考研数学公式高数

高等数学公式

导数公式:

(tgxY=sec2x(arcsinx)f=/

Vl-x2

(ctgxY=-esc2x

(arccosx)=——>

(secx)'=secx•火x

Vi-x2

(escx)z=一escx•etgx

(aretgx)=-~~Q

(axy=ax\na1+x

(log“x)'=—-(arcctgx)"=一1;

xma1+九

基本积分表：

^tgxdx=-ln|cosx|+Cj--=[sec2xdx=tgx+C

JcosxJ

^ctgxdx=ln|sinx|+C

rdxr2i-

——--=escxdx--etgx+C

jsecxdx=ln|secx+次+CJsinx」

|secx-tgxdx=secx+C

JCSCAZZT=ln|cscx-c^x|+C

[escx-ctgxdx=-escx+C

\axdx=——+C

JIna

^shxdx=chx4-C

^chxdx=shx+C

=ln(x+Jx?±a2)+C

7Cn

22

Jsin"xdx=jcosnxdx=

00

[yla2-x2dx=—yla2-x2+—arcsin—4-C

J22a

三角函数的有理式积分：

.2u1—〃之X2du

sinx=----彳，cosx=----r〃二四5’dx=

1+〃1+〃l+w2

一些初等函数:两个重要极限:

双曲正弦：s/u-----------lim-1

2J。x

X上一Xi

双曲余弦：虫二幺-hm(l+-r=^=2.718281828459045.

228x

双曲正切：/尤二在二1-e'

chx<?'+e'

arshx=ln(x+Jx，+1)

archx—±ln(j：+Vx~—1)

i1.\+x

arthx——m-----

21-x

三角函数公式：

•诱导公式：

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

1800-asina-cosa-tga-ctga

•和差角公式：・和差化积公式：

sin(;7±/?)=sin/7cos^±cosczsin0sina+sin/?=2sincos—~—

cos(cr±j3)=coscrcossinorsinJ3

.ar(x+/fJ2.a-pf2

t疗&sm6r-smp=2cos-----sin......-

tg(a±0);粤3二22

l+tgatg/3a+Ba-B

,上小ctga-ctg/3+1cosa+cos£=2coscos

cfg(a±0=—2-----叱—N2

ctg/3+ctga.+/3.a-p

cosa-cosp=2sm-a---sm-------

22

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos26r-l=l-2sin2a-cos2a-sin2asin3a=3sina-4sin'a

Cfg20-1cos3a=4cos3a-3cosa

ctg2a=

2ctga姆”登

2fga1-3%2a

tg2a=

1一次力

•半角公式:

"cosa

sin2cos—=±

2

aa,1-cosa1-cosrz_sinaa.…1+scosa1+cosasina

tg2=±\T7^=

sina1+cosasina1-cosa

ab

•正弦定理:=2R・余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC

sinAsin8sinC

_JI71

•反三角函数性质：arcsinx=——arccosxarctgx=--arcctgx

2

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:

(—严产

k=Q

5+…+『人+...+*>:+3”+..“.)

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：/3)-/⑷=/'G)3-a)

柯西中值定理:妈二皿=/舞

F(b)-F(a)尸©

当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds-，1+)/2此其中了=tga

Na

平均曲率灰.Aa:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。

Av

△ada

M点的曲率：K=lim

As、~ds

直线：K=0;

半径为a的圆：K=-.

a

定积分的近似计算:

矩形法：]7⑴=上上(y°+%+••,+y„_i)

梯形法:]/(%)=—^―g(%+y”)+M+…+>\-i]

a

抛物线法:]7(幻=与q[(%+打)+2(%+以+…+尤.2)+4(y+乂+…+y”T)]

J3/1

定积分应用相关公式:

功：W^Fs

水压力：F=p-A

引力：F=k膂,k为引力系数

r

函数的平均值5

法卜⑴波

均方根:

多元函数微分法及应用

人随八j也』、也［1加j,加，，du.

