八年级数学 压轴题综合（三）（老师版）

压轴题综合训练（三）

（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分

一、选择题

1.如图，点E、F、G、H分别是四边形A8CZ）边AB、2C、

CD、D4的中点.则下列说法：

①若/C=BD,则四边形EFGH为矩形；

②若4C_LBD,则四边形EFGH为菱形；

③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平

分;

④若四边形EFG"是正方形，则AC与8。互相垂直且相等.

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【知识点】平行四边形的性质、矩形的判定、四边形、菱形的判定、正方形的性质

【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，

当对角线=时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对

角线=且4?18。时，中点四边形是正方形，

故④选项正确，

故选：A.

因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线=时，中点四边形是菱形，当

对角线4clBDB寸，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD,且2CJ.BD时，中点四边形是

正方形，

本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边

形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=4c时，中点四边形是菱形，当对角线AC1BD

时，中点四边形是矩形，当对角线AC=8。，且4C1BC时，中点四边形是正方形.

2.直线"：y=kx+b与直线，2：y=bx+k在同一平面直角坐标系中的大致位置可能是

（）.

【答案】c

【知识点】一次函数的图象

【解析】

【分析】

本题主要考查了一次函数的图象，要掌握它们的图象才能灵活解题.解答本题注意理解：直

线丁=心:+力所在的位置与k、〃的符号有直接的关系.分析题意，根据一次函数的系数与

图象的关系依次分析选项，找公〃取值范围相同的即得答案.

【解答】

解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：

人由图可得，yi=kx+b中，k<0,b<0,y2=bxk中，b<0,k>0,k的取值矛盾，

故本选项错误；

8.由图可得，yj.=kx+b中，k>0,b<0,y2=bx+k中，b>0,k>0,人的取值相矛

盾，故本选项错误；

C.由图可得，yi=kx+b中，k>0,b<0,y2=bx+k中，b<0,k>0,b,k的取值

相一致，故本选项正确；

41

D由图可得，=/ex+/JM,k>0,b<0,y2=bx+/cM-.b<0,k<0,&的取值相矛

盾，故本选项错误；

故选C.

3.等式J*=署成立的条件是（）

A.x3B.x>-2C.x>一2且x。3D.x>3

【答案】D

【知识点】分式有意义的条件、二次根式的性质、二次根式有意义的条件

【解析】

【分析】

本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除的有关知识，二次根式的被开方数是非负数,

分母不为0,是本题确定取值范围的主要依据.本题需注意的是，被开方数为非负数，且分式

的分母不能为0,列不等式组求出x的取值范围.

【解答】

解：...等式匡=萼成立，

x-3Vx-3

（X+2>0

"tx-3>0'

解得：%>3.

故选D

4.如图，△ACB^LECC都是等腰直角三角形,C4=CB,CE=CD,

△ACB的顶点A在AECD的斜边QE上，若4E=a,40=通，

则两个三角形重叠部分的面积为（）

A.V2

B.3-V2

C.V3-1

D.3-V3

【答案】D

【知识点】角平分线的性质、等腰直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质

【解析】解：如图设48交CO于。，连接8/）,作OM1DE于例，ON上BD于N.

V乙ECD=乙ACB=90°,

・•・Z-ECA=(DCB,

vCE=CD,CA=CB,

/.△ECA=LDCB,

・•・Z.E=乙CDB=45°,AE=BD=也,

•・・(EDC=45°,

・・・Z.ADB=Z.ADC+乙CDB=90°,

在中，AB=y/AD2+DB2=2\/2,

AAC=BC=2,

•*,S〉ABC=aX2x2=2,

・・・0。平分乙4gOM1DE^M,ON1BD于N,

・•・OM=ON,

SLQA=；ADCM6

S^moOBDB.ON

SAAOC=2x^7=3-V3.

故选：D.

如图，设AB交CO于O,连接8。，作OM_LDE于M,ON1BD于M想办法求出△ABC的

面积.再求出OA与。8的比值即可解决问题；

本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等

知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考选择题中的压轴题.

