2016年中考真题 数学（内蒙古包头卷）试卷及解析

2016年内蒙古包头市中考数学试题

一、选择题:本大题共有12小题,每小题3分，共36分.

1.若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为（）

A.-1B.-4.-5D.—

22

2.下列计算结果正确的是（）

A.2+5/3=25/38.我+&=2C.（-如2）3=_6a6D.（a+l）2=a2+l

3.不等式2-二二Li的解集是（）

23

A.x<4B.x>4C.x<-1D.x>-1

4.一组数据2,3,544,6的中位数和平均数分别是（）

A.4.5和4B.4和4c.4和4.8D.5和4

5.120。的圆心角对的弧长是6n,则此弧所在圆的半径是（）

A.3B.4C.9D.18

6.同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

8832

7.若关于x的方程x2+（m+l）x+^0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（）

A.--B.—C.--1

2222

8.化简（▲+■[+-」亍）・2比其结果是（）

aba2b2

2,22,2ii

A.abBabcD.—1—

a-bb-aa-bb-a

9.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等.若NBOC=120。,则tanA的值为（）

10.已知下列命题:①若a>b,则a2>b2；②若a>l,则（a-1）°=1；③两个全等的三角形的面积相等；④四

条边相等的四边形是菱形.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

11.如图•，直线y=-1x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA

上一动点,PC+PD值最小时点P的坐标为（）

A.(-3,0)B.(-6,0)C.(-y.O)D.(-敢)

12.如图，在四边形ABCD中,AD〃BC,NABC=9(T,E是AB上一点，且DE_LCE.若AD=1,BC=2,CD=3,则CE

与DE的数量关系正确的是()

A.CE=V^EB.CE=V^»EC.CE=3DED.CE=2DE

二、填空题:本大题共有8小题,每小题3分，共24分

13.据统计,2015年,我国发明专利申请受理量达1102000件，连续5年居世界首位，将1102000用科学记数法

表示为____________

14.若2x-3y-1=0,则5-4x+6y的值为.

15.计算：6点-（后1尸=.

16.已知一组数据为1,2,3,4,5,则这组数据的方差为

17.如图，在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AELBD,垂足为点E,若/EAC=2NCAD,

则/BAE=度.

18.如图，已知AB是。0的直径，点C在。O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC,若

NA=3(T,PC=3,则BP的长为.

19.如图,在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上,/AOB=3(T,AB=BO,反比例函数y=&x<

20.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,

连接AF,CF,连接BE并延长交CF于点G.下列结论：

(1)△ABE^AACF；②BC=DF；@SAA«C=SAACF+SADCF；④若BD=2DC则GF=2EG.其中正确的结论

是____________.(填写所有正确结论的序号)

三、解答题:本大题共有6小题，共60分.

21.一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，-这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机

摸出一个球，这个球是白球的概率为春.

(1)求袋子中白球的个,数；(请通过列式或列方程解答)

(2)随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率.(请结合树状图

或列表解答)

22.如图，已知四边形ABCD中,NABC=9(T,NADC=9(r,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.

⑴若/A=60。,求BC的长;

4

⑵若sinA=T•，求AD的长.

5

(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)

23.一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2.设竖彩条的宽

度为xcm,图案中三条彩条所占面积为yen?.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的求横、竖彩条的宽度.

5

24.如图，在RtAABC中,NABC=9(T,AB=CB似AB为直径的。O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E

不与点A、B重合),DE的延长线交。O于点G,DF_LDQ且交BC于点F.

⑴求证:AE=BF；

(2)连接GB,EF,求证:GB〃EF；

⑶若AE=1,EB=2,求DG的长.

B

25.如图，已知一个直角三角形纸片ACB淇中NACB=90*AC=4,BC=3,E、F分别是AC、AB边上点，连接EF.

(1)图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处,•且使S四边形ECBF=SS^EDF，求

AE的长；

(2)如图②，若将纸一片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF〃CA.

①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；

②求EF的长；

(3)如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N,CN=1,CE=/求名的值.