全微分：dz-zr-dx+z-dydu-z-dx+—~dy+-dz

dxdy*axdy"az

全微分的近似计算：&=改=fx（x,y）Ax+f\.（x,y）A.y

多元复合函数的求导法：

次3u法加

dz—+

~dt~3u3zHvdt

_包du及dv

Z=f[u(xy\v(x,y)]

7dudxdvdx

当"二〃(x,y),v=v(x,y)时，

,du.3w.^^

du=--ax+--aydv=dx+dy

dxdy'oxdy

隐函数的求导公式:

dy__工d2yH：色（一4）+色（_区）.电

隐函数F（冗y）=0,=

下,2

dxdx世FvdyFydx

虫__dz_

隐函数产(&y,z)=O,-%-,

5xF:力Fz

在

一£

F(x,y,u,v)=Oa(F,G)加

隐函数方程组:

丝G

G(x,y,w#)=Oa(〃,K)

加

电」a(F,G)3v__J_。尸,G)

dxJd(x，u)3A-J3(w,.r)

包__1OF。)3v__j_H(RG)

JH(yj)力J>)

多元函数的极值及其求法：

町式与，比）=/丫（/，%）=0，令：九（凡,先）二4&（々,%）=氏&（%,%）二C

AC一辟＞0时不＜。右而葬色

[A＞0,（与,九）为极小值

则/AC-82Vo时，无极值

4。-82=0时，不确定

常数项级数：

1n

等比数列：1+q+/H---卜q"'=.....-

i—q

等差数夕%1+2+3+…

2

调和级数：1+1+1+…+工是发散的

23n

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法-一根植审敛法（柯西判别法）：

pvl时，级数收敛

设：p二lim值,则《『＞1时，级数发散

〃一＞8

0=1时，不确定

2、比值审敛法：

[pvl时,级数收敛

设：/=lim%-,贝时，级数发散

〃T8U,

[夕=1时，不确定

3、定义法：

s“=/+&+…+%;lims“存在，则收敛；否则发散。

/r—

交错级数〃]-“2+%—%+…（或—"1+〃2-“3+…此＞0）的审敛法莱布尼兹定理:

f＞%+i

如果交错级数满足]二0，那么级数收敛且其和,"修，其余项〃的绝对值同加加。

绝对收敛与条件收敛:

(1)M|+u2H---\-Un+…，其中以“为任意实数；

⑵同+蚓+同+…+履+…

如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果(2)发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数:发散，而收敛;

级数：£」收敛;

n

P级数wjP<1时发散

p>1时收敛

寨级数:

2]/国<1时，收敛于-^—

1+X+x~++…+x”+…(1-X

时，发散

对于级数(3)即+4工+。2/+…+%x"+…，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

l\x\<R时收敛

数轴上都收敛，则必存在凡使时发散，其中R称为收敛半径。

\忖=/?时不定

//?HO时，R=L

求收敛半径的方法：设lim3=/7,其中%，4+1是(3)的系数，则(°=0时，R=+oo

«->0°a\

“\p—+°°口寸，/?=0

函数展开成幕级数:

函数展开成泰勒级数：f(x)=〃Xo)(x—x0)+£&Q(x-Xo)2+…+U42(x—x0)"+…

2!n!

/•(«+1)/trx

余项：Rn=1一叵2。一/严JQ)可以展开成泰勒级数的充要条件是：HmR〃=0

(〃+1)!”T8

%=0时即为麦克劳林公式：/(x)=/(o)+/(o)x+£®/+…+/222炉+…

2!〃！

一些函数展开成幕级数：

八1m(m-l)加。篦-1)・・•(机一〃+1)〃/1八

(l+x)w=l+mx+------x2+•••+----------------x+(-l<x<l)

2!n!

dJ_/-1

=,,

sinxx-------------1--------------••4-(-1)-------1■…(­°°<x<4-0°)

3!5!(2n-l)!

