初中数学九年级上册4 垂径定理

28.4垂径定理1、圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？共有多少条呢？2、如何证明两条弧相等？有哪几种方法？圆是轴对称图形。对称轴是直径所在的直线或者过圆心的每条直线。有无数条对称轴。两条弧重合是等弧。同圆或者等圆中相等的圆心角所对的弧相等。同圆或者等圆中相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等。一复习巩固赵州桥是古代劳动人民智慧的结晶，开创了中国桥梁建造的崭新局面。二情景导入短视频问题赵州桥的半径是多少？二情景导入引出问题它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？37.4m7.2m1折纸，观察猜想：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是直径，CD⊥AB，垂足为E。

你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么呢？线段：

AE=BE⌒⌒⌒⌒弧：AC=BC，AD=BD三新授（一）折纸观察猜想·OABCE2探究，得出真命题；

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．D你能运用几何语言证明这个命题吗？三新授（二）探究垂径定理证明命题：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论BCD·OAE已知：CD是直径，且CD⊥AB。

⌒⌒⌒⌒求证：AE=BE，AC=BC，AD=BD。闯关练兵（1）证明：连接OA、OB在△OAB中，∵OA=OB，CD⊥AB∴AE=BE，∠AOE=∠BOE⌒⌒∴AD=BD又∵∠AOC=

180°-∠AOE

∠BOC=

180°-∠BOE⌒⌒∴AC=BC三新授（三）证明垂径定理命题：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。”

是真命题吗三新授（四）探究垂径定理推论三新授（五）证明垂径定理的推论证明命题：“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。”·OABCDE已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE.求证：CD⊥AB，且AD=BD,⌒⌒⌒⌒

AC=BC证明：连接OA，OB，则OA=OB∵AE=BE∴CD⊥AB，∠AOD=∠BOD.⌒⌒

⌒⌒

∴AD=BD,AC=BC题设结论闯关练兵（2）第1题第2题第3题第5题第6题第4题√√√√√×垂径定理五大要素（1）直径（过圆心的线段）（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧三新授（六）垂径定理的拓展知二推三

命题：平分劣弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的劣弧。求证：CD⊥AB,

已知：CD是直径，AE=BE，⌒⌒AC=BC。⌒⌒AD=BD。BCD·OAE闯关练兵（3）证明：连接OA、OB

∴OA=OB⌒⌒

∵

AD=BD∴∠AOE=∠BOE∴AE=BE∴CD⊥AB又∵∠AOC=

180°-∠AOE∠BOC=

180°-∠BOE

⌒⌒∴AC=BC三新授（七）知二推三实例四

解决问题：赵州桥拱半径如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m37.4m7.2m解得R≈27.9（m）ODABCR在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4m，CD=7.2m，OD=OC－CD=R－7.2在图中伟大的创举---赵州桥中华民族的骄傲五小结

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。2、垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。3、垂径定理的拓展：

（1）直径（过圆心的线段）知二推三（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的