高考数学模拟试题选编（附答案）

1.(广东省中山五中2010届高三第四次月考)

2

™=§—+cx+4,g(x)=e，e+/(x),

(1)若f(x)在x=l+JI处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间;

(2)如右图所示，若函数y=/(x)的图象在口，们连续光滑，试猜想拉格朗

日中值定理：即一定存在ce(凡6),使得1(c)=?

(用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答)

(3)利用(2)证明：函数产g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.

2.已知函数〃力=工2达(元)=4-1.

(1)若HreK使/(x)vb・g(x)，求实数〃的取值范围；

(2)设尸(x)=/(x)_/ng(x)+l-m-m2，且|F(x)|在［0,1］上单调递增,求实数m的取值范围.

1.解：(1)/(x)=2x2-4x+c,..1分

依题意，有/'(l+&)=0,即c=-2(l+V2)2+4(l+V2)=-2.2分

2

f(x)=—x3-2x2-2x+4,/(x)=2x2-4x-2.

令/'(外〉0,得％<1-&或》〉1+五,4分

从而f(x)的单调增区间为：(-00,1-Ji］及［1+Ji,+00);5分

fW-f(a)

(2)/'(c)=8分

b-a

2

(3)g(x)=ev-e2~x+f(x)==ex-e2-x+-x3-2x2-2x+4,9分

g(x)=ex+e"+2x2-4x-210分

,2/2

=ex+—+2(x-l)2-4>2Jev--+2-0-4=2e-4.12分

由(2)知，对于函数产g(x)图象上任意两点A、B,在A、B之间一定存在一点C(c,g'(c)),使得8'化)=长.，

又g'(x)N2e—4,故有K"=g'(c)N2e—4,证毕.14分

2.解：(1)由mx<bg(%),eR,x2-bx+b<0,1分

所以，A=-4Z?〉0解得b<0或b〉4；4分

(2)由题设得/(X)=X?—加X+\-m25分

222

对称轴方程为x=‘，A=m-4(l-m)=5m—4o7分

2

由于归⑸在［0,1］上单调递增,则有

m

y＜0

(I)当ASO即一拽＜加＜拽时，有j2瓦,也解得-挛4m40。.........9分

55［5

(II)当△〉0即用＜一拽或机＞竽时，设方程F(x)=0的根为无］,%2(王＜%)，

2A/5m小有771/2>1,

①若m＞-----，则一〉—,有

525Xj<0<=>F(0)=1-m2<0.

解得加22；......••••11分

xt+x2<0=>m<0

2

2MmM八八二,%1%2>0=>l-m>0=>-1<m<1

②若m<———,BPy<一--,有王<0,尤240；

2>/5

m<-------

,5

解得一1W机＜—25。.........13分由①②得一14机〈一撞或机22。

55

综合(I),(H)有一14根(0或加22..........14分

2.(广东省东华高级中学2010届高三上学期摸底考试)

1.已知/(x)=*』(xeR)在区间［―1,1］上是增函数

x+2

(I)求实数。的取值范围：

(II)记实数。的取值范围为集合A,且设关于x的方程/(刈=」的两个非零实根为王)2。

x

①求|X「X21的最大值；

②试问：是否存在实数m,使得不等式加2+加+1＞|%—々I对VaeA及恒成立？若存在，求m的取

值范围；若不存在，请说明理山.

2.设M=10/+8ia+207,P=a+2,Q=26-2a；若将IgM,1g。，1g尸适当排序后可构成公差为1的等差

数列｛6｝的前三项

(I)在使得IgM,1g。，IgP有意义的条件下，试比较M,P,Q的大小；

(II)求。的值及数列｛2｝的通项；

2

(III)记函数/(x)=a„x+2an+ix+an+2(ne2V*)的图象在x轴上截得的线段长为或，设

（她+她+…+%£），求小

.,—2(x~_ax_2)

1.解：⑴f'(x)=-———1分

(/+2)2

•••/（尤）在［一1,1］上是增函数

.•./'（犬）20即》2—公—2<0,在xe［—1,1］恒成立........①........3分

设(p(x)^x2-ax-2,则由①得

夕⑴=1-a-2<0

解得一14。41

夕(-1)=l+a-2<0

所以，。的取值范围为［—1,1］................................................................................6分

(2)由(1)可知4={4一14。41}

由/(幻=!即^£=，得％2_。彳_2=0

x尸+2x

•.•△=/+8>0.・.X1,X2是方程ax—2=0的两个非零实根

/.%1+x2=6/,xxx2=-2,又由(1)一IWaWl

.*.|X］—x2\=+12)2-4中2=+8<3.........................................9分

于是要使m2+0篦+1斗X-々I对V。£A及/£［一1,1］恒成立

即加2+/加+1〉3即机2+52-2之0对\/，£［一1,1］恒成立.....②......11分

设gO)=m2+tm-2=mt+(m2-2),则由②得

g(-l)=m2-nt-2>0

解得机〉2或〃？<-2

g(l)=m2+m-2>0

故存在实数me(-oo5-2)U(2,+8)满足题设条件....................14分

M=10a2+8U+207>0

2解：(1)由1P=Q+2〉0得一2<。<13...................2分

Q=26—2a>0

・・・M—。=10/+83。+181〉0(・・・A［<0).................................3分

M-P=10/+80〃+205>0(・・・A2<0)4分

:.M>Q,M>P

又•.•当一2<。<13时，P-Q=-24+3a,

当一2＜。＜8时，即尸＜。，则尸＜Q＜M5分

当。=8时，P=Q,则尸=Q＜M

当8＜。＜13时，P＞Q,则。＜P＜M

lgP+l=lg<210P=Q26-2a=10(a+2)

(2)依题＜即《

lgM=1+lg。M=10。IO/+81。+207=10(26-2。)

解得；从而〃

a=,=lgP+(“_l)xl=_21g29分

(3)v2an+I=«)+an+2,设/(x)与x轴交点为(3,()),(%0)

当/(x)=0时有(x+l)(a“x+a“+2)=0

.•.玉=1,々=—吐=—...............................11分

您%

b”=\xi-x2\=\-1+^^-\=二

anI%I

2

又二〃—21g2>0,bn——

册

7722“11、

•也-仇=一*一=4(----------)

%a.4Tan

：.T=-1x4.[3(------1--、)+，(-1-------1-)、+•••+(Z---1-------1)V1.

4a1a2a2%%an

1111n-\八

a}an1-21g2n-21g2(1-21g2)(n-21g2)

3.(上海市十三校2010届高三第一次联考)

1已知函数/(刈=硬二^二2(XCR,XHO),其中a为常数，且a<0.

(1)若/(x)是奇函数，求a的取值集合A；

(2)当a=-l时,设/(x)的反函数为/T(X),且函数y=g(x)的图像与y=/T(x+l)的图像关于y%对称,

求g⑴的取值集合B。

(3)对于问题(1)(2)中的A、B,当。£{a|。＜0,。任任团时，不等式

―-10%+9＜。(％-4)恒成立，求x的取值范围。

2.已知函数/(x)=kx+〃z,当xw［%,伍］时，/(x)的值域为［勺，/］，当xe］%，%］

时，/(x)的值域为［%，/］，依次类推，一般地，当xe［a,i也一］时，/(x)的值域为

［4，1］，其中k、m为常数，且％=0,d=1.

⑴若k=l,求数列{6},此J的通项公式；

(2)项m=2,问是否存在常数左>0,使得数列也,}满足limb“=4?若存在，求k的值；若不存在，请说明理由;

n—>oc

(3)若k<0,设数列{%},{〃,}的前n项和分别为S”，T“，求

(T1+72+…+72010)—(5］+&+…+$2010)。

1.解：(1)由必要条件/(—1)+/⑴=0得。2-。-2=0,4<0,

1+2,

所以a=-l,下面证充分性，当a=-l时，/(x)=」二，

1-2'

l+2-x1+2VT+11+2V

任取xwO,xwR,f(-x)+f(x)=------+-----=-----+-----=0恒成立，由A={-1}。(2)