欧拉公式:

eix+-e-ix

cosx=-----------

2

elx=cosx+zsinx或«

,eix-e-ix

sinx=-----------

2

三角级数:

8Q8

/(0=4+EA“sin(〃0+外)=羊+Z(%cosnx+hnsin〃x)

n=lN7：=1

其中，UQ—CIAQ9cin—Ansin%,bn=Ancos(pn»cot-x(>

正交性：1,5汨工305抬抽2%,(：052%—-5由〃工,(：05〃犬-・任意两个不同项的乘积在[-万/]

上的积分=0。

傅立叶级数：

f(x)港+Z(a“cos〃x+asin〃x>周期=2〃

〃=1

1Jt

(x)cosnxdx(〃=0,1,2…)

其中-n

1兀

bn=—j/(x)sin〃xdx(〃=1,2,3・・•)

一元

万之

I11,111^-(相加)

l+r+—7+…=1+尹+三+下+--

3252T6

2

111n~.111

齐+不+0+”.4---=---(相减)

24级十三一不■12

2冗

正弦级数：a”=0,bn=—^f(x)sinnxdxn=1,2,3…/（X）=Eb“sinzu是奇函数

九o

a_21

余弦级数：…,/0）=与+2。“cos必是偶函数

un——Ij)cosnxcixn=0,1,2…

乃o

周期为2/的周期函数的傅立叶级数:

'miX.,717tX廿口

/r(zx)=d"+Z(z%cos丁+2sin丁)x，周期=2/

2〃=iII

(〃=0,l,2…)

其中＜

5=1,2,3…)

微分方程的相关概念：

--阶微分方程：y'=/(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

可.分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=/(x)dx的形式，解法：

[g(y)dy=J/(x)dx得：G(y)=E(x)+C称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分方程可以写成电=/(x,y)=9(x,y),即写成上的函数，解法：

dxx

设“=上，则虫=〃+x在，〃+'=*),.•.1=du分离变量,积分后将工代替”,

xdxdxdxx(p(u)-ux

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

1、•阶线性微分方程:@+P(x)y=Q(x)

dx

/当。(x)=0时,为齐次方程，y=Ce

、当。(x)HO时，为非齐次方程，y=(jQ(xM")%x+C)e乎

2、贝努力方程:电+P(x)y=Q(x)y",(〃*0,1)

ax

全微分方程：

如果尸(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中:2=P(x,y),g=Q(x,y)

oxdy

”(x,y)=。应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

d2y/(x)三o时为齐次

++Q(x)y=/(x)，，

dx2〃x)wo时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)),+pyr+qy=0，其中p,4为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程：(△)产+pr+q=o,其中产，厂的系数及常数项恰好是(*)式中)，",)/,)，的系数;

2、求出(△)式的两个根外，G

3、根据小-2的不同情况，按下表写出(*)式的通解:

(*)式的通解

6,马的形式

两个不相等实根(//—4q>0)y=c^x+c^x

rx

两个相等实根(p2—4夕=0)y=(q+c2x)e'

一对共枕复根(〃2-44<0)y=*(qcosjBx+c2sin/3x)

4=&+/r2=a-iP

疗_Pn-M”

(X—fD—

22

二阶常系数非齐次线性微分方程

y'+py'+分=/(才)，0为常数

〃x)二「era)型，丸为常数；

“X)=J[B(x)cos公+乙(x)sin斯]型

概率公式整理

1.随机事件及其概率

AuQ二QAcQ=A

吸收律：Au0=AAn0=0

Au(A5)=AAn(AuB)=A

A-B=AB=A-(AB)

反演律：AuB=ABAB=AuB

nn__nn__

UA=riAPIA=IJA

f=l<=1f=lr=l

2.概率的定义及其计算

P(N)=1-P(A)

若Au8nP(8—A)=P(8)—P(A)

对任意两个事件4员有P(B-A)=P(B)-P(AB)

