（教案）第4讲：整数的速算与巧算

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页（四年级）备课教员：×××第4讲：整数的速算与巧算一、教学目标：1.通过看见、比较，领略速算与巧算的基本逻辑。2.通过对数字的对照、拆分等方式，体味数与数之间的联系，发展抽象思维能力。通过即时的主意演练，领略复杂问题容易化的能力，控制5×2=10，25×4=100，125×8=1000等这些异常数字之间的联系，增强应用数学的意识。4.通过活动，培养口头表达能力、初步的看见推理能力和探究问题的能力。进一步培养发散思维和逻辑思维能力。二、教学重点：1.学会运用多种方式将复杂的算式容易化。2.引导学生比较数字之间的互相联系。3.学会将乘数拆分成两个数相乘的积，从而举行速算。三、教学难点：1.探索发现找出异常的数字，从而将式子举行容易化。2.学会将乘数拆分成两个数相乘的积，从而举行速算。四、教学决定：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）导入（5分)学生们，昨天米德和卡尔举行“计算王”比赛，米德只用了5分钟就将试题写完了，而卡尔却才算了一半的试题，卡尔不服气地将米德的试卷抢过，看了之后捧腹大笑：“哈哈……米德，你写这么快有什么用？都是错的！哈哈……”博士走过来，看了看米德的试卷说：“卡尔，你啊最近绝对没好好学习，米德全做对了！”“博士怎么可能，你看这里有些数题目中根本就没有，怎么可能是对的呢？”PPT出示下图（部分试题）师：学生们，你们知道这是为什么吗？生：……师：这就是我们今天要学习的知识。【板书课题：整数的速算与巧算】二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（13分）计算下面各题。（1）11×5×2（2）25×7×4（3）25×8×4×125师：学生们，刚才也讲了我们今天要学的是速算与巧算，那你们看见这三个算式，你们能从中发现什么有趣的现象吗？生：这三个算式都是乘法算式。师：是的，这三个算式都是乘法算式，那你们还有其他的发现吗？先来看第一个算式，亮出你们的火眼金睛，再仔细看见看见！生：第一个算式里的5和2相乘等于10。师：嗯，说得很棒，5和2相乘等于10，倘若先算5×2，这个算式计算就比较简便了，但怎样才可以先算5×2呢，学生们？生：可以加个括号。师：嗯，真棒，可是括号该加在哪里呢？生：用括号将5×2括起来。师：是的，XX学生讲得很棒，我们一定要讲清晰加在哪里。加上括号后就变成了11×（5×2），你们谁来说说这题的答案？生：11×（5×2）先算5×2等于10，再算11×10=110。师：说的很好，那一起来总结回顾这题的解题主意吧！首先，我们找出了5和2相乘凑成10，然后添加括号，改变运算顺序，从而得到总算结果110；这个主意我们称之为主意一。师：接下来我们再一起看看第二个算式。同样的，找一找这个式子里有哪些异常的数字，想一想能不能像刚才一样很快就能算出答案呢？想好了之后，同桌之间互相研究交流！生1：这个算式也全是乘法的算式。生2：25和4相乘等于100。师：嗯，说得都很棒，我们已经找到了25和4，那是不是也在它们之间加上括号呢？生：……师：是的，不能直接加括号，那该怎么办呢？学生们，再想一想！师：以前学加法的时候知道加数位置交换，结果不变，那乘法呢？自己动手试试！生：……师：相信学生们都有自己的答案了，哪位学生来告诉教师你的答案！举起你的小手！生：乘数位置交换，结果不变。师：你们都愿意XX学生说的吗？生：愿意！师：看来学生们都愿意，那我们再来看这个算式，你们谁来说说怎样可以迅速计算？生：将7和4这两个乘数的位置交换就变成了25×4×7，因为25×4是等于100，所以答案是700。师：嗯，说得很清晰，学生们都听懂了？生：……师：我们也一起总结这题的速算主意：首先因为25和4相乘正巧是100，这个是凑整，而25和4的中间还有一个乘数7，需要将7和4的位置改变，因此交换4和7这两个乘数的位置达到简算的目的。这个我们称之为主意二，都听懂了吗？【听懂了，就开始下一个，不明了就再讲一次】生：……师：接下来第三个算式，按照前面两个算式的解题经验，你们先自己动手在课堂练习本上试一试！