2023年达州市九年级数学中考一模试题卷附答案解析

年达州市九年级数学中考一模试题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.的倒数的绝对值是()A.2023 B. C. D.2.下面的几何体中，主视图不是矩形的是（）A. B. C. D.3.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，将数用科学记数法表示为()A. B. C. D.4.下列运算正确的是（）Ax2+x3=x5B.2x2-x2=1C.x2·x3=x6D.x6÷x3=x35.如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（）A6 B.8 C.10 D.126.若x＝-2是关于x一元二次方程x2＋ax-a2＝0的一个根，则a的值为（）A.1或-4B.-1或-4C.-1或4D.1或47.为了某小区居民的用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量（吨）4569户数3421则关于这10户家庭约用水量，下列说法错误的是（）A.中位数是5吨 B.极差是3吨 C.平均数是5.3吨 D.众数是5吨8.抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为A.b=2，c=﹣6 B.b=2，c=0 C.b=﹣6，c=8 D.b=﹣6，c=29.如图，已知点在函数位于第二象限的图像上，点在函数位于第一象限的图像上，点在轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为()A.1012 B. C. D.10.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（的实数）；其中正确的结论有()A.5个 B.4个 C.3个 D.2个二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，把最后答案直接填写在答题卡相应的横线上）11.已知a2+3a=1，则代数式2a2+6a﹣1的值为_____．12.在一不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的4个红色小球和绿色小球若干个，若从袋中随机摸出一个小球是红色的概率为，则袋子里装有_____个绿色小球．13.如图，在中，，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则的周长为__________．14.如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_____．15.如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN=30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ=QC．其中正确的结论是___．（把所有正确的结论的序号都填上）三、解答题（本大题共10小题，满分90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.（1）计算：．（2）已知方程有实数根，求的取值范围．17.我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表．组别成绩组中值频数第一组90≤x＜100954第二组80≤x＜9085m第三组70≤x＜8075n第四组60≤x＜706521根据图表信息，回答下列问题：（1）参加活动选拔的学生共有人；表中m=，n=；（2）若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩；（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，由于这4名学生的体育综合水平相差不大，现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中A和B的概率．18.如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1：，且AB=26米．（1）求坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．学校计划将斜坡AB改造成AF(如图所示)，那么BF至少是多少米？(结果精确到1米)(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33)．19.在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一个格点，（1）求出的边长，并判断的形状；（2）作出关于点的中心对称图形；作出绕点按顺时针方向旋转后得到的图形；（3）可能由怎样变换得到?_______________（写出你认为正确的一种即可）．20.如图，在梯形中，，点E在上，且，（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，，①求的度数；②当时，求四边形的面积．（结果精确到）21.某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？22.如图，为的内接三角形，P为延长线上一点，，为的直径，过C作交于E，交于F，交于G．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）求证：．23.使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点．已知函数(m为常数)．（1）当=0时，求该函数的零点；（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．24.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．25.我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.的倒数的绝对值是()A.2023 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出的倒数，再求绝对值即可．【详解】解：的倒数是，的绝对值是，即的倒数的绝对值是．故选：A．【点睛】本题考查了倒数与绝对值，掌握相关的定义是解答本题的关键．2.下面的几何体中，主视图不是矩形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中：A为圆柱体，它的主视图应该为矩形；B为长方体，它的主视图应该为矩形；C为圆台，它的主视图应该为梯形；D为三棱柱，它的主视图应该为矩形．故选C．3.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，将数用科学记数法表示为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4.下列运算正确的是（）A.x2+x3=x5B.2x2-x2=1C.x2·x3=x6D.x6÷x3=x3【答案】D【解析】【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则运算法则逐一判断即可．【详解】解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，故该选项错误；B、2x2-x2=x2≠1，故该选项错误；C、，故该选项错误；D、x6÷x3=x3，故该选项正确.故选D.【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．5.如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】【分析】先根据三角形三边关系，可求第三边大于2小于10，原三角形的周长大于12小于20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于6而小于10，看哪个符合就可以了．【详解】设三角形的三边分别是a、b、c，令a=4，b=6，则根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得2＜c＜10，∴12＜三角形的周长＜20．∴根据三角形中位线定理，得6＜中点三角形周长＜10．∴所给四个选项中只有8符合．故选B．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周长范围是解题的关键．6.若x＝-2是关于x的一元二次方程x2＋ax-a2＝0的一个根，则a的值为（）A.1或-4B.-1或-4C.-1或4D.1或4【答案】A【解析】【详解】解：∵x=-2是关于x的一元二次方程的一个根，