二、填空题

5.如图，在矩形48co中，AD=5,AB=8,点E为射线0c上一个动点，把△4DE沿

直线AE折叠，当点D的对应点厂刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为

【答案】1或10

【知识点】翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、勾股定理

【解析】

【分析】

本题以折叠问题为背景，主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识的综

合应用；解决问题的关键利用直角三角形，运用勾股定理列方程求解.

分两种情况讨论：点尸在矩形内部；点F在矩形外部，分别根据折叠的性质以及勾股定理，

列方程进行计算求解，即可得到。E的长.

【解答】

解：分两种情况：

①如图1,当点尸在矩形内部时，

•••点尸在A8的垂直平分线MN上,

AN=4：

AF=AD=5.

由勾股定理得FN=3,

FM=2,

设CE为y,贝ljEM=4-y,FE=y,

在AEMF中，由勾股定理得：y2=(4-y)2+22,

即DE的长为|.

同①的方法可得FN=3,

FM=8,

设。E为z,贝ljEM=z-4,FE=z,

在AEMF中，由勾股定理得：z2=(z-4)2+82,

・•・z=10,

即DE的长为10.

综上所述，点尸刚好落在线段A8的垂直平分线上时，OE的长为g或10.

故答案为：|或10.

6.如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中,

经过4(1,0)点的一条直线将这10个正方形分成面积相

等的两部分，则该直线的解析式为.

【答案】y=W

【知识点】待定系数法求•次函数解析式

【解析】解：如图，

将图中1补到2的位置，

•••10个正方形的面积之和是10,

•••梯形ABCD的面积只要等于5即可，

设点B的横坐标为x,则8c=4-x,

则(4-x+3)x3+2=5,

解得x=

二点8的坐标为答3).

设过点A和点B的直线的解析式为y=kx+b(k*0),

将4(1,0),8(日,3)分别代入，得

(k+b=0,(k=

鼠+b=3,解得卜

即过点A和点B的直线的解析式为y=1x-l

oo

7-%=1+卷。2=1+表++,。3=1+++*……>即=1+*+岛声其中

〃为正整数，则扃的值是.

【知识点】数式规律问题、二次根式的性质

【解析】

【分析】

本题主要考查数式规律问题，二次根式的性质，解题的关键运用规律进行化简，先求出的,

。2,。3,即的值，再根据二次根式的性质化简即可.

【解答】

2

解:••-a1=l+^+i=g))

«2=1+^+^=@>

&3=1+专+*=倨）；

2

c_1,1,1_[n(n+l)+l]

即-1+莪+(n+i)2-[n(n+l)]'

/—/rn(n+l)+ll2n2+n+l

AVttn=JIn(n+l)J=n2+n

故答案为学1.

n2+n

A

8.如图，RtAABC,^ACB=90°,AC=6,BC=8,将边AC卜、

!''、出

沿CE翻折，使点A落在AB上的点。处；再将边BC沿CF；7K

翻折，使点B落在C。的延长线上的点B'处，两条折痕与斜\

边48分别交于点E、尸，贝SB'FC的面积为.台

【答案】§

【知识点】翻折变换(折叠问题)、勾股定理、三角形的面积

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，折叠与对称等有关知识，根据勾股定理计算

出4B的长，再根据面积法计算出CE的长，根据勾股定理计算出4E的长，进一步得到

的长，根据AECF为等腰直角三角形求出EF的长，即可计算出8尸的长，再根据8'F=BF,

然后计算^B'FC的面积即可解答.

【解答】

解：在Rt^ABC中，AC=6,BC=8,所以4B=10.