学生自己尝试中，教师下讲台巡视师：教师刚才走了一圈，发现居然没有难倒你们，看来你们都很仔细地听了，也控制了主意了，那就请一位学生讲一下他是怎么做的,哪位学生自告奋勇？生：我是先看见发现25和4相乘等于100，125和8相乘等于1000，所以交换8和4的位置，这时就变成25×4×8×125，再加上括号将25×4和8×125分离括起来，就变成（25×4）×（125×8）等于100×1000等于100000。师：真棒，奖励3个大拇指，学生们，你们也是这样写的吗？生：是的师：嗯，那教师再考考你们，看你们是不是真的控制了！板书：（1）11×5×2（2）25×7×4（3）25×8×4×125=11×（5×2）=25×4×7=（25×4）×（125×8）=11×10=100×7=100×1000=110=700=100000练习1：（6分）简便计算。（1）5×31×2（2）125×15×8×4分析：（1）的计算难度不大，首先找到5和2这两个异常数字，将31和2这两个乘数的位置交换，就可以举行速算；（2）的题型与例题中的（3）类似，也是先找到异常数字再添加括号举行速算，但需要注重15和4这两个乘数，它们相乘不是整百，而是60。板书：（1）5×31×2（2）125×15×8×4=5×2×31=（125×8）×（15×4）=10×31=1000×60=310=60000例题2：（13分）不列竖式，计算下面各题。（1）25×16（2）56×125师：既然都难不倒你们！看来教师要出绝招了！先来看这一道算式，仔细看见两个数字，你会有什么发现呢？生：……（学生可能一下子发现不了，需要教师去引导）师：你们看这有一个乘数是25，25和哪个数相乘是100啊？生：4。师：是的，25和4相乘是100，那你们再仔细看见，算式里有乘数4吗？生：没有，惟独25和16。师：是的，没有4，这可怎么办呢？再想想？生：4×4=16。（可能有学生已经想到了）师：你们看16这个乘数，它是不是可以写成4×4的形式呢？生：是的。师：对的，所以我们将16拆分成4×4的形式，这时就变成25×4×4，那现在你们能迅速地算出答案了吗？谁来说？生：25×16将16拆成4×4就变成了25×4×4先算25×4=100，再用100×4等于400。师：嗯，好棒，就是这样的，你们都听明了了吗？生：听明了了。师：都听明了了，那我们一起总结下这个题解题主意的特点吧！（引导学生说）师：先看见乘数，寻找异常的数字通过找好朋友的主意将另一个乘数拆分成两个数相乘的积的形式，从而达到速算的目的，记住了吗？师：那好，后面这个算式，你们拿出随堂练习本自己动手试一试！想一想，然后和同桌研究交流一下。【学生动手尝试中】教师下讲台巡视。师：刚才我走了一圈，发现学生们都很棒，学会了举一反三，那请一位学生来当一次小教师，和学生分享你的主意，哪位学生愿意来当小教师？生：我按教师教的主意先看见，发现乘数125，因为125×8=1000，所以我又去看另一个乘数56，发现56是7×8的积，于是将56拆分成7×8的形式，这时就变成了7×8×125，因为是125与8相乘是1000，所以要添加括号将8×125括起来，就变成了7×（8×125）等于7×1000等于7000。师：嗯，学生们觉得XX学生这个小教师当得怎么样，课讲得怎么样？你们听懂了吗？生：听懂了。师：既然都懂了，那敢采纳我的挑战吗？生：……板书：（1）25×16（2）56×125=25×4×4=7×8×125=100×4=7×（8×125）=400=7×1000=7000练习2：（8分）简便计算。（1）48×25（2）125×24（3）125×32×25分析：（1）与例题中的（2）类似，因为有乘数25，那么需要找到数字4，而48刚好可以拆成12×4，当拆分之后就可以举行简算了；（2）与例题中的（1）类似，因为有乘数125，那么需要找到数字8，而24刚好可以拆成8×3，当拆分之后就可以举行简算了；（3）与例题（2）相似，但比例题要难一点，这里是三个数相乘，先看见数，发现有125和25这两个乘数，因为125与8相乘是1000,25与4相乘是100，因此要找到数字8和4，通过看见发现32刚好可以拆分成8×4的形式，算式变成125×8×4×25，再添加括号将125×8和4×25括起来即可简便运算。板书：（1）48×25（2）125×24（3）125×32×25