加法公式：对任意两个事件A,8,有

P(Au8)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(ADB)〈P(4)+P(8)

^(UA)=Em)-EP(AA)+支尸(444)+…+(-D"TpGM2…4)

<=l/=1l</<j<n[<i<j<k<n

3.条件概率

P®|A)=P(AB)

P(A)

乘法公式

P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)>0)

p(A4••4)=P(A)P(A214).••P(A,』4&…A,-,)

(P(AH…A,i)>0)

全概率公式

P(A)=£P(A8J=£P(B)P(A|瓦)

f=li=l

Bayes公式

p(小)=3=

“A):P⑻P(4同

/=1

4.随机变量及其分布

分布函数计算

P(a<X<h)=P(X<b)-P(X<a)

=F(b)-F(a)

5.离散型随机变量

(1)0-1分布

P(X=k)=pkQ-p)"k,左=0,1

(2)二项分布8(〃,p)

若P(A)=p

尸(X=k)=C”(1-pF,k=0,1,-,n

*Possion定理

limnp>0

〃一>8n

自"78k!

A:=0,1,2,…

(3)Poisson分布P(4)

尤

P-AXe-q,々=0,1,2,…

k\

6.连续型随机变量

(1)均匀分布U(a,b)

—a<x<b

/(x)=<b-a

0,其他

0,

x-a

尸(x)=<

b-a'

1

(2)指数分布E(2)

x>0

/(%)=<

0,其他

0,x<0

尸(无)=<

1—eq,x>0

(3)正态分布N(〃，b2)

—8<%<4-CXD

*N(O,1)—标准正态分布

—8<X<4-00

1p--

<!>(%)=,——Ie2dz—8<%<4-00

<2兀人

7.多维随机变量及其分布

二维随机变量(x.y)的分布函数

尸(x,y)=「「f(u,v)dvdu

边缘分布函数与边缘密度函数

Fx(x)=fff(u,v)dvdu

J—0OJ—oo

/x(x)=[：/(x,v)dv

4()')=fV°f(u,v)dudv

J—oaJ—oo

fY(y)=

8.连续型二维随机变量

(1)区域G上的均匀分布，U(G)

〃x,y)=[T，(x"G

0,其他

(2)二维正态分布

1____ra-〃I)22(x-〃])(y_〃2)](丁一趣)

2(1-02)15256/2

于(x,y)=-----------------e

2九0\/\\一p

—8<尤<4-oo,—oo<y<4-oo

9.二维随机变量的条件分布

/（X,y）=/x（x）/y|x（亦）fx（X）＞0

=fy（y）fx\Y（x\y）/r（y）＞o

fx（x）=「/（x,y）"y=1/x|y（Xy）/y（y）办

"（）'）=匚/（X,y）dx=匚4|x（中）/x（x）dx

/（X,y）/y|x(中)/x(x)

川阳y)

fY（y）fy(y)

x

狐(小)/（x,y）_/x|r（|＞,）/y（y）

AU）♦（X）

10.随机变量的数字特征

数学期望

E(X)=£xm

k=I

E(X)=^xf(x)dx

随机变量函数的数学期望

X的k阶原点矩

E(Xk)

X的k阶绝对原点矩

凤|X「)

X的k阶中心矩

£((X-£(%)/)

X的方差

E((X-E(X))2)=D(X)

x,y的z+/阶混合原点矩

E(XkY')

x,y的k+/阶混合中心矩

E((x-E(x)y("E(y)y)

x,y的二阶混合原点矩

E(XY)

x,y的二阶混合中心矩x,y的协方差

E((X-E(X))("E(Y)))

X.Y的相关系数

/(x-E(x))(y-E(y))1_

ITDQOTW)PXY

x的方差

O(X)=E((X-E(X))2)

D(X)=E(X2)-E\X)

协方差

cov(x,y)=E((X-E(X))(r-E(y)))

