时，如图1所示，此时AP=BQ=t．由相似三角形比例线段关系可得PQ=12t，从而由关系式AP+PQ+BQ=AB=6（3）当点P在Q，B两点之间运动(不包括Q，B两点)，3<t≤4时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出S，②当4<t<6时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形，根据（4）由题意知，当1<t≤43时，正方形APDE的面积被直线QF平分，列出方程，求出时间【详解】（1）当点P与点Q重合时，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=6，∴t+t=6，解得t=3，故答案为：3；（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．∵QF∴∠PQD=∠CBA∵四边形APDE为正方形，∴∠DPQ=∠DPA=∠A=90°∴△PQD∽∴DP：则PQ=1由AP+PQ+BQ=AB=6，得t+1解得：t=12（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时当D点在BC上时，如答图2所示，∵四边形APDE是正方形，∴DP∥∴ΔBDP~∴PBAB∴PBDP∴PB=1∵AP+PB=AB，即t+1解得：t=4；此时E,F两点重合；因此当P点在Q，B两点之间(不包括①当3<