∴（-2）2+a×（-2）-a2=0，即a2+3a-4=0，

整理，得（a+4）（a-1）=0，

解得a1=-4，a2=1．

即a的值是1或-4．

故选：A．【点睛】一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．7.为了某小区居民的用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量（吨）4569户数3421则关于这10户家庭的约用水量，下列说法错误的是（）A.中位数是5吨 B.极差是3吨 C.平均数是5.3吨 D.众数是5吨【答案】B【解析】【详解】解∵这10个数据是：4，4，4，5，5，5，5，6，6，9；∴中位数是：（5+5）÷2=5吨，故A正确；∴众数是：5吨，故D正确；∴极差是：9﹣4=5吨，故B错误；∴平均数是：（3×4+4×5+2×6+9）÷10=5.3吨，故C正确．故选B．8.抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为A.b=2，c=﹣6 B.b=2，c=0 C.b=﹣6，c=8 D.b=﹣6，c=2【答案】B【解析】【详解】解∶函数的顶点坐标为（1，﹣4），∵函数的图象由的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，即平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．∴平移前的抛物线为，即y=x2+2x．∴b=2，c=0．故选B．9.如图，已知点在函数位于第二象限的图像上，点在函数位于第一象限的图像上，点在轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为()A.1012 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可．【详解】解：是正方形，与轴的夹角为，的解析式为，联立方程组得：，解得，．点的坐标是：，，；同理可得：正方形的边长；依此类推，正方形的边长是为．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．10.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（的实数）；其中正确的结论有()A.5个 B.4个 C.3个 D.2个【答案】B【解析】【分析】由抛物线的图象可判断、、的符号，可判断①；由和时对应的函数值可判断②、③；由对称轴可得分别代入，借助函数图象可判断④；可以比较当和时的函数值的大小可判断⑤，可求得答案．【详解】解：图象开口向下，与轴的交点在轴的上方，，，对称轴为，，，，故①错误；当时，由图可知，，，故②正确；抛物线与的一个交点在和0之间，另一个交点在2和3之间，当时，，，故③正确；，，且，，即，，故④正确；抛物线开口向下，当时，有最大值，，