=E(XY)-E(X)E(y)

=±；(o(x±y)-D(x)-D(y))

相关系数

cov(x,y)

P"-JD(X-JD(Y)

线性代数部分

梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。

沟通：突出各部分内容间的联系。

充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而筒捷

的方法。

大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不

知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。

基本运算

①A+8=8+A

②(4+6)+C=A+(8+C)

@c(/l+B)=CA+CB(c+d)A=cA+dA

④c(dA)=(cd)A

⑤cA=00c=0或A=0。

(iA

(A±B)TAT+Br

T

(C'A)，=c(/4)o

(AB)r^BTAT

-1)…21)=C；=，

D—a21A2i+a22A22'+Fa2nA2n

转置值不变|A[=]川

逆值变--l±

|A1=14

|CA|=C"|A|

-+&7|=|a，4"+|a血"

A=(a,,a2,a3),3阶矩阵

B=(B\,比,Bs)

|A+6|H|H+|M

4+8=3+B\,a1+4心+吩

|A+B|=E+-"2+夕2，生+闯

|E（i，，（c））1=1

有关乘法的基本运算

C）=如幻+ai2b2J+-••+ainbnj

线性性质（4+&m=A13+&B,

A（B1+B»）-AB1+AB-,

（cA）B=c（AB）=A（cB）

结合律（AB）C=A（BC）

（AB）r^BTAT

明=|胭

AkA'=Ak+l

（A"=A"

W=A*3*不一定成立！

AE=A,EA=A

A（kE）=kA,（kE）A=kA

AB=EoBA=E

与数的乘法的不同之处

（AB）*=A*8*不一定成立！

无交换律因式分解障碍是交换性

•个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如

A2-2A-3E^（A-3E\A+E）

无消去律（矩阵和矩阵相乘）

当48=0时RA=0或5=0

由4Ho和AB=0*8=0

由ArO时A8=ACR8=C（无左消去律）

特别的设A可逆，则A有消去律。

左消去律：AB=AC^B=Co

右消去律：BA=CA^B=C.

如果A列满秩，则A有左消去律，即

①46=0n6=0

②AB=AC=8=C

可逆矩阵的性质

i）当A可逆时,

4,也可逆，且（在丁＞=（4-1丫。

A*也可逆，且（4了二斤邛

数c¥0,以也可逆，(M)'1=-A-1o

C

ii）A,8是两个/?阶可逆矩阵=A8也可逆，且（48尸二"％工

推论：设A,8是两个耳阶矩阵，则AB=E=BA=E

命题：初等矩阵都可逆，且

(E(f(c))『=E0

(成，j(c)))T=E(i,j(—c))

命题：准对角矩阵

An0004；ooo

0A„00000

A-可逆Q每个人都可逆，记A"二22

00・00o•.0

000AH000匐

伴随矩阵的基本性质：

AA^=A*A=\A\E

当A可逆时,（求逆矩阵的伴随矩阵法）

且得：（A*）T

伴随矩阵的其他性质

②（">=（A*厂，

@|（"）*=C"T淳

④（A8）*=8*A*,

⑤（A»=（A*）«,

⑥（A*）*=|Ar2A.〃=2时，（A*）*=AA*=

关于矩阵右上肩记号：T,k,-1,*

i）任何两个的次序可交换，

如（Ar卜=（A*），,

（A*尸=（1）*等

ii）（AB）r=BTAT,（AB）~'=B-'A-l,

（M*=8*A*

但（AB）'不一定成立！

线性表示

0->a],a2,---,as

a,ta],a2,---,as

0-»四,％,…,a,=x]a]+x2a2+…+xva,=/?有解

Ax=£有解，即£可用A的列向量组表示

A3=C=（八，弓，…，4），A=（%%,…，4），

则八，-2,…，4T。］,%，…，％。

则存在矩阵C,使得（小四，…a、）。

线性表示关系有传递性'当B\，h，…,直—%。2,…，4—>»