l-2-x1-2V2X-11-2A

1+2*v-1

法一"，当a=T时，由y=/(x)=------log-------,

1-2*22y+1

互换x,y得/T(x)=log,二，贝i」/T(x+i)=log,_^,

x+1%+2

_)x+l

从而y=g(x)=一；——所以g⑴=-4,即B={-4}

2—1

］+2工

法二当a=T时,由/(x)=:)~♦由y=广(了+1)得，x+l=/(y),x=/(y)-1,

1—2

_»+1

互换X,y得y=g(x)=/(x)-1=———.......8分

2—1

所以g⑴=一4即13={-4}(3)原问题转化为

g(a)=(x-4)a-(x2-10x+9)>0,«e{o|a<0,6iT5-l,a-4}

x-4<0fx-4=0

恒成立，则《或4则x的取值范围为［,4］。

g(0)>0［g(0)>0

2解:(1)因为/(x)=x+w,当时,/(x)为单调增函数,

所以其值域为［a“_i+加,+加］2分

于是+m,bn=bn_x+m(n&N\n>2)..............4分

又％=0,优=1,所以a“=(n-Y)m,bn=1+(n-X)m...........6分

⑵因为/(x)=x+mf(x)=kx+m(k>0),当xG[%_]也时,/(x)为单调增函数

所以/(x)的值域为伏％_1+m,kbn_1+向，因加=2,则。"=kbn_1+2(〃>2)......8分

法一：假设存在常数4>0,使得数列也“｝满足limb“=4,则limb“=klim勿_1+2,得4=4攵+2,则女=」符

〃一>ocn—>00H—>002

合。........12分

法二：假设存在常数k>0,使得数列｛2｝满足limb,,=4.

当k=l不符合。...9分

22

当上#1时,〃=kb“_、+2(〃22)o勿+丁一=k(b,i+——)(/2>2),

"................................k—l"k-V''

22

则2=(1+=)父1_1一？........11分

K-1A：-1

01

当0<女<1时,limb“=3=4,得％=上符合.........12分

81一k2

(3)因为女<0,当x时，〃x)为单调减函数，

所以/(x)的值域为[妨“_1+m,kan_}+m]..............13分

于是明=kb“T+m,bn=kan_t+m(n&N*,〃>2)..............14分

则么一%=一%(%-%-J又仇一4=1

7,仅=-1)

则有4_S,.="1(小........16分

[1+人

进而有

2021055,(%=-1)

G+727201。)一⑸+S2-I|"^2010)=<2010+2011/c—/:-011,.

---------------------------,(k<0n,k*-1n)

(1+62

4.(湖南省四市九校2010届高三第一次联考试题)已知数列«}的相邻两项.，一是关于工的方程"212"*+6=°

«WN.)的两根，且，=l.

⑴求证:数列卜-同

是等比数列；(II)设注是数列卜｝的前3项和，求工

（ni）问是否存在常数：，使得4一招对任意嚣WN都成立，若存在,

求出：的取值范围；若不存在，请说明理

[⑴证明：是关于为的方程X--[y+%=0（72E、・）的两根，

、“：一

故数列：人-1义27是首项为必-二=二，公比为—1的等比数列……工工4分

I.CI4cCV*SAAAAZV

l，J，」

(ID由⑴得生一。2"=!I尸，即4=生—(一汨……力5分

JJJ

.•.b,=a,a,,.=占_(_1「卜［21_(-1严］

=-2:，>I-(-2T-11.......6分

9,」

**•S,：—〃:+d：+4：+••,+Q,.

=!h+2—••+2。।-1-1j+i-1F+…+(-1r］

=1HITH.......s分

32

皿)要使口一zS,>0对任意■C、•都成立,

*A“-(-2T-1卜:2^-2-btl>0

（*）对任意^N都成立

①当，，为正奇数时，由(*)式得|2»1+2'=-1]_£|2^-1|>0,

即L12Z-112*+11一勺2z-11>0,

93

Zv32”+11对任意正奇数，:都成立.

r

当且仅当，？=】时，匕三+1府最小值1.

Z<1...............11分

②当"为正偶数时.由(*)式得-2^-2':-f-£12"-:-21>0,

9-」3

即匕217+112：-11-±12*-11>0,

93

C-1>0,

/.z<Li""+11对任意正偶数，:都成立.

6

当且仅当“=:时，有最小值三.

62

：.).<.............13分

综上所述，存在常数上，使得拼-为匕A0对任意％©、•都成立，工的取值范围是

(-H，H…”•工14分

5.雅礼中学2010届高三月考卷(四)

设”〉0,函数/(x)=—+a[]nx-l|

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；

(2)当a=3时,求函数/(X)的单调性;

(3)当xe[l,+oo)时，求函数/*)的最小值。

.-lnr+1(0<x^e)

解：Q)当a=[时JGr)=d+|lnr-l|=，，、、.....................(1分)

lx+lnr—1(x>e)

令工=1得/(D=2,/(D=1.所以切点为(1,2).初战的斜率为1,

所以曲或y=/(力在]=1处的切歧方程为：z—y+l-O................................................(3分)

...[/-3lnz+3(0<x^e)

(2)当a=3时/(工)=/+3|lnx-l|=(,,

l/+31nx-3(x>e)

当O«e时/(力=2]一;丐父")在(°岑)内单调通发,(冬J内单调递增；

当T>e时/(工)=27+］>0恒成立.故/Gr)在(e.+8)内单调递增；

嫁上JCr)在(0.受内单调递减.像+8)内单调递增.............................(8分)

⑶①&x^e时,/(外N/+alnr-a/(力・21+亍(1*》6)

Va>0..\/(x)>0恒成立.・・・/(外在O,+8)上增函数.