=12×4×25=125×8×3=125×（8×4）×25，

=12×（4×25）=1000×3=（125×8）×（4×25）

=12×100=3000=1000×100

=1200=100000小结：（5分）在乘法计算中，交换乘数的位置，乘积不变。有的乘数相乘正巧是整十、整百、整千的数，先算它们，会更快！2.在乘法计算中，运用一些固定搭配，可以使我们的计算更简便。请铭记：5×2=10，25×4=100，125×8=1000……一个乘数可以拆成两个数相乘的积的形式，依次相乘。用找好朋友的主意寻找固定搭配。第二课时（50分）复习导入（3分）师：学生们，上节课学了什么你们还记得吗？生：记得。师：那请一位学生说一说，和大家一起复习复习！生：上节课我们学了乘法的速算与巧算，我们可以添加括号改变运算顺序，也可以交换乘数的位置改变运算顺序。师：嗯，就这些吗？还有学生要补充的吗？生：寻找固定搭配，将乘数拆分成两个数相乘的积的形式。师：嗯，很棒，看来记得很熟，那这节课，我们将学习更难的速算与巧算，你们有信心吗？生：有。师：那一起进入今天的课堂吧！（出示PPT)二、探索发现授课（42分）（一）例题3：（13分）计算下面各题。（1）1200÷25÷4（2）560÷（7×5）（3）300÷12师：学生们，先看见这三个算式，再说说你有什么发现？生：都是除法算式。师：是的，三个都是除法算式，还有其他的发现吗？生1：第一个算式两个除数是25和4，它们俩相乘是100。生2：第二个算式先算括号里，但7×5等于35除数是两位数，计算起来比较艰难；第三个算式也是一样的。师：是的，第一个算式两个除数是25和4，它们俩相乘是100；而后面两个算式除数是两位数，我们没学过，这该怎么办呢？不急，我们一个一个看，一个一个解决。先看第一个算式。师：刚才有学生也提出了两个除数是25和4，它们俩相乘是100，那这和我们解题有什么关系呢？生：……师：学生们，还记得加法简便运算时添加括号这个知识点吗？看来有些学生忘怀咯！没事，我们一起复习，当一个数延续减去两个数时候，我们可以怎么去想？生：连减的减法算式添加括号后，括起来的减号改成了加号，由一个数延续减去两个数变成了一个数减去两个数的和。那这和我们第一个算式有什么关系呢？生：我是这样想的：一个数延续除以两个数，也可以添加括号，改括号里的出号为乘号，变成一个数除以两个数的积。（倘若学生不会模仿，教师就引导）师：嗯，主意很好，但主意行不可得通呢？我们还是动手算一算，验证吧！学生们分为左右两组，左边的组计算没加括号的算式，右边的组计算XX学生的主意，验证答案是不是一样，这个主意可不可行！动手验证吧！学生验证中，教师下讲台巡视。师：走了一圈，发现学生们大部分都算出来，那左边这组先选代表说出你们的答案吧！再是右边这组选代表。左边组代表：答案是12。右边组代表：答案是12。师：两组答案都一样，那说明这个主意行不可？生：行。师：是的，这个主意是行的，但可能有些学生还不是很清晰，你们谁愿意来分享协助其他学生呢？【最好是选会做，但比较内向的学生】生：1200÷25÷4添加括号，将25÷4括起来同时将里面的除号改为乘号，变成了1200÷（25×4）等于1200÷100等于12。师：说得很棒，教师希翼以后能常常听到你的声音，现在我们来总结：一个数延续除以两个数可以添加括号，同时改变符号，变成一个数除以两个数的乘积。师：那第二个呢？倘若先算括号，除数就是两位数了，这我们可没学过啊！该怎么办呢？生1：教师，其实我们也可以像减法中去掉括号一样。生2：教师，他说得不对，去掉括号，还要按照括号前面的符号改变符号。师：嗯，说得好似有点道理，那究竟是怎样改符号呢？你们自己和学生研究验证。然后告诉我你们的结果。学生自己尝试研究中，教师巡视。师：研究出结果没有，现在请两位学生来告诉我答案。生1：我去掉括号后没有改变符号，答案是400。生2：我去掉括号后，将括号里的乘号改为除号，答案是16。师：学生们，你们觉得哪个学生的答案是对的呢？生：第二个学生说的是对的。师：是的，第二个学生主意是对的，560÷35不可能还等于400，那我们已经知道主意是怎么做了，但为什么是这样呢？（请第二个学生回答）生：我是按照减法去括号的主意来做这题的，因为括号前面是除号，那么去掉括号后，括号里的乘号变除号，除号变乘号，也就去掉括号后算式变成560÷7÷5。师：有学生还有其他主意吗？生：我是由第一个算式想到的，第一个算式本来是连除，但添加括号就变成第二个算式的形式，那么说明第二个算式去掉括号，就是第一个算式的形式。师：嗯，两个学生都说得很好，一人奖励4个大拇指，而且XX学生（后面一个学生）的主意是看见对照出来的，比较爱看见，真得很棒。你们还记得是怎么说的吗？生：记得。