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文档简介

广西钦州市第三中学2024年高三第一次模拟考试数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线,为坐标原点,、为其左、右焦点,点在的渐近线上,,且,则该双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.2.已知复数为虚数单位),则z的虚部为()A.2 B. C.4 D.3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸4.已知随机变量服从正态分布,且,则()A. B. C. D.5.已知集合,,则中元素的个数为()A.3 B.2 C.1 D.06.已知集合,,若,则的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.47.设集合,,若,则的取值范围是()A. B. C. D.8.设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是()A. B.C. D.9.设i是虚数单位,若复数是纯虚数,则a的值为()A. B.3 C.1 D.10.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为A. B.C. D.11.如图,正方体中,,,,分别为棱、、、的中点,则下列各直线中,不与平面平行的是()A.直线 B.直线 C.直线 D.直线12.的展开式中有理项有()A.项 B.项 C.项 D.项二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列的前项和为,且满足,则______14.在的二项展开式中,所有项的系数之和为1024,则展开式常数项的值等于_______.15.设,则“”是“”的__________条件.16.已知函数若关于的不等式的解集为,则实数的所有可能值之和为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,,证明:.18.(12分)已知不等式的解集为.(1)求实数的值;(2)已知存在实数使得恒成立,求实数的最大值.19.(12分)为了拓展城市的旅游业,实现不同市区间的物资交流,政府决定在市与市之间建一条直达公路,中间设有至少8个的偶数个十字路口,记为,现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树,且种植每种树木的概率均为.(1)现征求两市居民的种植意见,看看哪一种植物更受欢迎,得到的数据如下所示:A市居民B市居民喜欢杨树300200喜欢木棉树250250是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性;(2)若从所有的路口中随机抽取4个路口,恰有个路口种植杨树,求的分布列以及数学期望;(3)在所有的路口种植完成后,选取3个种植同一种树的路口,记总的选取方法数为,求证:.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820.(12分)设抛物线的焦点为,准线为,为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦,已知以为直径的圆经过点.(1)求的值及该圆的方程;(2)设为上任意一点,过点作的切线,切点为,证明:.21.(12分)已知△ABC三内角A、B、C所对边的长分别为a,b,c,且3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C.(1)求cosC的值;(2)若a=3,c,求△ABC的面积.22.(10分)设椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线为,是上的两个动点,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)证明:当取最小值时,与共线.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据,先确定出的长度,然后利用双曲线定义将转化为的关系式,化简后可得到的值,即可求渐近线方程.【详解】如图所示:因为,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以渐近线方程为.故选:D.【点睛】本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程,难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.2、A【解析】

对复数进行乘法运算,并计算得到,从而得到虚部为2.【详解】因为,所以z的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念,计算过程要注意.3、B【解析】试题分析:根据题意可得平地降雨量,故选B.考点:1.实际应用问题;2.圆台的体积.4、C【解析】

根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量服从正态分布,则.5、C【解析】

集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立方程组求得方程组解的个数,即为交集中元素的个数.【详解】由题可知:集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立与,可得,整理得,即,当时,,不满足题意;故方程组有唯一的解.故.故选:C.【点睛】本题考查集合交集的求解,涉及圆和直线的位置关系的判断,属基础题.6、B【解析】

解出,分别代入选项中的值进行验证.【详解】解:,.当时,,此时不成立.当时,,此时成立,符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.7、C【解析】

由得出,利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.【详解】,且,,.因此,实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数,考查计算能力,属于基础题.8、D【解析】构造函数,令,则,由可得,则是区间上的单调递减函数,且,当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是.本题选择D选项.点睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.9、D【解析】

整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【详解】由题,,因为纯虚数,所以,则,故选:D【点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.10、D【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,又,则故选D.点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若()或(),数列是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列中,且(),则数列是等比数列.11、C【解析】

