排列、组合问题

第十单元概率与统计第1讲排列、组合问题B解：分两步：所以共有方案种，故选B.②把两组学生分配到六个班中的两个班去，有种分法①把４名学生平均分成两组，有种分法；A.B.C.D.21.某校高中二年级共有六个班，现从外地转入４名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排２名，则不同的安排方案的种数为()2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有（）A.24种B.18种C.12种D.6种B解：因为黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法有种，在不同土质的三块土地上种植的方法有种，所以种法共有·=18种.D3.从A、B、C、D、E五名学生中选出四名学生参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为()A.24B.48C.120D.72解：分选A和不选A两类情况.若不选A有种；若选A，应先选人有种，再排科目，种，故有种，所以总方案为+=72种.故选D.151236解：因为三棱柱共有6个顶点，均不共线,所以过其中任意两个顶点的直线共有=15条.且4点不共面的共有-3=12种,即12个三棱锥.又每个三棱锥有三对异面直线，所以异面直线共有12×3＝36对.4.过三棱柱任意两个顶点的直线共有

条，以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥共有

个，过三棱柱任意两个顶点的异面直线共有

对.11040解：含0的，有种；不含0的，有种，共有+=11040个.5.用0，1，2，…，9十个数组成五位数，其中含3个奇数与2个偶数且数字不同的五位数有

个.1.求解排列与组合题的三条途径(1)以

，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素，即优元法.(2)以

，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，即优位法.这两种方法都是

.(3)先不考虑附加条件，计算出所有排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数，即

.元素为分析对象位置为分析对象直接法间接法要点梳理2.解排列、组合题的“十六字方针，十二个技巧”(1)“十六字方针”是解排列、组合题的基本规律,即

.

(2)“十二个技巧”是解排列、组合题的捷径，即:分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定序问题倍缩法；定位问题优先法；有序分配问题分步法；多元问题分类法；交叉问题集合法；至少(或至多)问题间接法；选排问题先取后排法；局部与整体问题排除法；复杂问题转化法.整体分类局部分步3.解答组合应用题的总体思路(1)

从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果是使用分类计数原理.(2)

整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏。同时步骤要独立，以保证分步的不重复。计算结果时用分步计数原理.(3)辩证地看待“元素”与“位置”.排列、组合问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，要视具体情况而定，有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好.题型一带有限条件的排列、组合问题题型分类例1、六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

(1)甲不站两端；

(2)甲、乙必须相邻；

(3)甲、乙不相邻；

(4)甲、乙之间间隔两人.(方法二)由于不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法，然后中间4人有种站法，根据分步计数原理，共有站法·=480种.解：(1)(方法一)要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有种站法，根据分步计数原理，共有站法·=480种.(2)(方法一)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步计数原理，共有·=240种站法.(方法三)若对甲没有限制条件，共有种站法，甲在两端，共有2种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有站法-2=480种.(2)甲、乙必须相邻；(3)(方法一)因为甲、乙不相邻，中间有隔挡，可用“插空法”.第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有种;第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空当(含两端)中，有种，故共有站法·=480种.(方法二)先把甲、乙以外的4个人作全排列，有种站法，再在5个空当中选出一个供甲、乙放入，有种站法，最后让甲、乙全排列,有种站法，共有站法··=240种.(3)甲、乙不相邻；(4)(方法一)先将甲、乙以外的4个人作全排列,有种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3种，故共有·3=144种站法.(方法二)也可用“间接法”，6个人全排列有种站法，由(2)知甲、乙相邻有=240种站法，∴不相邻的站法有-·=720-240=480种(4)甲、乙之间间隔两人.(方法二)先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大元素”与余下2人作全排列有种方法，最后对甲、乙进行排列，有种方法，故共有··=144种站法.探究提高带有限制条件的排列问题，一般都是对某个或某些元素或位置加以限制的问题，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类题通常从三种途径考虑：①以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素；②以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置；③先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列.解：(1)首先考虑特殊元素，1，2先排两端，有种，再让其他４个数在中间位作全排列，有种.由分步计数原理，共有·=48个数.变式：用1,2,3,4,5,6按下列要求可组成多少个没有重复数字的6位数.

(1)1，2排两端（即十万位和个位）；

(2)1不排十万位，2不排个位.(2)(方法一)1排十万位有种，2排个位有种,且１排十万位而2排个位有种，共可组成-2+=504个数.(方法二)以1的排法分为两类：①1排个位有种；②1排中间4个位置之一，而2不排个位有··种，共可组成+··＝504个数.变式：用1,2,3,4,5,6按下列要求可组成多少个没有重复数字的6位数

(2)1不排十万位，2不排个位.C解:

丙不入选的选法有=84（种）,所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84-35=49种.甲乙丙都不入选的选法有=35（种）.练习1.（2009·湖南理5）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）

A.85 B.56 C.49 D.28C解：恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空.从而共·=72种排法2.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）

A.36种 B.48种 C.72种 D.96种A解：小张和小赵选派一人参加有C21C21A33=24种方案，小张和小赵都参加有C32A22A22=12种方案，∴共有不同的选派方案24+12=36种.3.（2009·广东理7）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）

A.36种 B.12种 C.18种 D.48种336解：当每个台阶上各站1人时有A33C73=210种站法，当两个人站在同一个台阶上时有C32C71C61=126种站法，因此不同的站法种数有210+126=336（种）.4.（2009·浙江理16）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

（用数字作答）.（2）两人均在后排左右不相邻，共A122–A22A111=A112(种)；解∵前排中间3个座位不能坐，∴实际可坐的位置前排8个，后排12个.（1）两人一个前排，一个后排，方法数为

C81C121A22种；练习5.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？综上可知，不同排法种数为=346(种).（3）两人均在前排，又分两类：①两人一左一右，共C41C41A22种；②两人同左同右，有2(A42-A31A22)种.题型二排列组合中的分组问题例2、有6本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中1人一本，1人两本，1人三本；（3）平均分成三组，每组2本；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.解：(1)分三步：先选一本有种选法；再从余下的5本中选两本有种选法；最后余下的三本全选有种选法.由分步计数原理知，分配方式共有··=60种.(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）的基础上，还应考虑再分配问题，分配方式共有···=360种.（2）分给甲、乙、丙三人，其中1人一本，1人两本，1人三本；(3)先分三步，则应是··种方法，但是这里面出现了重复，不妨设六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF,记该种分法为(AB，CD，EF)，则该种方法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共种情况,（3）平均分成三组，每组2本；而且这种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有=15种（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.(4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方式·=··=90种.探究提高（1）平均分组问题应防止重复的情况，如{1，2}，{3，4}，{5，6}与{1，2}，{5，6}，{3，4}是同一分组。一般来说，km个不同元素分成k组，每组m个，则不同的分法有种.

··…·种,(2)不平均分组问题：一般来说，把n个不同元素分成k组，每组分别有m1，m2，…，mk互不相等，且m1+m2+…+mk=n，则有不同的分法为：例如，7本不同的书分成三堆，一堆3本的，两堆2本的，共有多少种分法？＝105种.如果m1，m2，…，mk中有且仅有i个相等，则不同的分法为:种.题型三以其他知识为背景的排列、组合问题例3、已知平面α∥平面β,在α内有4个不共线的点，在β内有6个不共线的点.

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