2019年高中数学创新试题评比

2019年义乌市高中数学创新试题设计卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.复数z满足（3-4i）z=|4+3i|,则z的虚部为（）

A.-4B.Y5C.4D.45

2

已知函数f（x）=/+log^x+&2+DMER,贝广/⑷+f（b）>0”是“a+b>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

22

3.已知双曲线C:5-二=1（。>0）的一个焦点为（5,0）,则双曲线C的渐近线方程为（）

a16

A.4x±3y=12B.4x±Ey=（）C.16x±9y=0D.4x±3y=0

x-3jy+4>0

4.若实数K.y满足约束条件<3x—y—4W0,则2x+3y的取值范围是()

x+y>0

A.[-1,1]B.[-1,10]C.[1,12]D.[-1,12]

解析：根据条件画出可行域，是一个封闭图形，

当在8处，2"3」取最小值为-1；

当在C处，2X+3J取最大值为10；故选B.

5.（2分）如图Fi，F2分别是椭圆[+\=l（a>0,b>0）的两个焦点，A和B是以。

为圆心，以|OFi|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的

离心率为（）D

心

AC*D.V3-1

2

6.函数.v=sin卜V卜巾|的图像可能是（）

C

7.已知随机变量&满足P&=1）=E，P©=0）=f1,2，若。＜Pl＜P2＜g，则（）

A.£（。）＞£隰）,。4）＞。倡）B.E(£)>E(QD©)<04)

£《）=分。（与）=£'（与‘）一£《『=必（1一生”又因为。＜四＜Pi

所以有：£值）＜£（另）。（4〈。（电），选C

特别说明：此类分布是两点分布及满足二项分布及，…〃（】•〃,）

8.如图，二面角。一/一夕中，Pel,射线/M.P8分别在平血内，点A在平面耳内的射影

恰好是点B,设二面角a-/-6、PA与平面£所成角、PB与平面a所成角的大小分别为MdJ,

贝1J（）

A.3＞（p＞e

C,(p>3>0D."62/

解析：由最大角定理可得：6N<p、6之0

特殊状态当二面角一/为90。时；显然0",^6><p>0

9.已知函数/'(%)=|1nx+x,若/(%)=J,%)，其中玉0工2，则()

cc11c11c

A.Xj4-x9<2B.%+%>2C.—I------->2D.-l-------<2

%1x2Xjx2

解析：由题意可得•-In.Vj+X]=In.v,+x,=ln(.v,•x,)«xt-x,<0=>0<xt•.v,<1

因x,+再>2g,所以5+F=熹>2

10.数列｛a.｝中q=La.T=%+sina.,对任意〃eN’，下列选项错误的是O

a27t

A.4.12aliB.--"'C."114D.凡42

解析：对B：a..,=u,+stn<j,£2a,a,<2*'

对ACD,如图：由数列不动点（蛛网算法）或函数迭代

可得：显然D错误。

10.将一个棱长为。的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成

的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则”的最大值为（）

2五一娓2拒一屈2拒S3&-2万

A.6B.6C.3D.3

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.

11.仇章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食

半马，"马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了

别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人

说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿斗粟,

在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿斗粟.

【答案】;v

77

【解析】解：由题意可知X,y,Z依次成公比为：的等比数列，

则％+y+z=4z+2z+z=5,

解得Z=

mil5/20

则“户4=子

羊的主人应赔偿：斗粟；

牛主人比羊主人多赔偿m1=蔡斗粟.

故答案为：J；77.

77

由题意可知Z,y,z依次成公比为《的等比数列，根据等比数列的性质及求和公式即可求得

答案.

本题考查等比数列的性质与前〃项和，属于基础题.

12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为J1T

表面积是•

侧视图

【答案】5,14+719.

111T

试题分析：体积V=2x1x3—2x—x—xlxlx3=6—1=5,俯视图

32

表面积S=2x3xJ+2x3+2xl+2x3xlxL

’22

(/丫

13.在二项式x+\的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是

解析：

通项公式：7i.,=（V2）*C；-.r,;,

当A=4时，常数项项为C：（&/=280；

当人为偶数时，符合题意，共5项.

