河南省洛阳市强基联盟2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题

洛阳强基联盟高一10月联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式，再利用集合的交集运算即可求解.【详解】因为所以故选:C.2.命题“有实数解”的否定是（）A.无实数解 B.有实数解C.有实数解 D.无实数解【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.【详解】因为全称量词命题否定是存在量词命题，所以“有实数解”的否定是“无实数解”．故选:D．3.下列表示错误的是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合间的关系逐项判断即可﹒【详解】A：集合之间应该是包含或被包含的关系，∈是元素与集合的关系，故A错误；B：集合里面元素具有无序性，一个集合是它本身的子集，故B正确；C：里面的元素都在里面，故，故C正确；D：空集是任何集合的子集，故D正确﹒故选：A﹒4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用充分条件，必要条件的定义即得.【详解】因为或，又时，不能得出；时，不能得出；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选:D.5.不等式的解集为（）A. B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】直接解一元二次不等式可得答案.【详解】原不等式即为，解得，故原不等式的解集为.故选：B.6.已知集合A={x∈N|0≤x<m}有8个子集，则实数m的取值范围为（）A.{m|2<m≤3} B.{m|2≤m<3}C.{m|2≤m≤3} D.{m|2<m<3}【答案】A【解析】【分析】根据题意，集合元素的个数与子集的关系确定集合A的元素个数，再求m的取值范围.【详解】因为A有8个子集，所以集合A中含有3个元素，则2<m≤3.故选:A.7.若，则函数的最小值为（）A. B. C.4 D.2.5【答案】D【解析】【分析】由，则，又，从而利用均值不等式即可求解.【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为，故选：D.8.定义集合运算：．若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求解集合，令或3，或3，计算的值，求解，即可计算结果.【详解】∵，∴，令或3，或3，则或或，则，因为，故．故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分.9.已知a<b<0，则下列不等式成立的是（）A.|a|>|b| B.C.ab<b2 D.【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，结合不等式的性质逐项分析判断作答.【详解】因，则，即，A正确；因，即有，则，即，B不正确；因，则，C不正确；由选项A知，，则，又，于是得，即，D正确.故选：AD10.（多选）如图所示，是全集，、是的两个子集，则阴影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，分析元素与集合、、的关系，可得出结果.【详解】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，则且，或且故阴影部分区域所表示的集合为或.故选：AD.11.“”的一个充分不必要条件可能是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】求出不等式恒成立时k的取值范围，再利用充分不必要条件的意义判断得解.【详解】由知，当时，恒成立，则，当时，，解得，则，因此，显然，，，ABC正确；而，D错误.故选：ABC12.已知a>0，b>0，a＋b＝1，则（）A.a2＋b2 B.ab≤C.≤4 D.≤【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：因为，故可得，当且仅当时取得最小值，故A正确；对B：因为，当且仅当时，取得最大值，故B正确；对C：，又，当且仅当时取得最小值，故C错误；对D：，又，故可得，当且仅当时取得最大值，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则“”是“”的________条件．【答案】充分【解析】【分析】利用充分条件的定义和子集的定义求解.【详解】解：因为，所以当时，则，所以“”是“”的充分条件．故答案为：充分14.若，则的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】直接利用不等式的性质计算即可.【详解】，①，又，②，①+②可得即的取值范围是故答案为：15.深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动．已知高一（1）班有名同学，其中名同学参加了数学活动，名同学参加了物理活动，名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________________．【答案】【解析】【分析】以集合、分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，表示这个班所有的同学构成的集合，利用韦恩图法可求得结果.【详解】以集合、分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，表示这个班所有的同学构成的集合，如下图所示：由图可知，这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为.故答案为：.16.已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是________________.【答案】或【解析】【分析】根据命题为假命题，转化为，恒成立，即可求解.【详解】因为命题“，”且命题p是假命题，可得命题“，”为真命题，即，恒成立，可得，即，解得或，即实数a的取值范围是或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查了利用命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及恒成立问题的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，（1）分别求（2）已知，若，求实数a的取值范围【答案】（1）或，或；（2）.【解析】【分析】（1）根据集合交并补集的概念即可求出结果；（2）根据集合的包含关系得到，解不等式组即可求出结果.【详解】解：（1）因为，所以或，因为或，，所以或.（2）因为，所以，解之得，所以．18.（1）比较与的大小；（2）已知，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过做差来比较大小即可；（2）通过做差来证明即可.【详解】（1）,；（2），，，，即，证毕.19.已知集合，，R.（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.【小问1详解】若，则，解得，即实数的取值范围【小问2详解】由题知，，，因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集，即，解得.即实数a的取值范围是.20.设集合，，.（1）若，求实数的值；（2）若且，求实数的值.【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）首先求出集合，依题意可得，从而得到，是方程的两个根，利用韦达定理计算可得；（2）首先求出集合，依题意可得，又，所以，即可求出的值，再检验即可.【小问1详解】由题可得，由，得.从而，是方程的两个根，即，解得.【小问2详解】因为，.因为，所以，又，所以，即，，解得或.当时，，则，不符合题意；当时，，则且，故符合题意，综上，实数的值为.21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？【答案】（1）900cm（2）选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少【解析】【分析】（1）根据宣传栏面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.【小问1详解】设阴影部分直角三角形的高为cm，所以阴影部分面积，所以，又，故，由图可知cm，cm.海报纸的周长为cm.故海报纸的周长为900cm.【小问2详解】由（1）知，，，，当且仅当，即cm，cm时等号成立，此时，cm，cm.故选择矩形的长、宽分别为350