故当工二。8t.y.=/(<!)Re2

3

②当l4x<e时,/(工)=/-aku*+a・/(力・2%—^•=,(<r+^^X«r-

(I)当，与(1.即0VaV2时，/Or)在工e(Le)时为正数.所以八外在区间［l.e)上为增函数.

故当x=l时,y_=l+a,且此时/(l)</(e)

(0)当iq/^Ve,即2VaV2e,时/(力在工£(1,唐:时为贸数.在工CJ^.e)时为正数.

所以人工)在区间口.唐：)上为发函数.&上为增函数

收当工・/1^时,1ylim-•苧一长卜"!"，且此时/(J^)V/(e)

(日)当我25叩422小时,「(工)在工6(1-)时为负数，所以人工)在区间［l.e］上为成品数.

故当工=€时，y.=/(e)=e*.

体上所述.当时JQ)在仑e时和l«eH•的最小依都是J.

所以此时/(幻的最小值为/(e)=^i

当2<a<2t?疗JGr)在Qe的最小值为/3=e?,/⑺在1«的最小值为〃唐"当

-ylny.fi/■(^y)</(e)»

所以此时人力的最小值为/(<f)=7_ilnf-

占0Va£2时■在x2e时欢小值为V,&l4r<e时"的最小值为/<1)=»1+a.

而/(DV/(e),所以此时/(力的最小值为/(l)=l+a

l+a.0<x<2

所以函敷尸/(ar)的景.小值为y.=<当一£ln号.ZVaVZe2.................................《13分)

V•a42/

6东北师大附中

1.已知函数f(x)=ax+byll+x2(x>0),g(x)=2'""'),且g(0)=2,

/(V3)=2-V3.

(I)求g(x)的值域

(ID指出函数/(x)的单调性(不需证明)，并求解关于实数机的不等式/(加2一加)</(3加一4)；

(Ill)定义在R上的函数/i(x)满足+2)=-h(x),h(-x)=-h(x)，且当04x41时h(x)=^[log/w-/(x)],求

方程h(x)=-1在区间[0,2009]上的解的个数.

2.已知/(x)=/-1,g(x)=10(x+1),各项均为正数的数列｛凡｝满足为=2,(J-•g(a“)+(4)=0，

9

b„=-(n+2)(a„-l).

(I)求证：数列｛%-1｝是等比数列；

(II)当“取何值时，切取最大值，并求出最大值；

"I.m+l

(III)若——对任意〃?eN*恒成立，求实数f的取值范围.

.一+1

1.解：(I)由/(石)=2—g,g(0)=2得瓜+2人=2-若,2'历=2,

解得，a=-l,b=l./(x)=71+x2-x.g(x)=2^

v1+x2-I,，J1+/21,；.2而>2

・•・g(x)的值域为[2,+00)；

(II)函数/(x)在[0,+8)是减函数，所以，〃/一优>3加一420,

4

解得，m>—,m2,

3

4

所以，不等式的解集为[§,2)u(2,+oo)；

(III)当OK尤K1时，h(x)=~x9・二当一l〈xK0时，h(x)=-h(-x)=~xf

：./?(%)=gx，-1<X<1

当1<x<3时，一1<x-2<1,/.h｛x)--h(x-2)=-；(x-2)

-x,-1Wx<1,

品故h7(/x、)=<2

—-(x-2),1<x<3.

由h(x)=得x=-1

h(x+2)=-h(x),h(x+4)=-h(x+2)=~[-h[x)]=h(x),h(x)是以4为周期的周期函数，故h(x)=--

的所有解是x=4"—l(neZ),

令0W4〃一142009,则14〃4

42

而〃€Z,，14〃4502(〃eZ),/.h(x)=一3在[°，2009]上共有502个解.

2

2解：(I)V(an+I-a„)g(a„)+/(cz„)=0,f(an)=an-1,g(a.)=10(a“+1),

...(4用一。“)10(4+1)+(。“2-1)=0.即(a,+l)(10%+「9%-1)=0.