师：那和教师一起说（生）：去括号时，前面是除号，要改符号，前面是乘号，不改符号。师：这个题居然没难倒你们，那教师放大招了，看这个算式，你们先自己想一想，然后和同桌交流主意！【学生思量中】师：怎么样？想好了没？看你们研究的那么激烈，绝对是想好了，那谁来汇报研究的结果。生：我们是这样想的：将除数拆分成两数相乘的积的形式，按照被除数是300，而除数恰好可以拆分成3和4相乘的形式，拆分后就变成了300÷（3×4），然后再按照第二个算式的解题主意去解题。师：嗯，说得很好，其他学生有不一样的主意吗？生：……师：看来你们都认可XX学生的解题思路，其实教师也是这样想的，那我们一起说一说解题过程吧！生（师）：300÷12将12拆分成3×4，就变成了300÷（3×4），再去括号，改乘号为除号，变成300÷3÷4等于100÷4=25。师：嗯，说得很好，看来你们都已经控制主意了。那我们去实战演练提升能力吧！板书：（1）1200÷25÷4（2）560÷（7×5）（3）300÷12=1200÷（25×4）=560÷7÷5=300÷（3×4）=1200÷100=80÷5=300÷3÷4=12=16=100÷4=25练习3：（7分）简便计算。（1）6000÷8÷125（2）700÷（7×4）（3）5000÷40分析：（1）与例题中（1）类似，也是添加括号改变运算顺序变成除以两个数的积；（2）与例题（2）相似，解题主意也一样，需注重去括号时：前面是除号，要改符号，前面是乘号时，不改符号；（3）与例题（3）相似，先将除数拆分成两个数相乘的积的形式，再去括号，改变符号，举行速算。板书：（1）6000÷8÷125（2）700÷（7×4）（3）5000÷40=6000÷（8×125）=700÷7÷4=5000÷（5×8）=6000÷1000=100÷4=5000÷5÷8=6=25=1000÷8=125（二）例题4：（13分）你能口算出下面算式的结果吗？（1）26×11（2）358×11师：哇！学生们实在是太棒了，让教师太佩服，那么多难题都难不住你们，那你们帮教师看看这题吧！生：好的，没问题！师：嗯，教师就喜欢你们这个自信的形状，那给你们3分钟想一想，3分钟后和教师说说你的主意？【学生思量中】教师巡视，发现有些学生是列竖式计算，出声提醒：题目要求是口算。师：我在下面走了一圈，发现不用竖式计算，就把许多学生难倒了？生：两位数的乘法口算不出来！师：呵呵，没关系，这节课教师就教你们口算的主意。师：首先，我们来看见一下这两个算式，这两个算式都有什么特点？生：都有一个乘数是11。师：现在我们先把它们的答案都算出来，然后再来看见一下这两个算式。“学生们我们一起来大胆预测一下，每个算式的积会与什么有关？”生：（学生看见）师：我们先看见第一个算式，你们看到积286，有什么发现没？生：积的尾和乘数26的尾都是6，积的头和乘数26的头都是2。师：是的，那还有其他学生要补充吗？生：积的中间是乘数26的头尾相加的和。师：两位学生看见得都很仔细，26×11的积是一个三位数，三位数的头是乘数26的头，尾是乘数26的尾，中间是乘数的头尾之和；也就是286。师：按照这个算式，我们可以总结出一个逻辑：板书：两位数乘11，两位数的头做它们积的头，两位数的尾做它们积的尾，两位数的头尾之和做积的中间，倘若头尾相加满十，就向头进“1”。师带领学生读一遍。师：都记住了吗？生：记住了！师：第二个和第一个有点类似，但是有点难度，你们有信心自己解答吗？生：有。师：嗯，那按照刚才的主意自己去尝试吧，待会儿和我汇报你们的主意！【生尝试思量中】师巡视。师：想好了吗？谁自告奋勇地来说？生：按照第一个的主意，用三位数的头做积的头，用三位数的尾做积的尾，用三位数的头尾之和相加做积的中间，这里3＋8=11，中间写1，头加1答案是418。生：不对，他说错了，积的中间是三位数的前两个数加后两个数的和，也就是35＋58=93做积的中间；358×11=3938。师：是的，XX学生看见得还不够仔细哦，下次要小心仔细点！不过还是很棒，敢说了。师：做三位数乘11时，和两位数×11还是有一点区别的，我们也总结吧！板书：三位数乘11，用三位数的头作积的头，用三位数的尾作积的尾，用三位数前两位数字组成的数加后两位数字组成的数的和作积的中间数。师带领学生读一遍。师：既然学会了主意，那趁热打铁，做练习巩固吧!板书：（1）26×11=286（2）358×11=3938两位数乘11，两位数的头做它们积的头，两位数的尾做它们积的尾，两位数的头尾之和做积的中间，倘若头尾相加满十，就向头进“1”。三位数乘11，用三位数的头作积的头，用三位数的尾作积的尾，用三位数前两位数字组成的数加后两位数字组成的数的和作积的中间数。练习4：（7分）口算下面各题。（1）53×11

