（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练测 第10讲 函数与方程（练）原卷版+解析

第10讲函数与方程【练基础】1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2 B．0，eq\f(1,2)C．0，－eq\f(1,2) D．2，－eq\f(1,2)3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－cosx，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．44．若函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)5．已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8)C．－eq\f(7,8) D．－eq\f(3,8)6．已知函数f(x)＝eq\f(|x|,x＋2)－kx2(k∈R)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是()A．k<0 B．k<1C．0<k<1 D．k>17．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是()A．(－1,1) B．[1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)8．已知函数f(x)＝eq\f(2,3x＋1)＋a的零点为1，则实数a的值为________．9．若函数f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零点，则正实数a的取值范围是________．10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．【练提升】1．函数f(x)＝xcos(x2－2x－3)在区间[－1,4]上的零点个数为()A．5 B．4C．3 D．22．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－2（x≤0）,lnx（x>0）))，则下列关于函数y＝f[f(kx)＋1]＋1(k≠0)的零点个数的判断正确的是()A．当k>0时，有3个零点；当k<0时，有4个零点B．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点3．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1 D．0<x1x2<14．若关于x的不等式x2＋|x－a|<2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是________．5．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．(1)求m的值；(2)求函数的零点．6．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．

第10讲函数与方程【练基础】1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个【答案】B【解析】依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2 B．0，eq\f(1,2)C．0，－eq\f(1,2) D．2，－eq\f(1,2)【答案】C【解析】因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，所以2a＋b＝0，b＝－2a，所以g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，由g(x)＝0得x＝0或－eq\f(1,2)，故g(x)的零点是0，－eq\f(1,2).3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－cosx，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】作出g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)与h(x)＝cosx的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.4．若函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)【答案】C【解析】因为函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.5．已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8)C．－eq\f(7,8) D．－eq\f(3,8)【答案】C【解析】因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0⇔f(2x2＋1)＝－f(λ－x)⇔f(2x2＋1)＝f(x－λ)⇔2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－eq\f(7,8).故选C.6．已知函数f(x)＝eq\f(|x|,x＋2)－kx2(k∈R)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是()A．k<0 B．k<1C．0<k<1 D．k>1【答案】D【解析】分别画出y＝eq\f(|x|,x＋2)与y＝kx2的图象如图所示，当k<0时，y＝kx2的开口向下，此时与y＝eq\f(|x|,x＋2)只有一个交点，显然不符合题意；当k＝0时，此时与y＝eq\f(|x|,x＋2)只有一个交点，显然不符合题意，当k>0，x≥0时，令f(x)＝eq\f(|x|,x＋2)－kx2＝0，即kx3＋2kx2－x＝0，即x(kx2＋2kx－1)＝0，即x＝0或kx2＋2kx－1＝0，因为Δ＝4k2＋4k>0，且－eq\f(1,k)<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x>0时，方程有唯一解．即当x≥0时，方程有两个解．当k>0，x<0时，f(x)＝eq\f(|x|,x＋2)－kx2＝0，即kx3＋2kx2＋x＝0，kx2＋2kx＋1＝0，此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k2－4k>0，解得k>1，综上所述k>1.7．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是()A．(－1,1) B．[1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)【答案】C【解析】当a＝0时，函数f(x)的零点是－1，－1∉{x|0<x<1}，不符合题意；当a≠0时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,f0f1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋8a>0，,－2a－2<0，))解得a>1；当Δ＝0，即a＝－eq\f(1,8)时，函数f(x)的零点是－2，－2∉{x|0<x<1}，不符合题意．故选C.8．已知函数f(x)＝eq\f(2,3x＋1)＋a的零点为1，则实数a的值为________．【解析】由已知得f(1)＝0，即eq\f(2,31＋1)＋a＝0，解得a＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)9．若函数f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零点，则正实数a的取值范围是________．【答案】(0,1]【解析】当x∈(－∞，1]时，2x∈(0,2]．由函数f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零点，可得0<a2＋a≤2，又由a为正实数，得a∈(0,1]．10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.所以函数f(x)的零点为3和－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0<a<1，因此实数a的取值范围是(0，1)．【练提升】1．函数f(x)＝xcos(x2－2x－3)在区间[－1,4]上的零点个数为()A．5 B．4C．3 D．2【答案】B【解析】由题意可知x＝0或cos(x2－2x－3)＝0，又x∈[－1,4]，所以x2－2x－3＝(x－1)2－4∈[－4,5]，当cos(x2－2x－3)＝0时，x2－2x－3＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，在相应的范围内，k只有－1,0,1三个值可取，所以总共有4个零点，故选B.2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－2（x≤0）,lnx（x>0）))，则下列关于函数y＝f[f(kx)＋1]＋1(k≠0)的零点个数的判断正确的是()A．当k>0时，有3个零点；当k<0时，有4个零点B．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点【答案】C【解析】令f[f(kx)＋1]＋1＝0得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（kx）＋1≤0，,ef（kx）＋1－2＋1＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（kx）＋1>0,ln[f（kx）＋1]＋1＝0))，解得f(kx)＋1＝0或f(kx)＋1＝eq\f(1,e)；由f(kx)＋1＝0得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx≤0，,ekx－2＋1＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx>0,ln（kx）＝－1))；即x＝0或kx＝eq\f(1,e)；由f(kx)＋1＝eq\f(1,e)得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx≤0，,ekx－2＋1＝\f(1,e)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx>0,ln（kx）＋1＝\f(1,e)))；即ekx＝1＋eq\f(1,e)(无解)或kx＝eeq\f(1,e)－1；综上所述，x＝0或kx＝eq\f(1,e)或kx＝eeq\f(1,e)－1；故无论k为何值，均有3个解，故选C.3．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1 D．0<x1x2<1【答案】D【解析】作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．显然x1<0，x2<0.不妨设x1<x2，则x1<－1，－1<x2<0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此时10x1<10x2，即lg(－x1)<－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)<0，所以0<x1x2<1.4．若关于x的不等式x2＋|x－a|<2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是________．【解析】不等式为2－x2>|x－a|，则0<2－x2.在同一坐标系画出y＝2－x2(y≥0，x≥0)和y＝|x|两个函数图象，将绝对值函数y＝|x|向左移动，当右支经过(0，2)点时，a＝－2；将绝对值函数y＝|x|向右移动让左支与抛物线y＝2－x2(y≥0，x≥0)相切时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－0＝－（x－a）,y＝2－x2))，可得x2－x＋a－2＝0，再由Δ＝0解得a＝eq\f(9,4).数形结合可得，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(9,4))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，