充分利用正方体的几何特征,利用线面平行的判定定理,根据判断A的正误.根据,判断B的正误.根据与相交,判断C的正误.根据,判断D的正误.【详解】在正方体中,因为,所以平面,故A正确.因为,所以,所以平面故B正确.因为,所以平面,故D正确.因为与相交,所以与平面相交,故C错误.故选:C【点睛】本题主要考查正方体的几何特征,线面平行的判定定理,还考查了推理论证的能力,属中档题.12、B【解析】

由二项展开式定理求出通项,求出的指数为整数时的个数,即可求解.【详解】,,当,,,时,为有理项,共项.故选:B.【点睛】本题考查二项展开式项的特征,熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

对题目所给等式进行赋值,由此求得的表达式,判断出数列是等比数列,由此求得的值.【详解】解:,可得时,,时,,又,两式相减可得,即,上式对也成立,可得数列是首项为1,公比为的等比数列,可得.【点睛】本小题主要考查已知求,考查等比数列前项和公式,属于中档题.14、【解析】

利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式,求得展开式中的常数项.【详解】因为的二项展开式中,所有项的系数之和为4n=1024,n=5,故的展开式的通项公式为Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常数项为T5=C·3=15,故填15.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于中档题.15、充分必要【解析】

根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系.【详解】当时,有,故“”是“”的充分条件.当时,有,故“”是“”的必要条件.故“”是“”的充分必要条件,故答案为:充分必要.【点睛】本题考查充分必要条件的判断,可利用定义来判断,也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断,还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断,本题属于容易题.16、【解析】

由分段函数可得不满足题意;时,,可得,即有,解方程可得,4,结合指数函数的图象和二次函数的图象即可得到所求和.【详解】解:由函数,可得的增区间为,,时,,,时,,当关于的不等式的解集为,,可得不成立,时,时,不成立;,即为,可得,即有,显然,4成立;由和的图象可得在仅有两个交点.综上可得的所有值的和为1.故答案为:1.【点睛】本题考查分段函数的图象和性质,考查不等式的解法,注意运用分类讨论思想方法,考查化简运算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)见解析【解析】

(1)求得的导函数,对分成两种情况,讨论的单调性.(2)由(1)判断出的取值范围,根据韦达定理求得的关系式,利用差比较法,计算,通过构造函数,利用导数证得,由此证得,进而证得不等式成立.【详解】(1).当时,,此时在上单调递减;当时,由解得或,∵是增函数,∴此时在和单调递减,在单调递增.(2)由(1)知.,,,不妨设,∴,,令,∴,∴在上是减函数,,∴,即.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.18、(1);(2)4【解析】

(1)分类讨论,求解x的范围,取并集,得到绝对值不等式的解集,即得解;(2)转化原不等式为:,利用均值不等式即得解.【详解】(1)当时不等式可化为当时,不等式可化为;当时,不等式可化为;综上不等式的解集为.(2)由(1)有,,,,即而当且仅当:,即,即时等号成立∴,综上实数最大值为4.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.19、(1)没有(2)分布列见解析,(3)证明见解析【解析】

(1)根据公式计算卡方值,再对应卡值表判断..(2)根据题意,随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,分别求得概率,写出分布列,根据期望公式求值.(3)因为至少8个的偶数个十字路口,所以,即.要证,即证,根据组合数公式,即证;易知有.成立.设个路口中有个路口种植杨树,下面分类讨论①当时,由论证.②当时,由论证.③当时,,设,再论证当时,取得最小值即可.【详解】(1)本次实验中,,故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性.(2)依题意,的可能取值为0,1,2,3,4,故,,01234故.(3)∵,∴.要证,即证;首先证明:对任意,有.证明:因为,所以.设个路口中有个路口种植杨树,①当时,,因为,所以,于是.②当时,,同上可得③当时,,设,当时,,显然,当即时,,当即时,,即;,因此,即.综上,,即.【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望、排列组合,还考查运算求解能力以及必然与或然思想,属于难题.20、(1),圆的方程为:.(2)答案见解析【解析】

(1)根据题意,可知点的坐标为,即可求出的值,即可求出该圆的方程;(2)由题易知,直线的斜率存在且不为0,设的方程为,与抛物线联立方程组,根据,求得,化简解得,

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