图①图②图③

26.如图,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-2(ax0)与x轴交于A(1,O)、B(3,0)两点，与1y轴交于点

C,其顶点为点D,点E的坐标为(0,-1),该抛物线与BE交于另一点F,连接BC.

(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x-h)2+k的形式；

(2)若点H(l,y)在BC上，连接FH,求△FHB的面积：

⑶一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM,BM,设运动时间为t

秒(t>0),在点M的运动过程中，当t为何值时,NOMB=90。？

(4)在x轴上方的抛物线上，是否存在,点P,使得NPBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标;若不存在,

2016年内蒙古包头市中考数学试题

一、选择题:本大题共有12小题,每小题3分，共36分.

1.若2(a+3)的值与4互为相反数，则a的值为()

A.-1B.-5D.—

22

【答案】C.

【解析】

试题分析：已知2(a+3)的值与4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0可得2(a+3)+4=0,解得a=-

5,故答案选C.

考点:相反数.

2.下列计算结果正确的是()

A.4-yf2C.(-2a2)3=-6a6D.(a+1)2=a-2+1

【答案】B.

【解析】

试题分析：选项A、2和有不是同类二次根式，所以不能合并，A错误；选项B、根据二次根式的除法可得

遍+&=2,B正确；选项C、根据积的乘方可得(-2a：)3=-8a^-6as,C错误；选项D、根据完全平

方公式可得(a+1),=a'+2a+l大a；+l,D错误.故答案选B

考点:整式的运算.

3.不等式菅-三工1的解集是()

A.x<4B.x>4C.x<-1D.x>-1

【答案】A.

【解析】

试题分析：：去分母，徜：3x-2(x-1)W6,去括号,得:3x--2x+2W6,移项、合并,得:x<4,故答案选A.

考点:解一元一次不等式.

4.一组数据2,354,4,6的中位数和平均数分别是()

A.4.5和4B.4和4c.4和4.8D.5和4

【答案】B.

【解析】

试题分析:这组数据按从小到大的顺序排列为⑵3,4,4,5,6,所以中位数为：（4+4）+2=4；平均数

为:（2+3+4+4+5+6）4-6=4.故答案选B.

考点：中位数；平均数.

5.120。的圆心角对的弧长是6兀则此弧所在圆的半径是（）

A.3B.4C.9D.18

【答案】C.

【解析】

试题分析：已知120。的圆心角对的弧长是6n,根据弧长的公式1==为可得6兀=丝丝三，解得r=9.故答

180180

案选C.

考点:弧长的计算.

6.同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

8832

【答案】D.

r解析】

试题分析：：由题意可得，所有的可能性为：

・•.至少有两枚硬币正面向上的概率是：故答案选D.

o2

考点:列表法与树状图法.

7.若关于x的方程A（m+l）x+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（）

A.--B.—C.--sK—D.1

2222

【答案】C.

【解析】

试题分析：由根与系数的关系可得X|+X2=-(m+l),xjX2=L又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或

2

-1,若是1时，即1+X2=-(m+1),而X2」，解得m=-3若是7时，则m=L故答案选C

222

考点:一元二次方程的解：根与系数的关系.

8.化简(上在)+亍-3)・ab,其结果是()

aba2b巳

2,22,2ii

A.abBabc__L_D—1—

a-bb-aa-bb-a

【答案】B.

【解析】

2222

试题分析：:原式=半.,——r・ab=W上,故答案选B.

ab-(a+b)(a-b)b-a

考点:分式的混合运算.

9.如图，点0在△ABC内，且到三边的距离相等.若NBOC=120。,则tanA的值为()

A.5/3B--c--D.-

v322

【答案】A.

【解析】

试题分析：已知点。到^ABC三边的距离相等，可得B0平分/ABC,CO平分/ACB,所以/A=180°-

(ZABC+ZACB)=180°-2(ZOBC+ZOCB)=180°-2X=180°-2X=60°,即可得tanA=tan60°=4，

故答案选A.

考点:角平分线的性质；特殊角的三角函数值.

10.已知下列命题:①若a>b,则a2>b2；②若a>l,则(a-1)°=1；③两个全等的三角形的面积相等；④四

条边相等的四边形是菱形.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】D.

【解析】

试题分析：①当a=0,b=-l时，a；<b；,所以命题“若a>b,则a：>b；”为假命题，其逆命题为若

则a>b"，此逆命题也是假命题，如a=-2,b=-l;②若a>l,则(a-l)c=l,此命题为真命题，它的

逆命题为：若(a-D°=1,则a>l,此逆命题为假命题，因为(a-D°=1,则a力1;③两个全等的三角

形的④面积相等，此命题为直命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题；四条边相

等的四边形是菱形，这个命题为真命题，它的逆命题为菱形的四条边相等，此逆命题为真命题.故答案选D.

考点：命题与定理.

11.如图，直线y="x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、0B的中点，点P为OA

上一动点,PC+PD值最小时点P的坐标为()

3R

A.(-3,0)B.(-6,0)C.(-y,0)D.(-y,0)

【答案】C.

【解析】

试题分析:作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小，如图所示.

直线y1x+4与x轴、y轴的交点坐标为A(-6,0)和点B(0,4),因点C、D分别为线段AB、0B的中点，可得

O

点C(-3,2),点D(0,2).再由点D'和点D关于x轴对称，可知点D'的坐标为(0,-2).设直线CD'的解析

f2=-3k+bk=-称

式为y=kx+b,直线CD'过点C(-3,2),D'(0,-2),所以《，解得:43,即可得直线CD'的解

Sb=-2

析式为y=--1-x-2.令y=-皋-2中y二0,则0二-枭-2,解得:x二-蒋,所以点P的坐标为(-巨■,0).故答

案选C.

考点:一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题.

12.如图，在四边形ABCD中,AD〃BC,NABC=9(T,E是AB上一点，且DE_LCE.若AD=1,BC=2,CD=3,则CE

与DE的数量关系正确的是()

A.CE=^2>EB.CE=y[^)EC.CE=3DED.CE=2DE

【答案】B.

【解析】

试题分析：过点D作DH1BC,利用勾股定理可得AB的长，利用相似三角形的判定定理可得△ADEs/kBEC,

设BE=x,由相似三角形的性质可解得x,易得CE,DE的关系

过点D作DH1BC,由AD=1,BC=2,可求得CH=1,根据勾股定理可得DH=AB==WL

因AD//BC,ZABC=9O*,可得NA=90。，即可得NAED+NADE=9O。，再由DEj_CE,可得/AED+/BEC=90。，

所以/ADE=/BEC,即可判定△ADEsZlBEC,由相©三角形的性质可得黑今染，设BE=x，则AE=2&-X,

DDDCVD

艮碎二吁X,解得乂个历，瞿嘴金，即CEW^DE,故答案选B.

x2BECtV2

考点:勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质.

二、填空题:本大题共有8小题,每小题3分，共24分

13.据统计,2015年,我国发明专利申请受理量达1102000件，连续5年居世界首位，将1102000用科学记数法

表示为.

【答案】1.102X108.

【解析】

试题分析：科学计数法的表示形式为N=eX10=的形式，其中a为整数目1W|aI<10,n为N的整数位数

减1.由此可得1102000=1.102X104.

考点:科学记数法.

14.若2x-3y-1=0,则5-4x+6y的值为.

【答案】3.

【解析】

试题分析：由2x-3y-1=0可得2x-3y=l,所以5-4x+6y=5-2(2x-3y)=5-2X1=3.

考点:代数式求值.

15.计算：6祗-(后19=.

【答案】-4.

【解析】

试题分析:原式=6义区-(3+26+1)=26-4-20=-4.

3

考点:二次根式的混合运算.

16.己知一组数据为1,2,3,4,5,则这组数据的方差为.

【答案】2.

【解析】

试题分析:这5个数的平均数为(1+2+3+4+5)+5=3,,根据方差公式可得9二[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4

5

-3)2+(5-3)2]=2.

考点:方差.

17.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AELBD,垂足为点E,若NEAC=2/CAD,

则/BAE=度.

【答案】22.5°.

【解析】

试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得心BD,OA=OC,OB=OD,即可得OA=OB=OC,由等

股三角形的性质可得NOAD=/ODA,ZOAB=ZOBA,即可得NAOE=NOAD+NODA=2/OAD,再由/EAC=2/CAD,

可得NEAO=NAOE,因AE1BD,可得/AE0=90♦，所以/A0E=45°,所以/0AB=/0BA=67.5♦，即/BAE=/OAB

-Z0AE=22.5°

考点:矩形的性质；等腰三角形的性质.

18.如图，己知AB是。0的直径，点C在。0上，过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC,若

NA=3(T,PC=3,则BP的长为.

【答案】5

【解析】

试题分析:连接0C,已知OA=OC,ZA=30°,所以/0CA=/A=30°,由三角形外角的性质可得

ZC0B=ZA+ZAC0=60°,又因PC是。0切线,可得NPC0=90°,ZP=30°,再由PC=3,根据锐角三角函数可得

0C=PC«tan30°二后，P0=20C=2后，即可得PB=PO-06=73.

考点:切线的性质；锐角三角函数.

19.如图，在平面直'角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上,/AOB=30\AB=BO,反比例函数y=&x<

0）的图象经过点A,若SAABO=JJ则k的值为

【解析】

试题分析：过点A作AD_LX轴于点D,由/AOB=3O°可得喘（，由此可设点A的坐标为（-3a,Ja）,

i92

根据S.=70B・AD:有可得0B=—,在RtAiADB中，ZADB=90*,AD=^a,AB=0B=—,

2aa

…2

由勾股定理可得BD=,又因0D=0BmD=3a,即3a=£♦，解得：a=l或a=-1（舍去）.

a

忑）,即k二-3X拒--3苏.

考点:反比例函数系数k的几何意义.

20.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,

连接AF,CF,连接BE并延长交CF于点G.下列结论：

(!)△ABE^AACF；②BC=DF；③SAABC=SAACF+SADCF；④若BD=2DC,则GF=2EG.其中正确的结论

是_____________.（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②③④.

【解析】

试题分析：①由aABC是等边三角形，可得AB=AC=BC,ZBAC=ZACB=60o,再因DE=DC,可判定△DEC是等

边三角形，所以ED=EC=DC,ZDEC=ZAEF=60°,

因EF=AE,所以△AEF是等边三角形，所以诙AE,ZEAF=60°,在^ABE和^ACF中，AB=AC,ZBAE=Z

CAF,AE=AF,可判定△ABE丝ZkACF,故①正确.②由/ABC=/EDC,可得AB//DF,再因/EAF=NACB=6O。，

可得ABIIAF,即可判定四边形ABDF是平行四边形，所以DF^AB=BC,故②正确.③由^ABE逐ZkACF可得BE=CF,

S3广Smc,在ABCE和△FDC中，BC=DF,CE=CD,BE=CF,可判定^BCE丝△FDC,所以S-FSWC,即可得

S3C=S3,+S皿产Sau+S皿产SaFSab+Sacr,故③正确.④由^BCE釜△FPC,可得/DBE=/EFG,再由

ZBED=ZFEG可判定△BDEs2kFGE,所以铸簧，艮嘿嘿，又因BD=2DC,DC=DE,可得|^=2,即FG=2EG.故

④正确.

考点:三角形综合题.

三、解答题:本大题共有6小题,共60分.

21.一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个,若从中随机摸

出一个球，这个球是白球的概率为，

（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）

（2）随机摸出一个球后,•放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率.（请结合树状图

或列表解答）

_5

【答案】（1）袋子中白球有2个；（2）©.

【解析】

试题分析：（1）设袋子中白球有x个，根据概率公式列方程解方程即可求得答案；（2）根据题意画出树状图，求

得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案.

试题解析：（1）设袋子中白球有x个，

根据题意得:一丁=5■

x+13

解得：x=2,

经检验,x=2是原分式方程的解,

二袋子中白球有2个;

(2)画树状图得:

开始

白白红白白红白白红

•••共有9种等可能的结果,两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况,

,两次都摸到相同颜色的小球的概率为:

9

考点:列表法与树状图法；概率公式.