14.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加,

女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为.（用数字作答）

【答案】23

【解析】由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲

不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5=23,得解.

【详解】

①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为

c；-c；=9,

②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为

Cl-Cl=9,

③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C；=5,

综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5=23,

故答案为：23.

【点睛】

本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题.

22

15.己知椭圆后：鼻+今=1的左右焦点分别为。是坐标原点，若存在过左焦点耳的

弦使得。=则椭圆的离心率e的取值范围是.

由图像的对称性可得：当轴时存在，即满足条件,

b2V5-1.

>一=>eG(-------.1)

已知平面向量窗K，2满足|砧=|另1=2，a,石的夹角为Mc2-2a-c-6-C4-4=0，则

伍+3)•B的最大值为.

【答案】6+2次

【解析】解：|矶=|另|=2，方，方的夹角为半

由题意可设方=(2,0),b=(1,V3)，c=(x,y),

vc2—2a-c-h-c+4=0，

・,・%2+y2—5x—V3y+4=0,

即(x_|)2+(y_4)2=3,

由圆的性质可知，(x-1)2+(y-y)2=3上的点到直线x+加+2=0的距离的最大值为:

L;+V3X^+2L

8+1舄1=3+技

则位+c)-6=(2+x)x1+V3(o+y)=x+V3y+2的最大值为6+2®

故答案为：6+2V3-

由题意可设立=(2,0),K=(1.V3).?=(X,y)，结合已知可得0—|)2+("亨)2=3,结

合点到直线的距离公式及圆的性质可求

本题主要考查了向量数量积的运算性质的应用，圆的性质的灵活应用是求解本题的关键.

15.已知=—,若对任意的XW&,都有〃x)41恒成立，则实数。的取值范

x~-x+1

围是一—.

解析：

法一：判别式法

----------<1。X2-（6/+l）x+120恒成立，即△=/+2«-3<0=>61€[-3,1]

.r-.v+l

法二：参变量分离

当x>0时：a<x+--\=>a<（x+-■-l）（nin=>t7<1•

xx

当K=0时：aeR•

当x<0时："2*+」-1=>"25+二1）皿=>6|2-3；综上所得：

X

法三：以直代曲

—4—+百恒成立;

即函数g(x)=X，-x+1的图像恒在函数/心)=a'的上方，如图显然以切线为界

设切点为（与，《；-/+1）,

贝4〃=A=2x0-1=——"*।=x。=±I

-%

即〃=I或-3•BPae[-3,1]

17.如图，在△/8C中，D是BC的中点,E在边AB上,

■■,•.ziJ?

BE=2£4,AD与CE交于点。.若497。=64。・8,则——的

AC

值是.

解析：取酩中点尸，连接。尸，可得。尸||£。，即O为必中

点，.\ABAC=6Ad-EC=6-^（AB+AC）（AC-=AC：-厚，+而二

即：AC,所以喂=G

13.已知/(%)42x+2|+|x-l|的最小值为，，则，的值为,若实数48满足

求*岛的最小值为——.

17.已知向量小,〃的夹角为m-n=5,向量a-〃，与的夹角为g,

a-tn=2A/3，则a-m的最大值为•

【答案】24

提示：四点共圆+余弦定理

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(本小题满分14分)

1.已知函数/(%)=sin2x+2sinxcosx—cos2%.

(I)求函数/(%)的最小正周期和单调递增区间；

(n)当xe[o于时，求函数f(x)的值域.

【答案】解：(I)求函数/(x)=sin2x+2sinxcosx—cos2x=sin2x—cos2x=V2sin(2x—

的最小正周期为与=〃.

令2/£兀一三2%—花2"+5,求得—+表故函数的单调增区间为便兀一

^,fc7r+-■]>keZ.

(U)当XC[O,自时,争，

-y<sin(2x-^)<1,-1</(x)<V2,故函数f(x)的值域为[一1,夜].

【解析】(I)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f(x)

的单调递增区间.

(II)当xe[0,自时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f(x)的值域.

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于

中档题.

19.(本小题满分15分)

如图，在三棱锥S-ABC中，ASAC为等边三角形,

AC=4,BC=4上,BC1AC,cosZSCB

,。为A3的中点.