，，故⑤正确；综上可知正确的有4个，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握中各系数与其图象的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，把最后答案直接填写在答题卡相应的横线上）11.已知a2+3a=1，则代数式2a2+6a﹣1的值为_____．【答案】1【解析】【详解】解：∵a2+3a=1，∴原式=2（a2+3a）﹣1=2﹣1=1，故答案为1．点睛：此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12.在一不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的4个红色小球和绿色小球若干个，若从袋中随机摸出一个小球是红色的概率为，则袋子里装有_____个绿色小球．【答案】20【解析】【详解】设袋子里有个绿色小球，根据概率公式建立方程，解方程即可得．【解答】解：设袋子里有个绿色小球，由题意得：，解得，经检验，是所列方程的解，则袋子里装有20个绿色小球，故答案为：20．【点睛】本题考查了概率、分式方程，熟练掌握概率公式是解题关键．13.如图，在中，，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则的周长为__________．【答案】2+2【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，∠B=∠BAE=30°，得到∠CAE=90°，可得AE+EC=BC=2，求得AE、EC的长，再求得AC的长，即可得到结论．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∠B=∠C=30°，∴BE=AE，∠B=∠BAE=30°，∴∠CAE=180°-∠B-∠BAE-∠C=90°，在Rt△CAE中，∠C=30°，∴EC=2AE，∴AE+EC=BE+EC=BC=2，即3AE=2，∴AE=，EC=，∴AC=，∴∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，故答案为：2+2．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．14.如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_____．【答案】.【解析】【分析】由AE＝3EC，△ADE的面积为3，可知△ADC的面积为4，再根据点D为OB的中点，得到△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，即梯形BOCA的面积为8，设A(x,)，从而表示出梯形BOCA的面积关于k的等式，求解即可.【详解】如图，连接DC，∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1.∴△ADC的面积为4.∵点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，∴设A点坐标为(x,).∵OC＝2AB，∴OC=2x.∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8.∴梯形BOCA的面积=，解得.【点睛】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线的性质.15.如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN=30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ=QC．其中正确的结论是___．（把所有正确的结论的序号都填上）【答案】①②③【解析】【详解】解：如图，连接OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，∵△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，∴∠AOD=∠COF=30°．∴∠ACD=∠AOD=15°，∠FDC=∠COF=15°．∴∠DQN=∠QCD+∠QDC=15°+15°=30°．所以①正确．同理可得∠AMN=30°．∵△DEF为等边三角形，∴DE=DF．∴弧DE=弧DF．∴弧AE+弧AD=弧DC+弧CF．∵弧AD=弧CF，∴弧AE=弧DC．∴∠ADE=∠DAC．∴ND=NA．在△DNQ和△ANM中，∵∠DQN=∠AMN，∠DNQ=∠ANM，DN=AN．∴△DNQ≌△ANM（AAS）．所以②正确．∵∠ACD=15°，∠FDC=15°，∴QD=QC．∵ND=NA，∴ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC，即△DNQ的周长等于AC的长．所以③正确．∵△DEF为等边三角形，∴∠NDQ=60°．∵∠DQN=30°，∴∠DNQ=90°．∴QD＞NQ．∵QD=QC，∴QC＞NQ．所以④错误．综上所述，正确结论是①②③．故答案为：①②③三、解答题（本大题共10小题，满分90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.（1）计算：．（2）已知方程有实数根，求的取值范围．【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】（1）分别计算零指数幂，化简绝对值，计算三角函数值和负指数幂，再算加减法；（2）方程有实数根，可以分为一元一次方程和一元二次方程．一元一次方程始终是有实数根，一元二次方程可以用判断．【详解】解：（1）；（2）当，即时，方程变为，有实数根；当，即时，原方程要有实数根，则，即，解得，则的范围是且．综上所述，的取值范围为．【点睛】此题考查了实数的混合运算和一元二次方程的根的判别式，熟练记忆三角函数公式和根的判别式是解本题的关键．17.我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表．组别成绩组中值频数第一组90≤x＜100954第二组80≤x＜9085m第三组70≤x＜8075n第四组60≤x＜706521根据图表信息，回答下列问题：（1）参加活动选拔的学生共有人；表中m=，n=；（2）若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩；（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，由于这4名学生的体育综合水平相差不大，现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中A和B的概率．【答案】解：（1）50；10；15；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据频数分布表可知第一组有4人，根据扇形统计图可知第一组所占百分比为8%，由此得出参加活动选拔学生总数，再用学生总数乘以第三组所占百分比求出n，用学生总数减去第一、三、四组的频数之和所得的差即为m的值；（2）利用组中值求出总数即可得出平均数；（3）根据列表法求出所有可能即可得出恰好选中A和B的概率．【详解】解：（1）∵第一组有4人，所占百分比为8%，∴学生总数为：4÷8%=50；∴n=50×30%=15，m=50-4-15-21=10．（2）；（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，现随机挑选其中两名学生代表学校参赛，所有可能的结果如下表：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由上表可知，总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．恰好选中A和B的结果有2种，其概率为=．18.如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1：，且AB=26米．（1）求坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．学校计划将斜坡AB改造成AF(如图所示)，那么BF至少是多少米？(结果精确到1米)(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33)．【答案】（1）米；（2）BF至少是8米【解析】【分析】(1)根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程即可；(2)过点F作FG⊥AD于G，根据正切的定义可求得AG，结合图形计算，得到答案．【小问1详解】解：设AE=5x米，∵斜坡AB的坡比为，∴BE=12x米，由勾股定理得，AE2+BE2=AB2，即(5x)2+(12x)2=262，解得，x=2或x=-2(舍去)，∴BE=12x=24(米)；【小问2详解】解：如图：过点F作FG⊥AD于G，则四边形FGEB为矩形，∴FG=BE=24米，BF=GE，在Rt△AFG中，∠FAG=53°，∴(米)，由(1)可知，AE=10米，∴BF=GE=AG﹣AE≈8(米)，答：BF至少是8米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义及作辅助线是解决本题的关键．