方差分析原理

方差分析原理

与单因素方差分析方差分析

ANOVA(analysisofvariance)在现实的生产和经营管理过程中，影响产品质量、数量或销量的因素往往很多，如农作物的收获量受作物品种、肥料种类及数量等的影响；不同地区、不同时期对某种产品的销量有影响等等。在众多因素中，有些因素影响大些，有些则小些。现实中常常需要分析哪几种因素对生产或销售起显著影响，并需知道起显著作用的因素如何进行最优组合，可以获得最理想的效果。方差分析是解决这些问题的一种有效方法什么是方差分析高产油菜品种的选取问题品种田块A1A2A3A4A51256244250288206222230027728021232802902303152204298275322279212平均亩产264277.25269.75285.50212.50消费者对四个行业的投诉次数

行业观测值零售业旅游业航空公司家电制造业12345675766494034534468392945565131492134404451657758为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数如下表：消费者对四个行业的投诉问题方差分析解决的问题分析不同品种的亩产（四个行业之间的服务质量）是否有显著差异，实质是判断“品种”这个分类型自变量对“亩产”这个数值型因变量是否有显著影响（“行业”对“投诉次数”）。做出这样的判断最终被归结为检验四个品种的平均亩产量（平均投诉次数）是否相等。如果均值相等，就意味着“品种”对“亩产”（“行业”对“投诉次数”）没有显著影响。“方差分析”中“方差”的含义1923年，Fisher首先提出了“方差分析”，通常认为他是这一方法的创始人“方差分析”所分析的并非是“方差”，而是研究数据间的“变异”，是在可比较的群组中，把总的变异按各指定的变异来源进行分解的一种技巧。方差分析检验的是均值是否相等，而不是方差是否相等方差分析中的有关术语试验指标(指标):y如亩产，投诉次数因子(因素)（factor）影响试验指标y的因素A,B,C…如品种，行业因子的水平（处理）（treatment）因子的不同表现

A1,A2,…,Ar或B1,B2,…,Bs

如五个不同品种，四个行业（零售业、旅游业、航空公司、家电制造业）方差分析中的有关术语观测值在每个因子水平下得到的样本数据yij水平数:r;s单因子方差分析(one-wayANOVA)只有一个因子多因子方差分析(MANOVA)两个及两个以上的个因子方差分析的基本思想和原理

(图形分析)零售业旅游业航空公司家电制造从散点图上可以看出不同行业被投诉的次数是有明显差异的即使是在同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同家电制造也被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低行业与被投诉次数之间有一定的关系如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近方差分析的基本思想和原理

(图形分析)仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源。

方差分析的基本思想和原理比较两类误差，以检验均值是否相等比较的基础是方差比如果系统误差显著地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理

(两类误差)随机误差因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差

系统误差（处理误差）因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差方差分析的基本思想和原理

(两类方差)数据的误差用平方和(sumofsquares)表示，称为方差组内方差(withingroups)因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差比如，零售业被投诉次数的方差组内方差只包含随机误差组间方差(betweengroups)因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差比如，四个行业被投诉次数之间的方差组间方差既包括随机误差，也包括系统误差方差分析的基本思想和原理

(方差的比较)若不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近1若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间误差平均后的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就会大于1当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响方差分析的基本假定每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布各个总体的方差必须相同各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四个行业被投诉次数的方差都相等观察值是独立的比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立方差分析中的基本假定在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近四个样本的均值越接近，推断四个总体均值相等的证据也就越充分样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越充分方差分析中基本假定

如果原假设成立，即H0:m1=m2=m3

=m4四个行业被投诉次数的均值都相等意味着每个样本都来自均值为

、方差为

2的同一正态总体xf(x)

1

2

3

4

方差分析中基本假定

若备择假设成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等至少有一个总体的均值是不同的四个样本分别来自均值不同的四个正态总体

Xf(X)

3

1

2

4

问题的一般提法设因素有r个水平，每个水平的均值分别用

1、

2、、r

表示要检验r个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设：H0:

1

2

…

r

H1:

1,2,，r不全相等设

1为零售业被投诉次数的均值，

2为旅游业被投诉次数的均值，

3为航空公司被投诉次数的均值，

4为家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为H0:

1

2

3

4

H1:

1,2,3,4

不全相等本节小结方差分析采用数理统计方法对所得结果进行分析，以鉴别各种因素对研究对象的某些特性值影响大小。方差分析是检验多个总体均值是否相等的一种统计方法。方差分析是通过对试验结果的分析去判断因子是否显著的一种统计方法。方差分析方法是解决具有相同方差的ｋ(k>2)个正态总体的均值是否有显著差异问题的有效方法。单因素方差分析单因素方差分析

(one-wayANOVA)解决一个因子的不同水平的试验结果之间的差异显著性问题。解决一个因子的不同水平对试验结果的影响程度问题。1、模型与假设的提出考虑因子A取r个水平，分析这r个水平对指标y的影响在每个Ai下,重复做m次试验，i=1,2,…,r一般情况，假定在Ai水平下的指标

其中要求yij

的方差σ2是相同的~单因子方差分析数据(表)模型

水平重复

A1

A2…Ai…Ar12…j…m

y11

y21…yi1…yr1

y12

y22…yi2…yr2………………

y1j

y2j…yij

…yrj………………

y1m

y2m…yim

…yrm假设的提出在单因子方差分析中就是要通过对数据yij的分析去判断μ1,μ2,…

μr是否全部相同yij

的数据结构形式:

yij

=μi+εij

μi为在Ai水平下yij的平均水平

εij为在第i水平下第j次试验的随机误差，且~即要检验假设

H0:μ1=μ2=…=μr

是否成立讨论因子A的不同水平对试验结果之间差异的影响是否显著的问题假设的另一种提法ai为因子A的第i水平的效应:

ai=μi-μ其中:μ为总的平均水平，

yij

的数据结构形式:

yij

=μ+ai+εi

jμ为总的平均水平εij为在第i水平下第j次试验的随机误差单因子方差分析数据结构模型，且相互独立即要检验假设

H0:a1=a2=…=ar=0

是否成立讨论因子A的不同水平的效应是否可以忽略不计的问题2、检验统计量的确定yij取值不同主要原因有：一是可能A取不同水平所引起的；二是随机误差引起的。偏差平方和的分解是构建适用于方差分析的F

统计量的重要工具。是区分系统性误差（条件误差)和随机误差(偶然性误差)的主要方法。偏差平方和的分解数据总的差异可用总偏差平方和ST来表示引入Ai

水平的均值(组平均)

总的偏差平方和分解总偏差平方和ST:因子A偏差平方和

(组间偏差平方和)SA:随机偏差平方和(组内偏差平方和)Se:

各偏差平方和的含义组内偏差平方和Se:反映了同一水平下的试验值与其平均值的偏差平方和反映各总体的样本均值之间的差异程度是由随机因素引起的组间偏差平方和SA:反映了由于因子水平变化所引起的组平均与总平均的偏差平方和反映每个样本各观察值的离散状况一般是由随机因素和系统误差引起的如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间均方与组内均方之间差异的大小三个平方和的作用Ｆ统计量的构建由于,且相互独立，则:由于，所以在H0为真时，在假设H0成立时检验假设H0的拒绝域为其中为显著性水平，是自由度为的F分布上侧分位数。

越小，拒绝H0的把握越大，因子A的显著性越高。~方差分析表来源平方和S自由度f均方和V(方差)F比显著性Aer-1n-r***(*)Tn-1判断说明

**:高度显著F>F0.01*: