人大微积分课件9-2二重积分的计算法

人大微积分课件9-2二重积分的计算法目录二重积分的基本概念二重积分的计算方法二重积分的计算实例二重积分的物理应用二重积分的进一步理解01二重积分的基本概念二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示二维面积的累积。二重积分的一般形式为∫∫Df(x,y)dA，其中f(x,y)是定义在D上的函数，D是二维平面上的一个区域，dA表示面积元素。二重积分的值等于所有以(x,y)为顶点的小矩形面积乘以f(x,y)并求和，然后求极限。二重积分的定义当f(x,y)大于0时，二重积分表示曲顶柱体的体积；当f(x,y)小于0时，表示负的曲顶柱体的体积。二重积分的绝对值表示曲顶柱体的体积的大小。二重积分表示以D为底，f(x,y)为高度的曲顶柱体的体积。二重积分的几何意义∫∫D[af(x,y)+bf(x,y)]dA=a∫∫Df(x,y)dA+b∫∫Df(x,y)dA线性性质区间可加性积分中值定理如果D是两个不相交的区域D1和D2的并集，那么∫∫Df(x,y)dA=∫∫D1f(x,y)dA+∫∫D2f(x,y)dA如果D是一个有界闭区域，那么存在至少一点(ξ,η)∈D，使得∫∫Df(x,y)dA=f(ξ,η)·∫∫DdA030201二重积分的性质02二重积分的计算方法首先需要确定二重积分的积分区域，即被积函数所限定的区域。确定积分区域将二重积分拆分为两个定积分，即先对其中一个变量进行积分，然后再对另一个变量进行积分。拆分积分如果需要，可以交换积分的次序以简化计算。交换积分次序根据具体问题，选择适当的方法计算定积分。计算定积分直角坐标系下的计算方法将直角坐标转换为极坐标。转换坐标系确定积分区域拆分积分计算定积分在极坐标下确定二重积分的积分区域。将二重积分拆分为两个定积分，即先对其中一个变量进行积分，然后再对另一个变量进行积分。根据具体问题，选择适当的方法计算定积分。极坐标系下的计算方法根据题目要求，确定二重积分的区域边界方程。确定边界方程对于分界点，需要特别处理，以确保积分的准确性。分界点处理在计算完成后，需要检验是否满足边界条件，以确保结果的正确性。检验边界条件区域边界的确定03二重积分的计算实例$int_{a}^{b}int_{c}^{d}f(x,y)dxdy$计算公式计算$int_{0}^{1}int_{0}^{x}xydxdy$实例$frac{1}{2}$结果直角坐标系下的计算实例实例计算$int_{0}^{frac{pi}{2}}int_{0}^{1}rhocosthetadrhodtheta$结果$frac{1}{2}$计算公式$int_{a}^{b}int_{c}^{d}rhof(rho,theta)drhodtheta$极坐标系下的计算实例03结果$frac{pi}{4}$01计算公式根据具体问题选择合适的坐标系和积分次序进行计算02实例计算$int_{0}^{1}int_{x^{2}}^{1}xsqrt{1-y^{2}}dxdy$综合应用实例04二重积分的物理应用总结词计算平面薄片的质量详细描述在物理学中，质量是物质的基本属性。对于一个平面薄片，其质量可以通过二重积分来计算。假设薄片的密度是一个常数，那么质量就是密度与面积的乘积。平面薄片的质量总结词计算平面薄片的转动惯量详细描述转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量。对于一个平面薄片，其转动惯量也可以通过二重积分来计算。假设薄片的密度是一个常数，那么转动惯量就是密度与距离转动轴距离的平方的乘积。平面薄片的转动惯量计算平面薄片对外部物体的引力总结词在经典力学中，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。对于一个平面薄片，它对外部物体的引力可以通过二重积分来计算。假设薄片的密度是一个常数，那么引力就是密度与距离的平方的乘积。详细描述平面薄片的引力05二重积分的进一步理解变量替换法通过引入新的变量替换原变量，简化二重积分的计算过程。替换原则在替换过程中，需要保证积分区域在新的变量下易于表达，同时保证积分的值不变。常见替换极坐标替换、柱坐标替换等。二重积分的变量替换分部原则选择合适的函数进行分部，使得分部后的积分易于计算。常见分部对x积分、对y积分等。分部积分法通过将二重积分转化为累次积分，降低积分次数，简化计算。二重积分的分部积分法

二重积分的近似计