4

(1)求证：AC±SD；

(2)求直线SO与平面S4C所成角的大小.

19.(1)证明：分别取线段AC、AB的中点记为。、D,连接SO、0D,

因为AS4c为等边三角形，则AC±SO,

又OD〃BC,则AC±OD,SOC\OD=O.

则AC_L平面SOD,所以ACLSD.-------------6分

(2)延长SO,过D做SO延长线的垂线，垂足记为H,

易知DHJ_平面SAC,

所以

NDSH为直线与平面SAC所成角.---------------10分

在ASBC中，SB=2A/22,

因为\cosZSDA+cosZSDB=0,求得SZ>6,-------------12分

v0D=-BC=2A/3,且S0=2囱，贝ijNDSH=x,

乂26

故直线SO与平面SAC所成的角为2.

6

15分

20.(本小题满分15分)

已知等差数列满足4+/+%=9,4+。4+4=12，等比数列/“｝公比“>1,且

b2=^20,83=〃8

(I)求数列｛4｝,也,｝的通项公式;

（II）若数列｛%｝,满足c“=4"一九，且数列｛cj的前n项和为8“，求证：数歹小

3

前n项和T〃<一

2.

20.解:（1）

V+。3+。5=9,。2+。4+。6=12

=3,。4=4

/.d-1

:,4=〃

+〃4=20/3=8

2

，姐+姐3=20①b{q=8（2）

由①②得q=2或q=g（舍）仇=2

・血=2"

⑵c„=4"-2"

4?

：.B„=-x4n-2n+l+-

33

—__--一113分

15分

21.已知。为坐标原点，过点/（1,0）的直线/与抛物线C：y2=2px（p>0）交于A，B

两点，且.。月=—3.

(1)求抛物线。的方程;

(2)过点/作直线r_L/交抛物线C于尸，。两点，记AOAB,AOP。的面积分别为3,

11

豆，证明：尹+尹为定值.

2

【答案】(1)y=4x；(2)详见解析.

【解析】(1)设直线/的方程为x=my+l,与抛物线C的方程联立消去x得关于y的方程,

利用根与系数的关系表示砺.砺=-3,从而求得P的值；(2)由题意求出弦长|A8|以及

11

原点到直线/的距离，计算AOA8的面积51,同理求出△OPQ的面积52,再求「+”的

3]>2

值.

【详解】

（1）设直线/：x=my+l,与V=2px联立消％得，y2-2pmy-2p=0.

设A（XQI）,3（马,%），则y+%=2p加，必%=一2〃.

因为g（x）,所以=（如1+1）（加%+1）+X%

=（1+加2）X%+m（y+%）+1=（1+加2）（-2〃）+2〃牝2+1=—2〃+1=—3,

解得p=2.

所以抛物线C的方程为丁=4x.

（2）由（1）知M（l,（））是抛物线。的焦点，所以

2

|A8|=jq+x2+p=inyx+my2+2+p=4m+4.

原点到直线I的距离d=T)一,所以SAOA8='X

V1+/71

+m

因为直线，过点(1,0)且所以SAO.2=2

m"

111ITT1

所以《？+三？=----2\+77\----讣=

5]S24(1+")4(1+")4

111

即用+铲定值屋

【点睛】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了直线与抛物线方程的应用问

题，是中档题.

44.(本题满分12分)已知函数/(幻=4111%+(犬2—(1+“)%(1>0),其中。为实数

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若函数/(x)NO对定义域内的任意x恒成立，求实数”的取值范围；

(3)证明：一?—+--------+…+—?—>―--，对于任意的正整数利〃成

ln(m+l)ln(m+2)ln(/%+〃)m(m+n)

立.

44.(1)函数/(x)的增区间是(a,+8)和(0,1),减区间是(1,a)；(2)a”—g：(3)略.

