数列通项公式求解常用方法选讲

数列通项公式求解常用方法选讲各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。现总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对同学们有所帮助。◆题型一观察法求数列的通项公式从特殊的几项归纳总结得出一般规律，这里需要对数字具有一定的变形处理能力，能够做到对数字进行灵活的拆分、拼凑。例1.求下列数列的通项公式（1），，，，（2）（3）（4）◆题型二定义法求数列的通项公式直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例2．等差数列是递增数列，前项和为，且，，成等比数列，．求数列的通项公式◆题型三利用叠加法求数列的通项公式此法来源于等差数列通项公式的的办法，适当拓展而得，递推公式形如均可采用叠加法完成。例3、在数列中，已知，当时有，求数列的通项公式。例4已知数列满足，求数列的通项公式。变式练习.1已知数列中，，且满足递推公式：，求2．已知数列中，，对任意自然数都有，求．◆题型四利用叠乘法求数列的通项公式此法来源于等差数列通项公式的的办法，适当拓展而得，递推公式形如均可采用叠乘法完成。例5、在数列中，已知，当时有，求数列的通项公式。变式练习.已知数列中，，且满足递推公式：，求例6已知数列满足，求数列的通项公式。变式练习.已知数列中，，且满足递推公式：，求已知数列满足，求的通项公式。◆题型五利用化归法求数列的通项公式想方设法将非常规问题化为我们熟悉的数列问题来求通项公式的方法即为化归法．同时，这也是我们在解决任何数学问题所必须具备的一种思想。例7．已知数列满足，求◆题型六构造法（构造等差数列或等比数列)求数列的通项公式求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高，通常可对递推公式变换，转化为特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法。类型1、递推公式为[其中，均为常数（）]，数列可转化为的形式，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例8.已知数列中，，且满足递推公式：，求变式练习：已知数列中，，且满足递推公式：，求类型2、递推公式为的数列，两边取对数可得，即转化为等比数列来处理。例9、设各项均为正数的数列满足，，求数列的通项公式。变式练习：已知数列满足，，求数列的通项公式。类型3、递推公式为[其中，均为常数（）]的数列可引进辅助数列（其中），得，再进一步转化为等差或等比数列来解决。例10已知数列满足，，求数列的通项公式。例11、已知数列中，，，求类型4、递推公式为（其中，均为常数）的数列，可转化为的形式，其中，满足，再应用类型1的方法进行求解。例12、已知已知数列中，，，，求类型5、递推公式为（）的数列，可两边取倒数转化为的形式，然后再构造新的数列。例13、已知，，求◆题型七利用求数列的通项公式利用公式求解时，要注意对分类讨论，但若能合写时一定要合并．例14设数列中前项和，则=例15．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式；变式练习设数列中前项和，则=2、已知数列中，，，求通项公式．◆题型八、“归纳—猜想—证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．例16．若数列满足：计算a2，a3，a4的值，由此