91

又a“+1〉0,〃eN,所以a””=—a“■1----

.”I10”10

911

1—Q”----1八

•；4用一]_10"[0、9,

a“Ta„~110

9

{a“一1}是以4—1=1为首项，公比为木的等比数歹U.

(II)由⑴可知a“_l=(4)"T(„eN*).

Q9

:•么=历(〃+2)&-1)=(〃+2)(历))

Q

b(〃+3)舄严

0nli__________1U—(]-----)

b久-(〃+2)9(\)n10〃+2

当n=7时，—=1>〃=4；

当〃<7时,弧>1,bn+i>bn；

么

当心7时，里<1,bn+]<bn.

hn

"<b2<•・・<%=%>bg>Ao>,,,

98

.•・当〃=7或〃=8时，久取最大值，最大值为打=々=历7,

.m+1110r

(in)由,得严」_<0(*)

bmbm+im+29(m+3)

依题意（*）式对任意〃2GN*恒成立，

当片0时，（*）式显然不成立，因此片0不合题意.

②当Y）时，由一1-------业一＞0,可知严＜0（机GN*）.

加+29（m+3）

而当根是偶数时严〉0,因此长0不合题意.

③当分0时，由广〉0(mGN*),

1lOtc..、9(〃?+3)

...---------------------<0(mGN*)

m+29(/7?+3)10(/77+2)

.n.,z、9(m+3)

设/i(m)=----------(meN*)

10(m+2)

9(m+4)9(m+3)

-----------------------<0

10(/27+3)10(m+2)10(m+2)(/7?+3)

A/?(I)>/?(⑼〉….；.h(/n)的最大值为〃(1)=|.

所以实数，的取值范围是，>9.

5

7(江西师大附中、临川一中、南昌三中2010届高三联考文科)

1.已知函数f(x)=卜*3-2ax+h(a,beR)

(1)试求函数〃x)的单调递增区间；

(2)若函数"X)在x=2处有极值，且/(x)图象与直线y=4x有三个公共点，求6的取值范围.

2.已知数列｛〃"｝中，囚=2,对于任意的Wap+q=ap+

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足：a.=口-岛+岛-岛+…+(_1厂|岛_(〃€M)求数列也｝的通项公式；

2I12I12I12I12I1

(3)设C“=3"+/L”(〃eN*),是否存在实数2,当〃cN*时，。川〉。“恒成立，若存在，求实数4的取值范围，若

不存在，请说明理由.

1.(1)f\x)=ax2-x-2a..............(］分)

当a=0时，f*(x)=-x>0=>x<0..............(2分)

当aw0时，A=l+8a2>0,方程外幻=0有不相等的两根为冷马=上也互

2a

..............(3分)

1OXL.nn-Pr!/\n1-Jl+8〃21+Jl+8〃~(A4、

1。当a>0时，fV)>0=>x<--------------或x>...................(4分)

2a2a

co工,八口卜、、八_1+J1+8〃21-J1+8/(<4、

2°兰|〃<0时，f(%)>0=>--------------<x<....................(5分)

2a2a

综上：当。=0时，/(x)在(-8,0)上递增

、［/__..1—Jl+8a~\/l+Jl+8a~、【

当。>0时，/z⑴在(-oo,--------------)、(----------，位)上递增

2a2a

当a<0时，/(x)在(匕如包二,&「_)上递增……您分)

(2)••,/(X)在x=2处有极值，.•.尸(2)=0,，a=l..............(7分)

^(x)=f(x)-4x=-x3~~x2-6x+/?

•・g'(x)=-—x_6=0nx=-2或3..............(8分)

g'(x)>0nx<-2或x>3

g'（x）<0n-2<x<3

，g（x）在x=-2处有极大值，在x=3处有极小值........（9分）

要使“X）图象与y=4x有三个公共点

g(-2)>0

则（11分）

g⑶<0

n------<b<—,即。的取值范围为(----,—)........(12分)

3232

2.(1)取p="，4=1，则=。”+q=%+2................(2分)

•1-an+]-a„=2(neN,)

，｛an｝是公差为2,首项为2的等差数列

/.an=2n................(4分)

瓦区&b4+…+(T产占=%(〃21)

(2)2'+122+1+23+124+1①

坐----缸+…+㈠)=a②

2'+122+12"-'+10-1

①一②得：=2(H>2)................(5分)