则B1，42'…，Bt-八，，2,…°

等价关系：如果小。2,…,4与川，四，…，4互相可表示

%,%,…,巴威02,…，仇

记作三一/2,…，万»

线性相关

5=1,单个向量a,xa=Oa相关=a=0

s=2,四,。2相关0对应分量成比例%%相关=?"也=3=""：为

①向量个数s=维数〃，则％4线性相（无）关=…a"|=任）0

A=（%%,…’a"），Ax=O有非零解0同=0

如果s〉〃，则/,。2,…，&一定相关

Ax=0的方程个数n<未知数个数s

②如果见,火，…,a,无关，则它的每一个部分组都无关

③如果％%，…0无关，而a”4，…,见,£相关，则6…,a,

证明:设C1,…,c,,c不全为0,使得c。+…「+qq+c0=0

则其中CHO,否则j,…,q不全为0,G%+…+c,a，=0,与条件a,无关矛

盾。于是,=一$•«------«v»

④当见时，表示方式唯一O/…E无关

(表示方式不唯一o因…夕、相关)

⑤若女,…7%,…,a,,并且f>s,则4,…,4定线性相关。

证明：记A=(a”…,a)B=(A，…⑷,

则存在sxf矩阵C,使得B=AC。

。》=0有5个方程，t个未知数，s<r,有非零解〃，C〃=0。

则8〃=AC〃=0,即〃也是Bx=O的非零解，从而四，…,力线性相关。

各性质的逆否形式

①如果必,。2,…,巴无关，则S«〃。

②如果名,见有相关的部分组，则它自己一定也相关。

③如果a1…a,无关，而弓,a.,则a1,。力无关。

⑤如果自…以…用…瓦无关，则/4S。

推论：若两个无关向量组见…区与片…力等价，则5=/。

极大无关组

一个线性无关部分组(/),若#(/)等于秩囚,02"4，41(1),(/)就一定是极大无关组

①名,4,…,4无关=/(四，=$

②…,4<=>.31，夕)=「(外,•••.)

另一种说法：取名,％，…，％的一个极大无关组(/)

(/)也是的极大无关组=(/),£相关。

证明：Bt%,…，a,0/?—(/)=(/),月相关。

/（即…,a,）,

4，夕）=,

?（四，,一，4）+以心％4

③用可用如…,a,唯一表示"/(%…,a,,£)=/(%「••,&,)=S

④4,…，/-»/,•••以.=

ng,

⑤％…,见三儿…，力<=>

矩阵的秩的简单性质

0＜r（A）＜min{m,n}

r（A）=0=A=0

A行满秩：r（A）=m

A列满秩：r（A）=n

〃阶矩阵A满秩：r（A）="