【解析】

八,广,.a..x2~(J+a)x+a(jc-n)(x-l)

试题分析：(1)由已知可得/(x)=—+x-(1+a)=-------------=-----------(zx>0),

XXX

当aWO时，令f(x)>0得x>l；/'(x)<0得0<x<l,

此时，函数/(X)的增区间是(1.+8),减区间是(0,1),

①当0<。<1时，令/(x)>0得％>1或0cxea；令/'(x)<0得a<x<l,

此时,函数/(x)的增区间是。,例)和(O,a),减区间是(a,1)；

②当a=l时，/''。)20对任意为€(0,+8)恒成立，

此时，函数/(x)的增区间是(。,+8),无减区间；

③当。>1时，令/'(尤)>0得x>a或0<x<l；/'(x)<0得1cxea,

综上可得，函数/(x)的增区间是(a,-8)和(0,1),减区间是(La).

(2)由于/(1)=一3-。，显然当a〉0时，/(1)<0,此时/(力..0对定义域内的任意x

不是恒成立的：当4,0时，根据(1)函数〃x)在区间(0,+8)上的极小值(也是最小值)

是/(1)=一3一。，此时只要/(x)..O即可，解得出一；，故实数。的了取值范围是

1

2

(3)当°=一,时，/(x)=--lnx+-x2--x>0(当且仅当x=l时等号成立)则

2222

\nx<x2-x,当x>l时，此不等式可以变形为>一一=」二一工，分别令

Inxx-xx—1x

Ico1111

%二根+1,加+2,根+3,・・・，加+〃,则nl---------1-----------------H----------1-------F----------------

ln(m+l)ln(m+2)ln(m+3)ln(m4-n)

/1、/11、/11.11n

mm+lm+1m+2m+n-1m+nmm+nm(m+ri)

…111n

所以---------1------------------F…-I------------------->----------------.

ln(m+1)ln(m+2)ln(m+〃)m(m+n)

、上、a八、12一(1+。»+。(x-tz)(x-l)八、

试题解析：(1)因为f(x)=一+1一(1+。)=---------------=------------(zX>O)

XXX

当awo时，令/a)>o得x>i；/a)<o得o<x<i

此时，函数/(X)的增区间是(1.+8),减区间是(0,1)

当0<。<1时，令/(幻>0得X>1或0<x<a；/、'(x)<0得a<x<l

此时，函数/(X)的增区间是(1,+8)和(o,a),减区间是(a,1)

当a=l时，/(尤)NO对任意xe(O,+8)恒成立，

此时，函数/(x)的增区间是(0,小)，无减区间

当a>l时，令f(x)>0得x>a或0<x<l；f(x)<0得l<x<a

此时，函数/(X)的增区间是(a,+8)和(0,1),减区间是(1,a).(4分)

(2)由于/(1)=一；一。，显然当a〉0时，/(1)<0,此时，/(力..()对定义域内的任

意x不是恒成立的；当4,0时，根据(1)函数”X)在区间(0,+8)上的极小值(也是最

小值)是/(l)=—g—a,此时只要/(x)..O即可，解得4,一;，故实数a的了取值范围

是U,,---.(8分)

2

(3)当°=—,时，/(x)=--lnx+-x2--x>0(当且仅当尤=1时等号成立)则

2222

\nx<x2-x,当x>l时，此不等式可以变形为J->一一=工一工，分别令

inx-xx-lx

Ico1111

x=m++,则nI---------1----------1----------1---1---------

ln(m+l)ln(m+2)\n(m+3)ln(m4-n)

1

>(/-------1-)、+(/---1--------1-)、+...+(/--------------1--)=---1------1--=-----n----

mm+1m+1m+2m+n-\m+nmm+nm(m+n)

…111n

所以---------1----------F…-I--------->---------.

ln(m+1)ln(m+2)ln(m+n)

考点：1.导数应用；2.函数最值；3.不等式证明.

22.(本题满分15分)

已知函数/(X)=--(a-2)x-aIn.v

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若方程〃x)=c有两个不相等的实数根占,々，求证：xt+x2>a

Ajjxr"/八.a2x'-(a-2)x-a(2x-aW.v+I)

解析：(1)/'(.r)=2x-(-2)--=——!——----------——(.r>0)

UXXX

当aWO时，/1)>0恒成立,即在区间(0,位)上单调递增；

当°>()时，