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文档简介
广东省广州增城市2024年高考适应性考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,分别为所对的边,若函数有极值点,则的范围是()A. B.C. D.2.已知命题,且是的必要不充分条件,则实数的取值范围为()A. B. C. D.3.已知是双曲线的两个焦点,过点且垂直于轴的直线与相交于两点,若,则的内切圆半径为()A. B. C. D.4.计算等于()A. B. C. D.5.已知函数,则()A.1 B.2 C.3 D.46.已知双曲线的渐近线方程为,且其右焦点为,则双曲线的方程为()A. B. C. D.7.在正方体中,点,,分别为棱,,的中点,给出下列命题:①;②;③平面;④和成角为.正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.38.的展开式中的常数项为()A.-60 B.240 C.-80 D.1809.欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知函数,,若,对任意恒有,在区间上有且只有一个使,则的最大值为()A. B. C. D.11.设是虚数单位,则()A. B. C. D.12.已知函数在上有两个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知两个单位向量满足,则向量与的夹角为_____________.14.展开式中的系数为_________.15.已知正四棱柱的底面边长为,侧面的对角线长是,则这个正四棱柱的体积是____.16.内角,,的对边分别为,,,若,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若不等式有解,求实数的取值范围;(2)函数的最小值为,若正实数,,满足,证明:.18.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若点是直线的一点,过点作曲线的切线,切点为,求的最小值.19.(12分)以直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴,且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线的参数方程:(为参数),直线的极坐标方程:(1)求曲线的极坐标方程;(2)若直线与曲线交于、两点,求的最大值.20.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)设点,若直线与曲线相交于、两点,求的值21.(12分)在中,内角的对边分别是,满足条件.(1)求角;(2)若边上的高为,求的长.22.(10分)已知函数,.(1)若对于任意实数,恒成立,求实数的范围;(2)当时,是否存在实数,使曲线:在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析:由已知可得有两个不等实根.考点:1、余弦定理;2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理,函数的极值,涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根,从而可得.2、D【解析】
求出命题不等式的解为,是的必要不充分条件,得是的子集,建立不等式求解.【详解】解:命题,即:,是的必要不充分条件,,,解得.实数的取值范围为.故选:.【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围,其思路方法:(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验.3、B【解析】
首先由求得双曲线的方程,进而求得三角形的面积,再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.【详解】由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为,设的内切圆的半径为,则,故选:B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查三角形的内心的概念,考查了转化的思想,属于中档题.4、A【解析】
利用诱导公式、特殊角的三角函数值,结合对数运算,求得所求表达式的值.【详解】原式.故选:A【点睛】本小题主要考查诱导公式,考查对数运算,属于基础题.5、C【解析】
结合分段函数的解析式,先求出,进而可求出.【详解】由题意可得,则.故选:C.【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.6、B【解析】试题分析:由题意得,,所以,,所求双曲线方程为.考点:双曲线方程.7、C【解析】
建立空间直角坐标系,利用向量的方法对四个命题逐一分析,由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为,建立空间直角坐标系如下图所示,,.①,,所以,故①正确.②,,不存在实数使,故不成立,故②错误.③,,,故平面不成立,故③错误.④,,设和成角为,则,由于,所以,故④正确.综上所述,正确的命题有个.故选:C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法,考查运算求解能力,属于中档题.8、D【解析】
求的展开式中的常数项,可转化为求展开式中的常数项和项,再求和即可得出答案.【详解】由题意,中常数项为,中项为,所以的展开式中的常数项为:.故选:D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式,考查学生计算能力,属于基础题.9、A【解析】