22.如图，已知四边形ABCD中,NABC=9(T,NADC=90\AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.

⑴若/A=60。,求BC的长；

⑵若sinA=9•，求AD的长.

5

(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)

14

」答案】(1)6近-8；(2)3.

试题分析：(1)根据锐角三角函数求得BE和CE的长，根据BC=BE-CE即可求得BC的长；(2)根据题意求

得AE和DE的长，由AD=AE-DE即可求得AD的长.

试题解析：(D♦.•NAuGO。，ZABE=90°,AB=6,tanA=我,

AD

.,.ZE=3O°,BE=tan60°"6=675,

又：NCDE=90°,CD=4,sinE=ZE=3O°,

CE

4

..CE—1—8f

~2

/.BC=BE-CE=6^3

(2))ZABE=90°,AB=6,sinA=-^^—,

5AE

...设BE=4x,贝ljAE=5x,得AB=3x,

:.3x=6,得x=2,

ABE=8,AE=1O,

・4AB6CD4

•.tanEc==-=----=,

BE8DEDE

解得,DE=23

J

AAD=AE-DE=1O-

33

即AD的长是卷.

考点:解直角三角形.

23.一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2.设竖彩条的宽

度为xcm,图案中三条彩条所占面积为ycm2.

⑴求y与x之间的函数关系式；

(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的工,求横、竖彩条的宽度.

5

【答案】(l)y=-3x，54x；(2)横彩条的宽度为3cm,竖彩条的宽度为2cm.

【解析】

试题分析：（D由横、竖彩条的宽度比为3:2知横彩条的宦度为米5,根据“三条彩条面积=横彩条面积

+2条竖彩条面积一横竖彩条重彘矩形的面积”，列出函数关系式化简即可；（2）根据“三条彩条所占面积是

图案面积的看”，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解即可.

5

试题解析：（D根据题意可知，横彩条的宽.度为京35,

.•.y=20X-^x+2X12'x-2X-^-x'x=-3x'+54x,

即y与X之间的函数关系式为y=-3x:+54x;

（2）根据题意，得：-3x2+54x=—X20X12,

5

整理，得：x?-18x+32=0,

解得：xi=2,X2=16（舍）,

..各3,

答:横彩条的宽度为3cm,竖彩条的宽度为2cm.

考点:根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用.

24.如图，在RtAABC中,NABC=90\AB=CB,以AB为直径的。O交AC于点D,点E是AB边上一点（点E

不与点A、B重合）,DE的延长线交。O于点GDF1.DG且交BC于点F.

⑴求证:AE=BF；

（2）连接GB,EF,求证:GB〃EF；

⑶若AE=1,EB=2,求DG的长.

【答案】⑴详见解析；⑵详见解析；⑶10.

【解析】

试题分析：（1〉连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形，求出NA与NC的度数，根据AB为圆的直径，

利用圆周角定理得到NADB为直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到

AD=DC=BD=1AC,进而确定出NA=/FW,再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED

与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接EF,BG,由三角形AED与三角形BFD

全等，得到ED=FD,进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一

对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；（3）由全等三角形对应边相等得到AE=B41,在直角

三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三

角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可.

试题解析：（1）证明：连接BD,

在RtZXABC中，NABC=90°,AB=BC,

AZA=ZC=45°,

VAB为圆0的直径，

AZADB=90°,BPBD±AC,

AAI）=1）C=BD=-AC,ZCBD=ZC=45°,

2

:.ZA=ZFBD,

VDF±DG,

/.ZFDG=90°,

AZFDB+ZBDG=90°,

VZEDA+ZBDG=90°,

・♦・ZEDA=ZFDB,

在AAED和△BFD中，

'/A=NFBD

,AD=BD,

ZEDA=ZFDB

.•.△AED^ABED（ASA）,

AAE-BF；

(2)证明:连接EF,BG,

•.,△AED^ABFD,

/.DE=DF,

,/ZEDF^SO0,

・•.△EDF是等腰直角三角形，

.,.ZDEF=45°,

,/ZG=ZA=45O,

/.ZG=ZDEF,

.,.GB1/EF;