1

bn=(-1)"-(2—+2)(心2)................(6分)

当”=1时，q=g；.优=6满足上式........(7分)

：.b„=(-\)n-'(2n+'+2)(ne/V*)................(8分)

(3)C“=3"+(-l)"T(2"i+2>2

假设存在4,使C.T>C“ScN*)

3""+(-I)"。"?+2)•2>3"+(-1)"-|(2"+1+2)-2

[(-1)"(2"+2+2)-(-1)"-'(2"+|+2)]-2>3"-3"+,=-2-3"

(-1)"(3・2向+4))>-2-3"................(9分)

当〃为正偶函数时，(3.2"+'+4)2>-2・3"恒成立

3〃

几〉（一

3・2"+2

（11分）

当n为正奇数时，-(3-2,,+,+4)•4>-2・3〃恒成立

3

2<-................（13分）

8

o1

综上，存在实数几，且；1£（一工，）........（14分）

148

8.（江西师大附中、临川一中、南昌三中2010届高三联考理科）

1,已知函数/'（X）=；V+3mx+（〃-6）x在［3,+oo）上是增函数.

(1)求实数。的取值范围；

(2)在(1)的结论下，设g(x)=|e'-a|+；/,xe[0,ln3],求函数g(x)最小值.

2.数列｛%｝满足q=-1,"向=⑶廿3H..±4吐6

n

(1)求｛。“｝通项公式〃“;

(2)令超=，数列也｝前〃项和为S,,,

。“+2

求证：当"22时，＞2(—+—4----1--)；

23n

r4

(3)证明：2用+〃,+2+…+%,＜《•

3

1.解(1)/(X)=x+—+(a-6)20对x£[3,+oo)恒成立..........1分

X

・・・〃26—(x+三)又g(x)=x+±在XG[3,+OO)为单调递增函数

XX

：.%+->3+1=4；.心2.................................................5分

X

(2)设/=优，R(t)=\t-a\+^a2re[1,3]

12y

当2WaW3时，R⑴=(2

127r

t—ci—ci"

2

/.R(/)最小值为R(a)=........................................................9分

当a＞3时,R(f)=T+4+；/

R(f)最小值为R(3)=a-3+；/12分

综上，当2WaW3时，g(x)最小值为ga:

当a>3时，g⑴最小值为^^+:力

2.解(1)鹿%+]=3(〃+1)〃”+4〃+6,两边同除以下(九+1)得:

也=3.%+而+4+2=3乌+

n+\nn(n+1)nn〃+l

%+2=3.(9)

n4-1n

[%+21是首项为以拦=1,公比q=3的等比数列

4分

In

...%+2_3“T

n

l

：.an=n-y--2

⑵bn=~,当〃22时，〃,=5“-S,I=LS,-L=S“T......................5分

nnn

7Vi

两边平方得：S：=—---

nn~

2sz1

s：]-S：2=

n-1-(n-l)2

291

仪_v2二一2

°/r-20n-3

n-2("-2)2

S"S2=2—J

2'222

相力口得：S：-1=2(j+寸H---1-—^4---F-y)

又i-(-4+二+…+1)>i-[―^―++…+——!——]

2232n21x22x3〃(〃-1)

(3)(数学归纳法)

当〃=1,2时，显然成立

11141

当〃‘2时’证明加强的不等式Q+R+…+万<)

2〃+1

假设当〃=k(&22)时命题成立，即一--I-1---F-^―<------

k+\k+22k52k+l

则当77=A+1时

1114111

-----1p—+<----------1--------------

k+2攵+3------2%+252k+12k+12k+2

4141

=---------<---------

52k+252Z+3

・,•当〃=女+1时命题成立，故原不等式成立..............14分

9.(西南师大附中高2010级第四次月考)

1.已知曲线C：上的点A、4〃的横坐标分别为1和%(〃=1,2,3,…)，且〃1=5,数列“力满足x〃+[=/(九〃-

1)+1(t>0且设区间>1),当时，曲线C上存在点/*"))使得岛的值

与直线AA”的斜率之半相等.

(1)证明：｛l+bg,(x“-l)｝是等比数列；

(2)当。向。£对一切”eN*恒成立时，求r的取值范围；

(3)记数列｛%｝的前〃项和为Sn，当，=1时，试比较Sn与"+7的大小，并证明你的结论.

4

解：(1)；由已知得.•.2匕="」,即匕=%上>1