计算,得到答案.【详解】根据题意,故,表示的复数在第一象限.故选:.【点睛】本题考查了复数的计算,意在考查学生的计算能力和理解能力.10、C【解析】
根据的零点和最值点列方程组,求得的表达式(用表示),根据在上有且只有一个最大值,求得的取值范围,求得对应的取值范围,由为整数对的取值进行验证,由此求得的最大值.【详解】由题意知,则其中,.又在上有且只有一个最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①当时,,此时取可使成立,当时,,所以当或时,都成立,舍去;②当时,,此时取可使成立,当时,,所以当或时,都成立,舍去;③当时,,此时取可使成立,当时,,所以当时,成立;综上所得的最大值为.故选:C【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值,考查三角函数的性质,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.11、A【解析】
利用复数的乘法运算可求得结果.【详解】由复数的乘法法则得.故选:A.【点睛】本题考查复数的乘法运算,考查计算能力,属于基础题.12、C【解析】
对函数求导,对a分类讨论,分别求得函数的单调性及极值,结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵,.当时,,在上单调递增,不合题意.当时,,在上单调递减,也不合题意.当时,则时,,在上单调递减,时,,在上单调递增,又,所以在上有两个零点,只需即可,解得.综上,的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题,考查了函数的单调性及极值问题,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由得,即得解.【详解】由题意可知,则.解得,所以,向量与的夹角为.故答案为:【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14、【解析】
变换,根据二项式定理计算得到答案.【详解】的展开式的通项为:,,取和,计算得到系数为:.故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.15、【解析】Aa设正四棱柱的高为h得到故得到正四棱柱的体积为故答案为54.16、【解析】∵,∴,即,∴,∴.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见解析【解析】
(1)分离得到,求的最小值即可求得的取值范围;(2)先求出,得到,利用乘变化即可证明不等式.【详解】解:(1)设,∴在上单调递减,在上单调递增.故.∵有解,∴.即的取值范围为.(2),当且仅当时等号成立.∴,即.∵.当且仅当,,时等号成立.∴,即成立.【点睛】此题考查不等式的证明,注意定值乘变化的灵活应用,属于较易题目.18、(1),;(2)见解析【解析】
(1)消去t,得直线的普通方程,利用极坐标与普通方程互化公式得曲线的直角坐标方程;(2)判断与圆相离,连接,在中,,即可求解【详解】(1)将的参数方程(为参数)消去参数,得.因为,,所以曲线的直角坐标方程为.(2)由(1)知曲线是以为圆心,3为半径的圆,设圆心为,则圆心到直线的距离,所以与圆相离,且.连接,在中,,所以,,即的最小值为.【点睛】本题考查参数方程化普通方程,极坐标与普通方程互化,直线与圆的位置关系,是中档题19、(1);(2)10【解析】
(1)消去参数,可得曲线C的普通方程,再根据极坐标与直角坐标的互化公式,代入即可求得曲线C的极坐标方程;(2)将代入曲线C的极坐标方程,利用根与系数的关系,求得,进而得到=,结合三角函数的性质,即可求解.【详解】(1)由题意,曲线C的参数方程为,消去参数,可得曲线C的普通方程为,即,又由,代入可得曲线C的极坐标方程为.(2)将代入,得,即,所以=,其中,当时,取最大值,最大值为10.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及曲线的极坐标方程的应用,着重考查了运算与求解能力,属于中档试题.20、(1)的普通方程为,的直角坐标方程为;(2).【解析】
(1)在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程,利用两角和的正弦公式以及可将直线的极坐标方程化为普通方程;(2)设直线的参数方程为(为参数),并设点、所对应的参数分别为、,利用韦达定理可求得的值.【详解】(1)由,得,,曲线的普通方程为,由,得,直线的直角坐标方程为;(2)设直线的参数方程为(为参数),代入,得,则,设、两点对应参数分别为、,,,,,.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化,同时也考查了直线参数方程几何意义的应用,考查计算能力,属于中等题.21、(1).(2)【解析】
(1)利用正弦定理的边角互化可得,再根据,利用两角和的正弦公式即可求解.(2)已知,由知,在中,解出即可.【详解】(1)由正弦定理知由己知,而∴,(2)已知,则由知先求∴∴∴【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式,需熟记定理与公式,属于基础题.22、(1);(2)不存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直.【解析】
(1)分类时,恒成立,时,分离参数为,引入新函数,利用导数求得函数最值即可;(2),导出导函数,问题转化为在上有解.再用导数研究的性质可得.【详解】解:(1)
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