（2）353×11

（3）654×11

分析：两位数乘11，两位数的头做它们积的头，两位数的尾做它们积的尾，两位数的头尾之和做积的中间，倘若头尾相加满十，就向头进“1”。三位数乘11，用三位数的头作积的头，用三位数的尾作积的尾，用三位数前两位数字组成的数加后两位数字组成的数的和作积的中间数。板书：（1）53×11=583

（2）353×11=3883

（3）654×11=7194

例题5（选讲）：例题5：（选讲）请你算一算。1×1=1

11×11=121

111×111=12321

1111×1111=

11111×11111=

×=21。师：学生们，看教师的杀手锏，这个你们会吗？生：……师：看着这么长，吓住了吧！其实没你们想得那么恐怖，仔细看见你就会想明了了！【生看见中】师：你们看第一个算式是1×1，积是1，第二个算式是11×11=121，第三个是111×111=12321。你们发现了什么没？生：1个1相乘，积是1；2个1相乘，积是从1写到2再写到1；3个1相乘，积是从1写到3再写到1。后面的应该也是几个1相乘，积就从1写到几再写到1。师：嗯，有发现这个逻辑，但是说的不够清晰，教师来给你补充：看见发现两个乘数是由1组成的，而且位数相同，所得的积，看乘数中1的个数，一个乘数由几个1组成，则积就是从1开始按顺序写到几再按倒序写到1即可。板书：看见发现两个乘数是由1组成的，而且位数相同，所得的积，看乘数中1的个数，一个乘数由几个1组成，则积就是从1开始按顺序写到几再按倒序写到1即可。师：按照总结出来的逻辑，将后面几个答案写出来吧！师：写好了，请位学生说说他的答案。生：第四个的乘数是由4个1组成，所以积是1按顺序写到4再倒序写到1也就是1234321；第五个的乘数是由5个1组成，所以积是1按顺序写到5再倒序写到1也就是123454321；第六个比较异常，是要按照积来推导乘数，按照前面的逻辑，可以推出乘数是由7个1组成的，也就是1111111×1111111=21。师：说得异常好，连后面一个都被你解答出来了，教师还以为会难住你呢！看来大家都是会了，那把下面的练习写了巩固新知吧！板书：1×1=1

11×11=121

111×111=12321

1111×1111=1234321

11111×11111=123454321

1111111×1111111=21。练习5：先算出前三个算式，再按照逻辑直接写出后五个算式的得数。

12×8+2=

123×8+3=

1234×8+4=

12345×8+5=

123456×8+6=

1234567×8+7=

12345678×8+8=

123456789×8+9=

分析：通过计算以上算式，从1开始的几个延续天然数组成的几位数乘8加几，结果是从9递减1的几个延续天然数组成的几位数；依照此逻辑，即可得解。板书：12×8+2=98，

123×8+3=987，

1234×8+4=9876，

12345×8+5=98765，123456×8+6=987654，

1234567×8+7=9876543，

12345678×8+8=98765432，

123456789×8+9=987654321。总结：（5分）用两位数的头作积的头，用两位数的尾作积的尾，用这个两位数的两个数字之和作积的中间数（倘若相加满十，则把和的十位数“1”加到头上）。三位数乘11，用三位数的头作积的头，用三位数的尾作积的尾，用三位数前两位数字组成的数加后两位数字组成的数的和作积的中间数。看见发现两