(3)VAE=BF,AE=1,

在RtAEBF中，ZEBF=90°,

...根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2,

：EB=2,BF=1,

讦=422+1-

「△DEF为等腰直角三角形，ZEDF=90°,

.DE

..COSZZDEF="TZT,

Dr

•.•曲优,

，DE=巡义哼

,/ZG=ZA,ZGEB=ZAED,

.".△GEB<^AAED,

I.普GE第EB，即GE-ED=AE・EB,

AEED

.•.2/迈・GE=2,即GE=^叵，

25

则GD=GE+ED=.

25.如图，已知一个直角三角形纸片ACB淇中NACB=90\AC=4,BC=3,E、F分别是AC、AB边上点，连接EF.

(1)图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠浙叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边jgECB产3sAEDF，求

AE的长；

(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠“，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF〃CA.

①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；

②求EF的长；

(3)如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N,CN=1,CE=4,求弟的值.

7BF

图①图②图③

【答案】(吟⑵①四边形AEMF为菱形，理由详见解析；②弊①(3碍.

【解析】

试题分析：(D先利用折彝的性质得到EF1AB,AAEF^ADEF,则S3,丝Sa：：,则易得Swe=4S-再证

SAAprAF

明RtZkAEFsRt/kABC,然后根据相似三角形的性质得到《■受一=(衰)；，再利用勾股定理求出知即可得

'△ABC他

到AE的长；(2)①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形J

②连结AM交印于点0,如图②，设AE=x,则EM=x,CE=4-x,先证明△CMEs/kCBA得到T="“*=

345

解出x后计算出3V，再利用勾股定理计算出AM,然后根据菱形的面积公式计算EF;

(3)如图③，作FH±BC于H,先证明△NCESANFH,利用相似比得到FH:NH=4:7,设FH=4x,NH=7x,则CIl=7x-

1,BH=3-（7x-1）=4-7x,再证明△BFHs^BAC,利用相似比可计算出x咯,则可计算出FH和BH,接着利用勾

5

股定理计算出BF,从而得到AF的长,于是可计算出黑的值.

试题解析：（1）如图①，

VAACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上「的点D处，

AEFXAB,AAEF^ADEF,

•••SAABI:=SADEF,

,**S四边形ECBI^SSz\EDF,

•••SAABC=4SAAEF,

在RtAABC中，・・,/ACB=90。,AC=4,BC=3,

***32+4叁3,

ZEAF=ZBAC,

ARtAAEF^RtAABC,

,也史幽广即（强工

SAABCAB54'

(2)①四边形AEMF为菱形.理由如下：

如图②，：2UCB的一角沿EF折彘，折彘后点A落在AB边上的点D处,

/.AE=EM,距MF,ZAFE=ZMFE,

".,MF//AC,

.\ZAEF=ZMFE,

.'.ZAEF=ZAFE,

.\AE=AF,

/.AE=EM=MF^AF,

二.四边形AEMF为菱形；

②连结AM交EF于点0,如图②，

设AE=x,则EM=x,CE=4-x,

...四边形AEMF为菱形，

.,.EM//AB,

/.△CME^ACBA,

.口门CM4-xx翻月204

••而FF，可解得x7,c»7，

在RtAACM中，N©川仪〃+&^2哈,

,?S«t：r=^-EF-AM=AE-CM,

⑶如图③，作FH_LBC于H,

VEC/7FH,

AANCE^ANFH,

d

ACN:NH=CE:FH,即l:NH=y：FH,

・・・FH:NH=4:7,

设FH=4x,NH=7x,则CH=7x-1,BH=3-(7x-1)=4-7x,

VFH/7AC,

AABFH^ABAC,

o

・・・BH:BC=FH:AC,即(4-7x):3=4x:4,解得x=—,

5

AFHMx--,BH=4-7x=—,

55

在RtABFH中，BF=J(-1-)2+(-|-)22,

AAF=AB-BF=5-2=3,

.AF3

■"BFT

图①图②图③

考点