A满秩QA的行（列）向量组线性无关

=同。0

QA可逆

=Ax=0只有零解，Ax=（3唯一-解。

矩阵在运算中秩的变化

初等变换保持矩阵的秩

①r（A，）=r（A）

②c/0时，r（cA）=r（A）

③r（A±B）Wr（A）+r（B）

（4）r（AB）＜min{r（A）,r（B））

⑤A可逆时，r（AB）=r（B）

弱化条件：如果A列满秩，则乂48）=布）

证：下面证ABx=O与8x=0同解。

〃是ABx-0的解<=»ABr）-0

08〃=00〃是&=0的解

5可逆时,r（AB）=r（A）

⑥若A6=0,则r（A）+r（B）W”（A的列数，8的行数）

⑦A列满秩时r（A8）=r（8）

8行满秩时r（A3）=r（A）

⑧r（A6）+〃>r（A）+r（B）

解的性质

1.Ax=0的解的性质。

如果7,乙是一组解，则它们的任意线性组合+。2〃2+…+%〃。一定也

是解。

=0=贴7+Q〃2+…+q/）=0

2.Ax=队/3H0）

①如果配$,…，q是Ax=（的一组解，则

eg+c2^2+•­•+”,也是Ax=/3的解QG+°?+…+”=1

eg+C^----C/e是Ax=0的解OG+C2H----Fce=0

CC

A（j。+2^2-*e^e）=&+C2A^2HF

=（q+c2+---+ce）^

特别的：当卷，2是Ax=6的两个解时，。一么是Ax=o的解

②如果4是Ax=£的解，则”维向量/也是Ax=/?的解oJ一部是Ax=0的解。

解的情况判别

方程：Ax=0,即+x2（x2+…+二B

|有解|Q0t%，。2,…,火

oy（A|/?）=/（A）q

QMAR）＞/（A）

唯•解|0y（A|⑼=MA）=n

无穷多解|<=>/41⑶=MA）<n

方程个数机:

y（A|⑼<m,y（A）<m

①当7（A）=/"时，y（A|（3）=m,有解

②当机<〃时，y（A）<n,不会是唯一解

对于齐次线性方程组Ax=0,

只有零解q/（A）=〃（即A列满秩）

（有非零解=/4）<〃）

特征值特征向量

4是A的特征值=2是A的特征多项式|xE-川的根。

两种特殊情形：

（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

a**、

4=03*

、00",

%-21-*-*

^xE—A|=0X—A,2—*=（》一九1）（“一42）（x—43）

00x—43

（2）r（A）=l时：A的特征值为0,0,…,0"（A）

特征值的性质

命题：〃阶矩阵A的特征值4的重数2〃—厂（4E-A）

命题：设4的特征值为41,几2,…"“，则

①41a2…4“=|山

②4]+2，+,,•+A“="（A）

命题：设〃是A的特征向量，特征值为4，即=则

①对于A的每个多项式/(A),f(A)r]=

②当A可逆时，A~'r]--rj,=

AA

命题：设A的特征值为；l卜九，〃，则

①/(A)的特征值为/(/„)

②4可逆时，A”的特征值为———

3九3

A*的特征值为亨，亨，…，亨

③A，的特征值也是4”42,…，"

特征值的应用

①求行列式|A|=4I，

②判别可逆性

力是4的特征值=|/1后一川=0=/1-/1后不可逆

A—4E可逆=4不是A的特征值。

当/(4)=0时，如果/(c)HO,则A—cE可逆

若4是A的特征值，则/(力是/(A)的特征值2/(m=0。

/(，)，0=。不是4的特征值0AcE可逆。

n阶矩阵的相似关系

当AU=UA时，8=A,而AUHUA时，BwA。

相似关系有i)对称性：A〜808〜A

LT'AU=B,则4=UBUT

ii)有传递性：A〜B,B〜C,则4〜C

U-'AU=B,V-'BV=C,则

(UV)~'A(UV)=V-'U-'AUV=V-'BV=C

命题当A〜8时，A和8有许多相同的性质

①|A|=|B|

②MA)=7⑻

③A,3的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

A与8的特征向量的关系：〃是A的属于4的特征向量QU"〃是8的属于4的特征向量。

4〃=初=8（。-力）=/1（夕为）

00

U-'A/]=AU-lrj^U-'AUU-'/]=A（U-'rj）

正定二次型与正定矩阵性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性

/您,》2」-,》“）变为g（＞'i，＞,2,•■■,＞'„）＞则它们同时正定或同时不正定

A-B,则A,B同时正定，同时不正定。

例如6=C7AC。如果A正定，则对每个XHO

X1Bx=x1C1ACx=（Cx）‘ACx＞0

（C可逆，x^Q,/.Cx0!）

我们给出关于正定的以下性质

A正定QA-E

Q存在实可逆矩阵C，A=C'C。

=A的正惯性指数="。

oA的特征值全大于0。

=A的每个顺序主子式全大于0。

判断A正定的三种方法:

①顺序主子式法。

②特征值法。

③定义法。

基本概念

对称矩阵A，=A。