北师大版初中数学八年级下册第一单元《三角形的证明》单元测试卷（含答案解析）

北师大版初中数学八年级下册第一单元《三角形的证明》单元测

试卷（含答案解析）

考试范围：第一单元考试时间：120分钟总分：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2-2a-2b=2c-3,贝IJAABC为.（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

2.下列命题的逆命题不正确的是（）

A.若。2=炉，贝i[a=bB.两直线平行，内错角相等

C.等腰三角形的两个底角相等D.对顶角相等

3.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点4在x轴的正半轴上，AAOB=AB=30°,

OA=2,将△408绕点。逆时针旋转90。，点B的对应点用的坐标

是（）

A.(—■\/3,3)

B.(-3,73)

C.(-7^,2+V-3)

D.(—1,2+V3)

4.如图，△ABC中，ABAC=90°,AD1BC,/ABC的平分线BE交AC于点F,4G平分N04C.

给出下歹lj结论：①NBA。=";②乙4EF=WE;③"BC="；④AG1EF,正确结论

有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，在A/1BC中，4。是BC边上的高，且乙4cB=NB4D,4E平分NC4D,交BC于点E,

过点E作EF//AC,分别交48、4D于点F、G.则下歹（）结论：①NBAC=90°:@^AEF=4BEF：

③NB4E=NBE4；④NB=2乙4EF,其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

6.下列说法中，正确的有（）

①都含有70。的两个直角三角形一定全等；

②都含有100。的两个等腰三角形一定全等；

③底边相等的两个等腰三角形一定全等；

④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等；

⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另--腰的夹角也恰好相等，那么这两个

等腰三角形全等.

A.0个B.1个C.2个D.3个

7.如图，点。是AABC边4B,AC垂直平分线的交点，点P是〃BC,N4CB平分线的交点.设

Z.BOC=x,=y，贝灯与久的数量关系式是.（）

A.y=\x+90°B.y=-^x+180°C.y=D.无法确定

J4J2J2

8.如图，在△ABC中，AB=AC=3,乙4=120。，。“垂直平分AB,垂足为点M,交BC于

点D,EN垂直平分4C,垂足为点N,交BC于点E,则五边形AMDEN的周长为（）

M

A.3+0B.3+|qC.3+2>/~3D.30

9.如图，RtsABC^,乙4c8=90。，NA=30。，分别以点4,C为

圆心，大于;AC长为半径作弧，两弧交于点D,E,以C为圆心，4c长

为半径作弧，与直线DE交于点F,CF与48交于点G,若AB=4,则CG

的长为（）

A.1

B.2

C.y/~l

D.2V-3

10.如图，在△ABC中，乙4cB=90。，点。为△力BC的三条角平分线的交点，0D1BC,0E1

AC,0F14B,点£）,E,F是垂足，且48=10,BC=8,则点。到三边AB,4C和BC的距

离分别是（

A.2,2,2C.4,4,4D.2,3,5

11.如图，已知乙40B=30°,点P是4208平分线上一点，CP〃0B,交。4于点C,PD10B,

垂足为点D,且PC=4,则PD等于.

A.1B.2C.4D.8

12.如图，点P是410B平分线0C上一点，PD10B,垂足为点D.若PD=2,贝U点P至U边。4的

距离为.（）

A.2B.3C.y/~3D.4

第n卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.如图，己知乙4。8=30°,点P在边。力上，点M,N在边08上，且PM=PN=10,MN=12,

则0P等于.

14.如图，已知BEJ.AD,CFLAD,垂足分别为点E,F,给出下列条件：①AB=DC,

乙B=ZC;（2）AB=DC,AB//CD-,③AB=DC,BE=CF;@AB=DF,BE=CF.从中选择

一组，可以判定Rt△力BEm的是.，（填序号）

CD

15.如图，在AABC中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,P,AC的垂直平分线分别

交AC,BC于点N,Q,Z.BAC=110",则4P4Q=.

16.如图，在4ABC中，NACB=90°,N4BC的平分线BO交AC于点。,

已知力C=3,4D=2,则点。到4B边的距离为

三、解答题(本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题8.0分)

如图，4城气象台测得台风中心在4城正西方向320km的B处，以每小时40kni的速度向北偏东

60。的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.

(1)4城是否受到这次台风的影响？为什

么？

(2)若4城受到这次台风影响，那么4城遭受这次台风影响有多长时

间？

18.(本小题8.0分)

如图，在AABC中，AB=AC,CD是乙4cB的平分线，OE〃BC,交4c于点E.

(1)求证：DE=CE.

(2)若NCDE=35。，求乙4的度数.

19.(本小题8.0分)

如图，在等腰直角三角形4CB中，44cB=90。，CA=CB.

操作：如图①，过点4任作一条直线(不经过点C和点B)交BC所在的直线于点D,过点B作BF1

力。交4。于点F,交4c所在的直线于点E,连接。E.

图①图②图③

(1)猜想△CDE的形状.

(2)请利用图②，图③作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作，画出相应的图形.

(3)在经历(2)之后，若你认为(1)中的结论是成立的，请利用图②说明理曲若你认为不成立，

请利用其中一图说明理由.

20.(本小题8.0分)

如图，乙4=NB=90。，E是4B上的一点，S.AD=BE,Z1=z2.

求证：Rt△ADE=Rt△BEC.

21.(本小题8.0分)

如图，在△ABC中，直线EF是边AC的垂直平分线，分别交AB、4;于点E、F.(其中BC>CF,

图①：ZC=90°,图②：NC小于90。)

要求：

(1)用尺规分别在直线EF上找一点D,使得4ACC=2乙BDC.

(2)保留作图痕迹，写出必要的文字说明.

图①

22.(本小题8.0分)

如图，在△4BC中，AB=AC,Z.BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,垂足为点E.

⑴求NB4D的度数；

(2)若B£>=2cm,试求CD的长度.

23.(本小题8.0分)

如图，在△ABC中，点C在的垂直平分线上，连接BC,作CE14B于点E,DF_LBC交BC的

延长线于点F,且CE=DF.

(1)求证：AB=AC；

(2)如果乙48D=102°,求乙4的度数.

A

24.（本小题8.0分）

已知：如图，在△4BC中，4c=90。，4。是△ABC的角平分线，CD=|,BD=|,求4c的

长.

25.（本小题8.0分）

感知：如图1,4。平分4B4C,Z_B+4C=180。，/.B=90°,易知I：DB=DC.

探究：（1）如图2,4。平分4BAC,£.ABD+/.ACD=180°,/.ABD<90°,求证：DB=DC；

（2）如图3,40平分NBAC,BD=DC,ACAB,求证：AABD+^ACD=180°.

【变式】如图，/-CAB=40。，点。为NC4B的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，连接CD,

试求WCB的度数.

a

D

■B

答案和解析

1.【答案】D

【解析】略

2.【答案】D

【解析】略

3.【答案】A

■■■4A'B'H=30°,

A'H=^A'B'=1,B'H=V~3,

•••OH=3,

夕(-C3),

故选A.

如图，过点8'作B'Hly轴于”，利用含30。角的直角三角形求出4H,B'H即可.

本题考查坐标与图形变化-旋转，含30。角的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助

线，构造直角三角形解决问题.

4.【答案】C

【解析】解：•••NBAC=90。，AD1BC,

ZC+/.ABC=90°,

乙BAD+乙4BC=90°,

/.BAD=ZC,故①正确；

vBE是4aBe的平分线，

Z.ABE-Z.CBE,

vZ.ABE+Z.AEF=90°,

乙CBE+乙BFD=90°,

•••Z.AEF=/.BFD,

又N4FE=NBFD（对顶角相等），

Z.AEF=Z.AFE,故②正确；

Z.ABE="BE,

只有“=30。时4EBC=",故③错误；

Z.AEF=Z.AFE,

AE=AF,

•••4G平分ZJMC,

.-.AG1.EF,故④正确.

综上所述，正确的结论是①②④.

故选：C.

根据同角的余角相等求出4BA。=乙C,再根据等角的余角相等和对顶角相等可以求出Z4EF=

乙4FE；根据等腰三角形三线合一的性质求出4G1EF.

本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角

度之间的关系是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，属于中考常考题型.①正确.证明/34。+乙。4。=90。即可.

②错误.如果£71=EC,则结论成立，无法判断区4=EC,故错误.

③正确.利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可解决问题.

④正确.说明4B=即可解决问题.

【解答】

解：-ADA.BC,

・•・/.ADC=90°,

・•・ZC+/-CAD=90°,

v乙BAD=ZC,

・•・乙BAD+乙CAD=90°,

ZCAB=90°,故①正确，

Z-BAE=Z.BAD+Z.DAE,Z-DAE=4CAE,4BAD=Z-C,

・・・Z.BAE=ZC+Z-CAE=/.BEA,故③正确,

•・•EFIIAC,

Z-AEF=Z.CAE,

■:Z-CAD=2/-CAE,

••Z-CAD=2/-AEF9

•・•Z.CAD+乙BAD=90°,乙BAD+=90°,

AB=Z.CAD=2AAEF,故④正确，

无法判定E4=EC,故②错误.

故选：B.

6.【答案】C

【解析】解：①都含有70。的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以①错误；

②都含有100。的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以②错误；

③底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应角相等，所以③错误；

④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等，因为根据SSS或44s或S4S或4S4可以判定两个三角

形全等，所以④正确；

⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另--腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰

三角形全等，因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据SAS或A4s或

AS4可以判定两个三角形全等，所以⑤正确；

所以正确的有④⑤这2个.

故选：C.

根据全等三角形的判定定理求解判断即可得解.

此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】略

8.【答案】C

•：AB=AC=3,Z.A=120°,

NB=NC=30°,BF=CF=

•••DM垂直平分AB,EN垂直平分AC,

13I3

・・・Z.BMD=Z.CNE=90°,BM=AM=^AB=|,CN=AN=^AC=

DM=篝=芋，NE=邕=?，BD=2DM=C，CE=2NE=C，

在RtMBF中，ZB=30。，

AF=^AB=|,BF=GAF=审，

•••BC=2BF=3/3，

•••DE=BC-BD-CE=30-O-O=V-3>

•••五边形4M0EN的周长=AM+MD+DE+EN+AN

=3+虫+)+6+3

22v22

=3+2<3，

故选：c.

过点4作AFLBC,垂足为F,先利用等腰三角形的性质可得NB=NC=30。，BF=CF=；BC,

1q

再利用线段垂直平分线的性质可得NBMO=/CNE=90。，BM=AM=^AB=|,CN=AN=

^AC=l，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得DM=¥，NE==，BD=C，CE=C，

44ZZ

然后在Rt△力BF中，利用含30度角的直角三角形的性质可得4F=看BF=号,从而可得BC=

4Z

2BF=3/2,进而可得DE=<3.最后利用五边形的周长公式进行计算即可解答.

本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题目的已

知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：在RtAHBC中，Z4CB=90°,44=30。，AB=4,

■■■BC==2,AC==2仁，

连接4F,由作图知，DE垂直平分4C,

•••CF=AF,

CF=CA,

AC=CF=AF,

：.^ACF=60。，

•••乙BCG=30°,

•••4B=60°,

•••LCGB=90°,

•••CG1AB,

■■S^ABC=\AC-BC=\ABCG,

.-^BC_2_x2_「

"CrGr~AB~4-V3

故选：C.

根据直角三角形的性质得到BC==2,AC=AB=2y/~3,连接力F，由作图知，DE垂直

乙z

平分AC,根据线段垂直平分线的性质得到CF=4F,根据等边三角形的性质得到NACF=60。，推

出CGLAB,根据三角形的面积公式即可得到结论.

本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅

助线是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】略

II.【答案】B

【解析】略

12.【答案】A

【解析】略

13.【答案】略

【解析】略

14.【答案】略

【解析】略

15.【答案】略

【解析】略

16.【答案】1

【解析】

【分析】/

本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是/

解题的关键.A--------D—C

过。作。E148于点E,由角平分线的性质可得OE=OC,由条件可求得CO的长，则可求得答案.

【解答】

解：

如图，过。作DE于点E,

・・•乙ACB=90°,

・•・DC1BC,

•・•平分44BC,

.・・DE=DC,

vAC=3,AD=2,

・・・CO=3—2=1,

・•.DE=1,

故答案为：1.

17.【答案】解：(1)由A点向BF作垂线，垂足为C,

在RtzMBC中，乙48c=30。，AB=320km,则4c=160km,

因为160<200,所以4城要受台风影响；

(2)在BF上取点D,04=200千米，则还有一点G,有4G=200千米.

因为。A=AG,所以AADG是等腰三角形，

因为ACLBF,所以4c是DG的垂直平分线，CD=GC,

在RtA/WC中，ZM=200千米，AC=160千米，

由勾股定理得，CD=120千米，

则。G=2DC=240千米，

遭受台风影响的时间是：£=240+40=6(小时).

【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，含30。角的直角三角形，正确运用勾股定理是解题关键.

(1)根据垂线段最短，故应由4点向BF作垂线，垂足为C,若4C>200,贝必城不受影响，否则受

影响；

(2)点4到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G,则AADG是等腰三角形，由于4C，

BF,则C是DG的中点，在RtzMDC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风

影响，再根据速度与距离的关系则可求时间.

18.【答案】(1)证明：•；C。是N4C8的平分线，

・•・乙BCD=Z.ECD.

・・・DE“BC,

・•・乙EDC=乙BCD,A

B'e

・•・乙EDC=乙ECD,

・•・DE=CE.

(2)解：1Z-ECD=乙EDC=35°,

・・・Z,ACB=2Z,ECD=70°.

：

•AB=ACf

・•・AABC=乙ACB=70°,

・・・AA=180°-70°-70°=40°.

【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线，解题的关键是：(1)

根据平行线的性质结合角平分线的定义找出NEDC=NEC。；(2)利用角平分线的定义结合等腰三

角形的性质求出ZACB=乙4BC=70°.

(1)根据角平分线的定义可得出NBCO=NECD,由DE〃BC可得出NEDC=NBCD,进而可得出

乙EDC=4ECD,再利用等角对等边即可证出OE=CE；

(2)由(1)可得出NECO=4EDC=35。，进而可得出乙4cB=2/EC。=70。，再根据等腰三角形的

性质结合三角形内角和定理即可求出44的度数.

19.【答案】略

【解析】略

20.【答案】证明：•••41=42,

:.DE=CE.

-AD//BC,=90°,

・•・(B=90°.

•••△4DE和AEBC是直角三角形，l^AD=BE.

・•・Rt△ADE=Rt△BECQHL)

【解析】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论.

本题考查了直角三角形全等的判定及性质：主要利用了直角三角形全等的判定方法HL,也利用了

等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识.

21.【答案】解：(1)如下图：点。即为所求;

(2)图①中：以B为圆心，BC长为半径作弧，与EF的交点即为所求；

图②中：以C为圆心，CF为半径作圆，再过B作圆的切线，与BF的交点即为。点.

【解析】(1)图①根据线段的垂直平分线的性质和等边对等角作图；

图②根据线段的垂直平分线的性质和圆的切线长定理作图；

(2)根据(1)中的作法进行说明.

本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质和切线长定理是解题的关键.

22.【答案】解：(1)♦•・AB=AC,ABAC=120°,

・•・乙B=zC=30°,

vDE是48的垂直平分线，

・・・Z.BAD=CB=30°；

(2)v乙BAC=120°,4BAD=30°,BD=AD=2cm,

・・・Z,CAD=90°,又4C=30°,

ACD=2AD=4cm.

【解析】(1)根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出4B=NC=30。，根据垂直平分线的

性质解答即可；

(2)根据直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半计算.

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等

是解题的关键.

23.【答案】(1)证明：•••CEJ.AB,DFLBC,

8。七和4CCF均是直角三角形，

在RtABCE和Rt△DC尸中，

(BC=CD

ICE=DF9

・•・Rt△BCE=Rt△DCF(HL),

・•・Z-ABC=乙DCF,

vZ-DCF=4ACB,

:.Z.ABC=乙ACB,

••・AB=AC；

(2)解：•・・CD=BC,

:.Z-CBD=Z-CDB,

vZ-ACB=Z.CBD+Z-CDB,

・•・Z,ACB=2(CBD,

vZ.ABC=乙ACB,

・•・Z,ABC=2乙CBD,

v乙ABD=Z.ABC+乙CBD=3/-CBD=102°,

・・・乙CBD=34°,

・•・2LABC=2乙CBD=68°,

・・・44=180。-24/8。=44.

【解析】(1)先由”L判定RtZiBCE三RtZkCDF,得到乙/BC=然后由对顶角相等可得：

乙DCF=LACB,进而可得乙4BC=44CB,然后由等角对等边，可得AB=4C；

(2)由CD=BC,可得"8。=乙CDB,然后由三角形的外角的性质可得：乙4cB=乙CBD+乙CDB=

2Z.CBD,由乙4BC=乙4CB,进而可得：乙ABC二2乙CBD,然后由乙4BD=乙4BC+4CBD=

3ZCBD=102°,进而可求4CBO的度数及L4BC的度数，然后由三角形的内角和定理即可求的

度数.

此题考查了直角三角形全等的判定与性质，及等腰三角形判定与性质，解题的关键是：熟记三角

形全等的判定与性质.

24.【答案】解：作DE14B于E,如图所示:

3

・・・DE=CD=

-AD=ADfCD=DE,

:.Rt△ADC=Rt△ADE,

:.AC=AE,

在Rt△BDE中根据勾股定理得：

BE=y/BD2-DE2=J(|)2-(|)2=2>

设4C=x,则AB=x+2,

vCDBD=I，

A5C=|+|=4,

V71C2+BC2=/1B2,

22

A%+4=(x+2产

解得％=3,

答：力C的长为3.

【解析】作DEJ_48于凡根据角平分线的性质求出DE,根据勾股定理求出BE,根据勾股定理列

出方程，解方程即可.

本题主要考查的是角平分线的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌

握角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

25.【答案】解：（1）如图，DELAB于E,DFLAC^F,

•・・£M平分NB/C,DELABfDFLAC,

・・・DE=DF,

•・・乙B+/LACD=180°,乙ACD+Z-FCD=180°,

:.乙B=Z-FCD,

在和△DEB中，