19.在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一个格点，（1）求出的边长，并判断的形状；（2）作出关于点的中心对称图形；作出绕点按顺时针方向旋转后得到的图形；（3）可能由怎样变换得到?_______________（写出你认为正确的一种即可）．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】（1）求出各边的长，用勾股定理即可得出答案．（2）找出关于点的中心对称点，顺次连接即可；找出绕点按顺时针方向旋转后对应点，顺次连接即可；（3）直接观察图形即可得出答案．【小问1详解】解：，，，，是直角三角形．【小问2详解】如图，即为所求；【小问3详解】先将绕点按顺时针方向旋转，再将所得图形向右平移6个单位即得到（答案不唯一）．【点睛】本题考查了旋转变换的作图问题，难度不大，注意掌握基本作图的方法．20.如图，在梯形中，，点E在上，且，（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，，①求的度数；②当时，求四边形的面积．（结果精确到）【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析（2）①；②【分析】（1）根据平行四边形的判定定理可直接得出结论；（2）①根据平行四边形的性质和已知条件证明是等边三角形，可得，再根据平行线的性质得出答案；②作于点F，可得，然后在中，利用勾股定理求出，然后计算即可．【小问1详解】解：四边形是平行四边形，理由：∵，，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：①∵四边形是平行四边形，∴，，∵，，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴；②∵，∴，作于点F，由①知是等边三角形，∴，在中，根据勾股定理得：，∴四边形的面积．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，能够熟练应用所学知识进行推理计算是解题的关键．21.某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？【答案】（1）y=-2x+60（10≤x≤18）；（2）销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．（3）15元．【解析】【分析】（1）设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；（3）先把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得，解得，∴y与x之间的函数关系式y=-2x+60（10≤x≤18）；（2）W=（x-10）（-2x+60）=-2x2+80x-600，对称轴x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，∵10≤x≤18，∴当x=18时，W最大，最大为192．即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．（3）由150=-2x2+80x-600，解得x1=15，x2=25（不合题意，舍去）答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．22.如图，为的内接三角形，P为延长线上一点，，为的直径，过C作交于E，交于F，交于G．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）求证：．【答案】（1）直线与相切，理由见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接，如图，由直径所对的圆周角是直角得到，则，由圆周角定理推出，进而得到，由此即可得到结论；（2）连接，如图所示，由垂径定理得，则，证明，即可证明．【小问1详解】解：直线与相切，理由如下：连接，如图，∵为的直径，∴，∴．∵，∴．∴，∴，∴，∵为的半径，∴直线与相切；【小问2详解】证明：连接，如图所示，∵为的直径，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．23.使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点．已知函数(m为常数)．（1）当=0时，求该函数的零点；（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．【答案】（1）当=0时，该函数的零点为和．（2）见解析,（3）AM的解析式为．【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式【详解】（1）当=0时，该函数的零点为和．（2）令y=0，得△=∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B关于直线的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线的交点就是满足条件的M点．易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）．连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’（）设直线AB’的解析式为，则，解得∴直线AB’的解析式为，即AM的解析式为．24.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=2x2﹣2；点B的坐标为（1，0）；（2）满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，），（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）；（3）不存在满足条件的点Q，理由见解析．【分析】（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为﹣2，即b=0，c=﹣2，再将A（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标．（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标．（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分两种情况讨论：①P（m，）；②P（m，2m﹣2）．都根据BD=PE，DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），∴b=0，c=﹣2．∵y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），∴0=a+0﹣2，a=2．∴抛物线的解析式为y=2x2﹣2．当y=0时，2x2﹣2=0，解得x=±1．∴点B的坐标为（1，0）．（2）设P（m，n），∵∠PDB=∠BOC=90°，∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：①若△OCB∽△DBP，则，即，解得．由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，∴此时点P坐标为（m，）或（m，）．②若△OCB∽△DPB，则，即，解得n=2m﹣2．由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）．综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，），（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）．（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．如图，过点Q作QE⊥l于点E，∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，∴∠DBP=∠QPE．在△DBP与△EPQ中，∵，∴△DBP≌△EPQ，∴BD=PE，DP=EQ．分两种情况：①当P（m，）时，∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），∴，解得或（均不合题意舍去）．②当P（m，2m﹣2）时，∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），∴，解得或（均不合题意舍去）．综上所述，不存在满足条件点Q．【点睛】二次函数综合题，曲线上点的坐标理性认识各式的关系，全等、相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，反证法的应用，分类思想的应用．25.我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中