线代公式概念复习

线代公式概念复习行列式与它的转置行列式相等。互换行列式的两行，行列式变号。若行列式中有两行的对应元素相同，则此行列式为0用数k乘行列式某一行的全部元素，等于用数k乘该行列式。行列式中某行的所以元素的公因子可以提到行列式符号外面。某行元素全为零的行列式其值为零。行列式中若有两行元素成比例，则此行列式为零。若行列式D的某一行的元素都是两数之和，则D等于以下两个行列式之和。（如图所示）将行列式某一行的所有元素都乘以数k后加到另一行对应位置的元素上，行列式的值不变。行列式的计算：1.递推法例1

求行列式的值：

（1）的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。解

把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是另一项是上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n

–2

阶行列式，这个n

–2

阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系：

（2）移项，提取公因子β：类似地：（递推计算）直接计算若；否则，除以后移项：再一次用递推计算：∴，

当β≠α

（3）当β

=

α，从从而。由（3）式，若。∴

注

递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程.注1

仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式

（3）和三对角线型行列式

（4）有相同的递推关系式

（5）

（6）注意两个序列和的起始值相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有由（4）式，的每一行都能提出一个因子a

，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。前面算出，故

例2

计算n阶范德蒙行列式行列式解:即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积

2．拆元法例3：计算行列式解①×（x+a）

②×（x–a）

3．加边法例4

计算行列式分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法.解

4．数学归结法例5

计算行列式

解：猜测：证明（1）n=1,2,3

时，命题成立。假设n≤k

–1

时命题成立,考察n=k的情形：故命题对一切自然数n成立。

5.消去法求三对角线型行列式的值例6

求n阶三对角线型行列式的值：

（1）的构造是：主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0。解

用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去第一行的倍，于是第二行变为其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为类似地做下去，直到第n行减去第n

–1行的倍，则第n行变为最后所得的行列式为

（2）上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为

93）又主对角线下方的元全为0。故的值等于（3）中各数的连乘积，即。

注3

一般的三对角线型行列式

（4）也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。

6

乘以已知行列式例7

求行列式的值：称为循环行列式，各行自左到右均由循环排列而得，并使主对角线元全为解

设1的立方根为，即其中i是虚数单位，又右乘以行列式则

（1）用，得故（1）的行列式的第一列可由提出公因子，提后的元顺次为，类似地，（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子和于是因互不相等，帮它们所构成的凡德蒙行列式的值不为零，可以从上式的左右两边约去，得。

注4

在n阶的一般情形，设1的n次方根为则得行列式的值为这里的是由构成的n阶循环行列式：

7

利用线性代数方程组的解例8

求n阶行列式的值：

（1）的构造是：第i行的元顺次为又第n行的元顺次为。解

（1）的行列式与凡德蒙行列式

（2）的比值可以看成线性代数方程组

（3）的解。如能解出，乘以凡德蒙行列式（2），即是原行列式但方程组（3）又可以看成n次多项式方程

（4）（t是未知数，看作系数）有n个根用根与系数的关系，即得∴

8

递推方程组方法例9

求行列式的值：

（1）是n阶行列式（在右下角用（n）表示），其结构是：主对角线元全为x

；主对角线上方的元全为y

,

下方的元全为z

。解

从

（1）的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，…，第n

–1列减第n列，得

（2）上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是（x–y）乘一个n

–1阶行列式，这个n–

1阶行列式和（2）中的n阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为；展开的另一项是故递推式

（3）若z=y，则上式化为

（4）类似地有又故可对（4）式递推计算如下：上面得到原行列式当z=y时的值。下面讨论z≠y的情形。把（1）的行列式的y与z对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变。于是y和z对调后，的值不变，这时（3）式变为

（5）从（3）与（5）（递推方程组）消去，即（3）式乘以（x–z），（5）乘以（x–y），相减得∴

注5

当z=y时，行列式也可以用极限计算：又行列式当z=y时可以用余式定理来做。n阶行列式的展开定理：行列式D等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即D=ai1A1j+a2jA2j+……+anjAnj=k=1n阶行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。、范德蒙行列式及其证明：特殊矩阵：n阶单位矩阵：主对角线上的元素都是1，其他元素都是零，通常记为I（或E）对任意的n阶方阵，IA=AI=An阶对称矩阵：n阶方阵A的（i，j）元与（j，i）元相等，而当（i，j）元与（j，i）元相反是，则称A为反对称矩阵。矩阵的加法：只有同型矩阵才能相加，且同型矩阵之和还是同型矩阵。数与矩阵相乘：必须把数乘以矩阵A的每一个元素，这与行列式的倍乘性质是不同的矩阵的乘法：只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时，A与B的乘积AB才有意义。两个上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。矩阵的转置与对称矩阵：把矩阵A的行列互换，得到一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记做AT(或A转置矩阵的性质：AT21)证明对称矩阵：A=AT22）对于n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，则称矩阵A为可逆矩阵，并称矩阵B为A的逆矩阵，记为A-1，即B=A1）可逆矩阵及其逆矩阵是同阶矩阵，且定义式中A与B的地位是平等的，所以A也是B的逆矩阵B-12)单位阵的逆矩阵是其本身。3）若A是可逆矩阵，