根据折叠的性质可得：AE=ED,AC=CD,CELAD,Z.ACE=LDCE,乙BCF=LB'CF,

B'F=BF,

•■SAABC=\ACBC=\AB-CE,

6x8=10xCE,

解得：CE=4.8,

在RMZCE中，

AE=>JAC2-CE2=V62-4.82=3.6,

又因为44CE+Z.CED+Z.BCF+乙B'CF=^ACB=90°,

所以NECF=45。，即AECF为等腰直角三角形，

EF=CE=4.8,

o

・•,BF=AB-AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=

..・B，F—I，

,**S&CFB=—BFxCE=—x—x—=一,

225525

c_c_96

故答案为：

三、解答题

9.如图，以矩形OA5C的顶点O为坐标原点，OA所在直线

为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.已知，

。4=2,。。=4,点。为x轴上一动点，以3。为一边在

8。右侧作正方形BDEF.

(1)若点。与点A重合，请直接写出点后的坐标；

(2)若点。在。4的延长线上，且E4=E8,求点E的坐标;

(3)若OE=2V17，求点E的坐标.

【答案】解：(1)当点。与点A重合时，如图1,

图1

BD=OC=4,

四边形BDFE是正方形，

・・.BD=DE=4,乙BDE=90°,

•・・OA=2,

•・・OE=O/+4E=2+4=6,

・•・F(6,0)；

(2)如图2,过E作EG14B于G,作E〃l二轴于H,

图2

vEB=EA,

:.AG=BG=2,

vZ.AGC=Z.GAH=Z.AHE=90°,

・•・四边形AGE”是矩形，

:.EH=AG=2,

•・,四边形8DE尸是正方形，

・•・BD=DE,乙BDE=90°,

・・・Z.ADB+乙EDH=/-ADB+乙ABD=90°,

.**Z.EDH=乙ABD,

V/.BAD=/.DHE=90°,

••.△BAD三△D，E(4S4),

•••DH=AB=4,AD=EH=2,

OH=8,

E(8,2)；

(3)分两种情况：

①。在点A的右侧时，如图3,过E作EHlx轴于H,

图3

由(2)知：ABADNADHE,

DH=AB=4,AD=EH,

设则EH=x,OH=2+4+x=6+x,

在RtAOEH中，由勾股定理得：OE2=OH2+EH2,

(2V17)2=(6+x)2+x2,

解得：x=2或一8(舍)，

E(8,2)；

②。在点A的左侧时，如图4,过E作EHlx轴于H,

由(2)知：△BAD=^DHE,

：.DH=AB=4,AD=EH,

设AD=x,则EH=x,OH=x-2-4=x-6,

在RtAOEH中，由勾股定理得：OE2=OH2+E“2,

•••(2V17)2=x2+(x—6)2,

解得：x=-2或8(舍)，

・•・0H=-2—6=—8,

E(-2,-8)；

综上，点E的坐标是(8,2)或(-2,-8).

【知识点】矩形的性质、勾股定理、图形与坐标、正方形的性质

【解析】(1)根据正方形的边长相等和矩形的对边相等，可得0E的长，从而得E的坐标：

(2)作辅助线，先根据E4=后8可知EG是AB的垂直平分线，证明△BAD*DHE(ASA),

可得结论；

(3)分两种情况：点。在点A的左侧和右侧，过£作石，_1》轴于，，构建全等三角形，设未

知数，根据勾股定理列方程可得结论.

本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定和性质、正方形和矩形的性质和判定、勾股

定理及一元二次方程，解题的关键是学会利用添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，

属于中考常考题.

10.下表中给出A,B,C三种手机通话的收费方式.

收费方式月通话费/元包时通话时间"超时费/(元/m讥)

A30250.1

B50500.1

C100不限时

(1)设月通话时间为x小时，则方案A,B,C的收费金额为，y2,为都是左的函数，请

分别求出这三个函数解析式；

(2)填空：

若选择方式A最省钱，则月通话时间%的取值范围为;

若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为;

若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为;

(3)小王、小张今年5月份的通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月

的通话时间.

【答案】解析(1)0.1元/zn讥=6元/%,

.••由题意可得

<%<25),

120(%>25),

(50(0<%<50),

(6x-250(x>50),

y3=100(%>0).

(2)作出函数图象，如图:

3O

2O

IO

OO

9O

8O

7O

6()

5O

4O

3O

2O

IO

10203()405060708090100*

结合图象可得:

若选择方式A最省钱，则月通话时间X的取值范围为OWX<?；若选择方式B最省钱，则月

通话时间x的取值范围为竽<%<?;若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为

47法》、/8585175175

故T答案为0<x<<x<—;%.

(3)结合图象可得小张选择的是方式A,小王选择的是方式B,将y=80代入=6%-250,

可得6工一250=80,

解得％=55,•・・55>50,

・•・小王该月的通话时间为55小时.

【解析】略

11.⑴用"=">"、“<”填空.

126xg；6+32,6x3;1+2Jlx7+72-7x7.

(2)由(1)中各式猜想a+b与2病(a>0,b>0)的大小，并说明理由.

(3)请利用上述结论解决下面问题:

某同学在做一个面积为1800612,对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的

竹条至少要多少厘米?

【答案】解：(1)>，>，>，=；

(2)猜想：a+b22VH^(a20,b20),

理由是：-.-a^O,b>0,

•••a+b-2\[ab=(Va—Vfa)2>0>

a+b>2\Tab\

(3)设对角线长分别为a,b,

由题意得：3ab=1800,

•••ab=3600,

••a+b>2Vab»

■■a+b>2V3600.

■■a+b>120,

•・・用来做对角线的竹条至少要120厘米.

【知识点】非负数的性质：偶次方、二次根式的应用、数式规律问题、完全平方公式

【解析】

【分析】

此题考查了二次根式的实际应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键.

(1)根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论；

(2)直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可；

(3)根据对角线互相垂直的四边形面积=相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用(2)的结

论得出答案即可.

【解答】

解:⑴屋卜呼＞0,

同理得：6+3>2后I;7+7=2k.

故答案为〉，＞,＞,=;

(2)见答案;

(3)见答案.

12.如图，已知△ABC中，48=90。，AB=16cm,BC=12cm,P、。是△ABC边上的两个

动点，其中点尸从点4开始沿4rB方向运动，且速度为每秒1C7”，点Q从点B开始沿

BtCt4方向运动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发(运动)的时间为f秒.

备用图

(1)出发2秒后，求PQ的长；

(2)当点Q在边8c上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？

(3)当点。在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.

【答案】解：(1)BQ=2x2=4(cm),BP=AB-AP=16-2x1=14(cm),/.B=90°,

PQ=V42+142=V212=2V53(cfn):

(2)BQ=2t,BP=16-t,

根据题意得：2t=16-3

解得：t=g,

即出发g秒钟后，△PQB能形成等腰三角形;

(3)①当CQ=8Q时，如图1所示，

则“=上。%

vZ-ABC=90°,

图'

・•・Z.CBQ4-乙ABQ=90°.

乙4+"=90°,

・•・Z-A=乙ABQ,

・・.BQ=AQt

:.CQ=AQ=10,

・•・BC+CQ=22,

图2

・・・£=22+2=11秒.

②当CQ=BC时，如图2所示,

则BC+CQ=24,

二t=24+2=12秒.

③当BC=BQ时，如图3所示,

过B点作BE_L4c于点£,

CE=7BC2-BE2=J122-(y)2=y,

图3

CQ=2CE=14.4,

BC+CQ=26.4,

•••t-26.4+2=13.2秒.

综上所述：当，为11秒或12秒或13.2秒时，ABCQ为等腰三角形.

【知识点】勾股定理、等腰三角形的判定与性质、等腰三角形的判定

【解析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论

思想的应用.

(1)根据点P、。的运动速度求出4R再求出8P和8。，用勾股定理求得「。即可；(2)设

出发r秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则8尸=BQ,由8Q=2t,BP=8-t,列式求得

f即可;

(3)当点。在